Wprowadzenie

Dynamika wielkoskalowa wszechświata jest regulowana przez ogólną ekspansję kosmiczną i pole grawitacyjne masywnych obiektów. Uważa się, że pola magnetyczne nie odgrywają żadnej istotnej roli w tym pierwszym. Uważa się, że pola magnetyczne nie były, a przynajmniej nie miały zauważalnej siły, obecne w Wielkim Wybuchu i w następującym po nim okresie inflacji. Jeśli w ogóle były obecne, to w postaci fałszywych monopoli magnetycznych. Stają się one ważne w mniejszych skalach. W skalach zwartych namagnesowanych obiektów zaczynają być nieistotne, a dla szeregu procesów stają się nawet siłą dominującą.

Pola magnetyczne są związane z przepływem prądu elektrycznego, a więc w przeciwieństwie do pól elektrycznych, których źródłem są ładunki elementarne i różnice ładunków, są generowane przez procesy wywołujące prądy elektryczne. Prądy oznaczają nieambipolarny transport ładunków. Pytanie o to, jak silne mogą być pola magnetyczne, sprowadza się więc do pytania o to, jak silne mogą być jakiekolwiek prądy. W klasycznej elektrodynamice implikuje to z prawa Ampère’a dla stacjonarnych pól magnetycznych, że

gdy ograniczymy się tylko do transportu ładunków i założymy niemagnetyczne ośrodki o (dla uproszczenia pojedynczo naładowanych) gęstościach jonów i elektronów oraz prędkościach masowych odpowiednio Ni,e, Vi,e. W przeciwnym razie należałoby dodać magnetyzację. W przeciwnym razie należałoby dodać termin magnetyzacji M, który zależy od własności materii. Wyznaczenie M wymaga kwantowo-mechanicznego traktowania w ramach fizyki ciała stałego.

Zakładając, bez ograniczeń, kwazineutralność Ne ≈ Ni = N, tylko różnice prędkości wnoszą swój wkład. Ponieważ elektrony są znacznie bardziej ruchliwe niż jony, prąd może być racjonalnie przybliżony przez prąd elektronowy J ≈ – eNVe, warunek ściśle obowiązujący w jonowym układzie odniesienia. Ponieważ prędkości są ograniczone przez prędkość światła c, pole magnetyczne jest klasycznie ograniczone przez

sugerując, że pole magnetyczne rośnie z L i gęstością N. Tutaj Ncc jest w jednostkach elektronów na cm-3, a Lkm jest skalą długości włókna prądowego w jednostkach km. Na przykład w skorupie gwiazdy neutronowej mamy Lkm ~ 1. Gdyby w przybliżeniu wszystkie elektrony w skorupie uczestniczyły w przepływie prądu, mielibyśmy Ncc × ~ 1030. Stąd natężenie pola magnetycznego mogłoby wzrosnąć do B ~ 1028 Gaussów, co jest ogromną liczbą w porównaniu z maksymalnym B ~ 1015 – 1016 Gaussów obserwowanym w magnetarach.

Ten surowy szacunek wymaga komentarza, aby uniknąć nieporozumień. Pola magnetyczne są uważane za preferencyjnie generowane przez dynamo działań. Takie działania prawdopodobnie nie występują w białych karłach, gwiazdach neutronowych, magnetarach czy innych zwartych obiektach. Pola wytwarzane są w ich różnie rotujących protoplastach. Weźmy za przykład Słońce z działaniem dynamo w strefie konwekcji o grubości L☉ ~ 2 × 105 km i średniej gęstości N☉cc ~ 8 × 1023. Użycie całkowitej szerokości strefy konwekcji rażąco przeszacowuje obecną szerokość filamentu. Absolutną górną granicą byłaby L☉km ≲ 2 × 104. Oczywiście prędkości są również znacznie mniejsze od c. Tak więc użycie c daje skrajną górną granicę bezwzględną pola magnetycznego B < 1021 T. Porównywalnie silne pola w gwiazdach neutronowych powstają w wyniku gwałtownego zapadania się namagnesowanej ciężkiej gwiazdy macierzystej, która w czasie zapadania się nie miała czasu na rozproszenie energii magnetycznej, która zostaje skompresowana w maleńkiej objętości gwiazdy neutronowej. Współczynnik kompresji jest rzędu ~ 1012 dając pola graniczne B ≲ 1035 Gaussa. Klasyczne oszacowanie elektrodynamiczne wyraźnie zawodzi w dostarczeniu górnej granicy natężenia pola magnetycznego, która odpowiadałaby dowodom obserwacyjnym.

