Co to jest teoria belek konstrukcyjnych?

Element konstrukcyjny lub członek poddany działaniu sił i par wzdłuż osi podłużnej członka. Element ten zazwyczaj rozpięty jest pomiędzy jedną lub większą liczbą podpór, a jego konstrukcja jest zwykle regulowana przez momenty zginające.

Teoria belek Eulera-Bernoulliego

Równanie Eulera-Bernoulliego opisuje związek między przyłożonym obciążeniem a powstałym ugięciem belki i jest przedstawione matematycznie jako:

Gdzie w jest obciążeniem rozłożonym lub siłą na jednostkę długości działającą w tym samym kierunku co y, a ugięcie belki Δ(x) w pewnym położeniu x. E jest modułem sprężystości rozpatrywanego materiału, a I jest drugim momentem powierzchni obliczanym względem osi przechodzącej przez środek przekroju poprzecznego i prostopadłej do przyłożonego obciążenia. Jeżeli EI lub sztywność giętna nie zmienia się wzdłuż belki, wówczas równanie upraszcza się do postaci:

Po wyznaczeniu ugięcia spowodowanego danym obciążeniem naprężenia w belce można obliczyć za pomocą następujących wyrażeń:

Moment zginający w belce:

Siła ścinająca w belce:

Połączenia podpór i reakcje

Istnieją cztery różne typy połączeń, które są powszechnie spotykane, gdy mamy do czynienia z belkami, a każdy z nich określa rodzaj obciążenia, któremu podpora może się oprzeć, jak również ogólną nośność nie tylko rozważanego elementu konstrukcyjnego, ale również systemu, w którym element ten jest częścią.

Podpory rolkowe: mogą się swobodnie obracać i przesuwać wzdłuż powierzchni, na której spoczywa rolka i w rezultacie nie są w stanie przeciwstawić się siłom poprzecznym. Takie podpory są poddane pojedynczej sile reakcji działającej prostopadle do powierzchni i od niej.

Podpory przegubowe: pozwalają na obrót elementu lub belki (czasami tylko w jednym kierunku), ale nie na przesunięcie w żadnym kierunku, to znaczy mogą wytrzymać siły pionowe i poziome, ale nie momenty zginające.

Podpory stałe: są odporne zarówno na obrót, jak i na przesunięcie oraz wytrzymują zarówno siły pionowe i poziome, jak i momenty zginające.

Podpory proste: mogą się swobodnie obracać i przesuwać wzdłuż powierzchni, na której spoczywają, we wszystkich kierunkach, ale prostopadle do powierzchni i z dala od niej. Podpory proste różnią się od podpór rolkowych tym, że nie mogą wytrzymać obciążeń poprzecznych o dowolnej wielkości.

Typy belek

Belka swobodnie podparta: swobodnie podparta na każdym końcu, element konstrukcyjny może się obracać w punktach łożysk końcowych i nie jest odporny na działanie momentów zginających. Podpory końcowe belki są zdolne do wywierania sił na belkę, ale będą się obracać, gdy element konstrukcyjny ugina się pod jakimkolwiek obciążeniem.

Belka zamocowana: utwierdzona na każdym końcu elementu konstrukcyjnego, punkty końcowe są ograniczone od obrotu i ruchu zarówno w kierunku pionowym, jak i poziomym.

Belka wspornikowa: element konstrukcyjny utwierdzony tylko na jednym końcu, podczas gdy drugi koniec może się swobodnie obracać i poruszać zarówno w kierunku pionowym, jak i poziomym.

Belka zwisająca: prosta belka, która wystaje poza swoje podpory na jednym lub obu końcach.

Belka ciągła: belka rozciągająca się na więcej niż dwie podpory.

Dokładność inżynierskiej teorii belek

Z powodu założeń, ogólna zasada kciuka mówi, że dla większości konfiguracji, równania dla naprężeń zginających i poprzecznych naprężeń ścinających są dokładne w granicach 3% dla belek o stosunku długości do wysokości większym niż 4. Ważne jest również zrozumienie i uwzględnienie rodzaju materiału, z którego wykonana jest belka, sposobu, w jaki belka się odkształca, geometrii belki, w tym jej przekroju poprzecznego oraz występującej równowagi wewnętrznej.

Założenia i ograniczenia

• Przekrój poprzeczny belki jest uważany za mały w porównaniu z jej długością, co oznacza, że belka jest długa i cienka.
• Ładunki działają poprzecznie do osi podłużnej i przechodzą przez środek ścinania eliminując jakiekolwiek skręcanie lub skręcanie.
• Waga własna belki została pominięta i powinna być uwzględniona w praktyce.
• Materiał belki jest jednorodny i izotropowy oraz ma stały moduł Younga we wszystkich kierunkach zarówno przy ściskaniu jak i rozciąganiu.
• Płaszczyzna centroidalna lub powierzchnia obojętna jest poddana zerowemu naprężeniu osiowemu i nie ulega żadnej zmianie długości.
• Reakcją na odkształcenie jest jednowymiarowe naprężenie w kierunku zginania.
• Zakłada się, że ugięcia są bardzo małe w porównaniu z całkowitą długością belki.
• Przekrój poprzeczny pozostaje planarny i prostopadły do osi podłużnej podczas zginania.
• Belka jest początkowo prosta, a każde ugięcie belki następuje po łuku kołowym, przy czym promień krzywizny uważa się za duży w stosunku do wymiaru przekroju poprzecznego.

Belki zakrzywione i łuki

Podczas gdy projekt belek zakrzywionych jest identyczny jak belek prostych, gdy wymiary przekroju poprzecznego są małe w porównaniu do promienia krzywizny, podstawowa różnica pomiędzy belkami zakrzywionymi i łukami polega na tym, że krzywizna została zwiększona do punktu, w którym siły osiowe stają się znaczące w łukach.

Uwaga na temat momentów zginających

W inżynierii konstrukcyjnej dodatni moment jest rysowany po stronie rozciąganej elementu konstrukcyjnego, co pozwala na łatwiejsze traktowanie belek i ram. Ponieważ momenty są rysowane w tym samym kierunku, w którym teoretycznie zginałby się element konstrukcyjny pod obciążeniem, łatwiej jest zwizualizować to, co się dzieje. W programie StructX przyjęto ten sposób rysowania momentów zginających.

Wybór równań belki wraz z odpowiednimi kalkulatorami inżynierskimi można znaleźć tutaj.

.