Gościnność w hotelu Hilberta
Na początku dwudziestego wieku Uniwersytet w Getyndze był jednym z najlepszych ośrodków badawczych matematyki na świecie. Matematyk David Hilbert był tam uznanym profesorem i w semestrze zimowym 1924-25 wygłosił serię wykładów o nieskończoności w matematyce, fizyce i astronomii. (Te i inne wykłady Hilberta są obecnie opublikowane w formie książkowej przez Springer-Verlag. Książka jest dostępna w bibliotece IAS w tłumaczeniu i w oryginalnej wersji niemieckiej). W jednym z tych wykładów Hilbert posłużył się przykładem, aby wyjaśnić zasadniczą różnicę między zbiorami skończonymi i nieskończonymi: w hotelu o skończonej liczbie pokoi, jeśli wszystkie pokoje są zajęte, to nie ma miejsca dla nowych gości. Ale w hotelu z nieskończenie wieloma pokojami nie stanowi to problemu: jeśli wszystkie pokoje są zajęte, a przyjeżdża nowy gość, wystarczy przenieść każdego starego gościa o jeden pokój dalej, pozostawiając pierwszy pokój wolny dla nowo przybyłego gościa. Podobny argument pozwala nam pomieścić dowolną skończoną liczbę, a nawet nieskończenie wielu nowo przybyłych gości.
George Gamow (autor słynnej pracy Alpher-Bethe-Gamow w dziedzinie kosmologii fizycznej) był letnim postdocem na Uniwersytecie w Getyndze kilka lat po tych wykładach i prawdopodobnie poznał tam przykład nieskończonego hotelu Hilberta. Spopularyzował go w swojej popularnonaukowej książce z 1947 roku zatytułowanej One Two Three…Infinity: Facts and Speculations of Science (dostępna w bibliotece Princeton University).
Powróćmy do hotelu Hilberta. Aby wszystko było jasne, powiedzmy, że nieskończenie wiele pokoi w hotelu ma numery 1, 2, 3, 4, 5, … . Pewnej nocy wszystkie są zajęte, ale przyjeżdża nowy gość. Jak powiedzieliśmy wcześniej, po prostu przenosimy gościa z pokoju 1 do pokoju 2, tego z pokoju 2 do pokoju 3, tego z pokoju 3 do pokoju 4, i ogólnie rzecz biorąc, gościa z pokoju n do pokoju n + 1, tworząc w ten sposób wolne miejsce w pokoju 1 dla nowego gościa, ale nie pozostawiając żadnego z oryginalnych gości bez domu.
Teraz powiedzmy, że przybyło dwudziestu nowych gości, a nie tylko jeden. Sztuczka użyta wcześniej działa równie dobrze: przenieś gościa w pokoju 1 do pokoju 21, gościa w pokoju 2 do pokoju 22, a ogólnie rzecz biorąc, gościa w pokoju n do pokoju n + 20. To pozostawi dwadzieścia pokoi wolnych i gotowych dla dwudziestu nowych gości.
Ale co jeśli nieskończenie wielu nowych gości przybywa na pokładzie nieskończonego autobusu? Możemy zmodyfikować poprzedni argument tak, że nadal działa dla tej sytuacji: rozmieść gości już w hotelu tak, że zajmują tylko co drugi pokój. Mówiąc matematycznie, przenieś gościa z pokoju n do pokoju 2n, tak aby wszystkie pokoje o numerach parzystych były zajęte. Pozostawia to każdy inny pokój (nieskończenie wiele!) wolny i gotowy na przyjęcie (nieskończenie wiele!) osób przyjeżdżających autobusem. Osoba siedząca na miejscu numer n w autobusie powinna przenieść się do n-tego nieparzyście numerowanego pokoju, który jest pokojem numer 2n – 1.
Co jeśli dziewięćdziesiąt dziewięć nieskończonych autobusów przyjeżdża? Po prostu przenieś oryginalnych gości hotelowych do pokoi 100, 200, 300, etc., pasażerów pierwszego autobusu do pokoi 1, 101, 201, etc., pasażerów drugiego autobusu do pokoi 2, 102, 202, etc., i tak dalej dla reszty autobusów. W ten sposób zostaną zajęte wszystkie pokoje w hotelu, a jednocześnie żaden z gości nie pozostanie bez pokoju. Jeśli pasażerowie autobusów sami byliby ponumerowani 1, 2, 3, 4, 5, …. (i nie róbmy rozróżnienia i nazwijmy oryginalnych gości hotelu pasażerami, jak również możemy myśleć o tym jako o przeniesieniu wszystkich oryginalnych gości z hotelu i do ozdobnego autobusu zaparkowanego tuż przed hotelem, który możemy nazwać autobusem numer 0), wtedy zobaczylibyśmy, że pierwsze sto pokoi w hotelu jest wypełnione pasażerami numer 1, drugie sto pokoi w hotelu jest wypełnione pasażerami numer 2, i tak dalej.