Inne, nie mniej poważne rozbieżności uzyskuje się zakładając, że energia pola magnetycznego gwiazdy neutronowej jest równa całkowitej dostępnej energii rotacji zarówno w progenitorze jak i w gwieździe neutronowej, przy założeniu ekwipartycji energii rotacyjnej i magnetycznej – oczywiście w obu przypadkach jest to założenie ledwie uzasadnione. Energia magnetyczna nie może stać się większa niż pierwotnie dostępna energia dynamiczna jej przyczyny, której jest tylko ułamkiem. Jest przypuszczalnie zasadniczo wątpliwe, czy pola magnetyczne mogły być kiedykolwiek wytworzone przez jakikolwiek klasyczny mechanizm znacząco silniejszy niż obserwowany w gwiazdach neutronowych (z wyjątkiem krótkiej, trwającej ~10 s fazy wzmocnienia dynamicznego po kolapsie, dającej w najlepszym razie kolejny czynnik ~10-100 ) i, poprzez dalszą koncentrację energii magnetycznej w mniejszych objętościach, wiązanie tub strumienia magnetycznego, jak się uważa, że występuje w magnetarach. Jeśli w ogóle doszło do wytworzenia znacznie silniejszych pól, to musiało to nastąpić w czasach i w obiektach, w których pola magnetyczne mogły być wytwarzane przez procesy inne niż klasyczne dynamo. Trzeba więc wejść w elektrodynamikę kwantową lub kwantową teorię pola, aby wnioskować o głównych fizycznych ograniczeniach na wytwarzanie jakichkolwiek pól magnetycznych. Poniższe badania są motywowane mniej przez obserwacje niż przez to fundamentalne pytanie teoretyczne.

Elementy strumienia

Mechanika kwantowa dostarcza sposobu na uzyskanie pierwszego ograniczenia na pole magnetyczne z rozwiązania równania Schrödingera, pierwotnie znalezionego przez Landaua w 1930 roku, dla elektronu orbitującego w jednorodnym polu magnetycznym. Fizyczna interpretacja tego rozwi±zania została podana znacznie póĽniej w teorii Aharonova-Bohma. Z wymagania, że strumień magnetyczny Φ pola B zamkniętego na orbicie girlandowej elektronu musi być jednowartościowy, Aharonov i Bohm wywnioskowali, że Φ = ν Φ0 jest skwantowany z elementem strumienia Φ0 = 2πħ/e, e ładunek elementarny, a ν = 1, 2, …. Ponieważ ν = Φ/Φ0 jest liczbą elementarnych strumieni przenoszonych przez pole, a B = Φ/πl2, to postawienie ν = 1 definiuje najmniejszą długość magnetyczną

Ta długość, która jest promieniem gyroradiusu elektronu w najniżej leżącym poziomie energetycznym Landaua, może być interpretowana jako promień linii pola magnetycznego w polu magnetycznym B. Linie pola stają się tym węższe, im silniejsze jest pole magnetyczne. Z drugiej strony, przepisanie równania (3) daje wyrażenie na pole magnetyczne

z którego, dla danej najkrótszej „krytycznej” długości lB ≡ lc można, w zasadzie, oszacować maksymalne pole magnetyczne Bc odpowiadające lc. Zakładając na przykład, że lc = 2πħ/mc równa się długości Comptona elektronu λ0 = 2πħ/mc, otrzymamy krytyczne natężenie pola magnetycznego pulsara (gwiazdy neutronowej) Bq ≡ Bns ≈ 3 × 109 T = 3 × 1013 Gaussa. Jest bardzo interesujące, że w przybliżeniu takie natężenie pola zostało rzeczywiście wywnioskowane z obserwacji fundamentalnej (ν = 1) elektronowej cyklotronowej harmonicznej linii rentgenowskiej wykrytej z pulsara HerX1 , mniej więcej dwie dekady po teorii Aharonowa i Bohma i pół wieku po teorii Landaua.

Uogólnienie

Użycie długości fali Comptona wiąże graniczne natężenie pola w gwiazdach neutronowych z elektrodynamiką kwantową. To rodzi pytanie o bardziej precyzyjne teoretyczne określenie kwantowego elektrodynamicznego granicznego natężenia pola uwzględniającego efekty relatywistyczne. Nasuwa się również pytanie, czy odniesienie do innych fundamentalnych skal długości może dostarczyć innych głównych ograniczeń pól magnetycznych, jeśli tylko takie pola mogą być generowane w jakiś sposób, tzn. jeśli prądy elektryczne o wystarczających natężeniach mogą płynąć w różnych warunkach, jak na przykład w chromodynamice kwantowej.

Bardzo formalnie, z wyjątkiem uwzględnienia efektów relatywistycznych, równanie (4) dostarcza modelowego równania dla pola ograniczającego w zależności od dowolnej fundamentalnej skali długości lc. Przy tym upraszczającym założeniu krytyczne pole magnetyczne Bc skaluje się po prostu z odwrotnością kwadratu odpowiedniej długości fundamentalnej. Formalnie jest to pokazane graficznie na rysunku 1 przy założeniu słuszności skalowania Aharonova-Bohma przy wyższych energiach.

Granica Comptona na pola magnetyczne była znana z prostych rozważań energetycznych, które przewidują rozpad próżni na tworzenie par przy polach magnetycznych silniejszych niż Bns. Z tego powodu wykrycie w magnetarach pól magnetycznych przekraczających granicę kwantową nawet o trzy rzędy było początkowo zaskoczeniem. Jednak bardziej precyzyjne relatywistyczne obliczenia elektrodynamiczne, w tym wykresy Feynmana wyższego rzędu, wykazały, że granica Comptona może być znacznie przekroczona. W pierwszym przybliżeniu w anomalnym momencie magnetycznym elektronów najniższy poziom Landaua przesuwa się zgodnie ze wzorem

gdzie α = α/2π jest zredukowaną stałą struktury subtelnej. Wzór ten jest słuszny dla B < Bq. Sugeruje on spadek najniższego poziomu energii Landaua dla rosnących pól, co ma oczywiście gwałtowne konsekwencje niefizyczne dla obiektów astrofizycznych. Tak więc diagramy Feynmana uwzględniające samo-atrakcję elektronów wyższego rzędu muszą być brane pod uwagę, szczególnie przy dużych polach. W polach B ≫ Bq znacznie przekraczających Bq elektrony stają się relatywistycznie masywne, a najniższy poziom Landaua, po przejściu przez minimum, rośnie jako

Wynika stąd, że najniższa energia poziomu Landaua podwaja się tylko przy polach magnetycznych rzędu B ~ 1028 T (~ 1032 Gaussa), znacznie powyżej jakichkolwiek pól magnetycznych powierzchni gwiazd neutronowych czy magnetarów. Relatywistyczne poprawki samoenergetyczne powodujące rozpad pola magnetycznego wejdą więc w grę dopiero przy tych energiach, które mogą być ostateczną granicą natężenia pola magnetycznego.

Warto zauważyć, że granica ta w przybliżeniu pokrywa się z najlepszymi ostatnimi eksperymentalnymi oznaczeniami górnej granicy dla promienia elektronu. Poniżej tej skali powinny pojawić się dodatkowe efekty, głównie hamujące dalsze zwiększanie natężenia pola magnetycznego, a nawet istnienie pól magnetycznych. Wydaje się więc, że aż do tej skali skalowanie Aharonova-Bohma, na którym oparty jest rysunek 1, nie jest całkowicie nieuzasadnione. Jest to najbardziej interesujące również z tego punktu widzenia, że zarówno skala oddziaływań elektrosłabych jak i silnych są w dozwolonej dziedzinie po prostu dlatego, że elektrony zachowują swoją naturę w tych skalach. Wyłączony jest jedynie pustynny zakres energii odpowiednio skal. Obejmuje on w szczególności zakres GUT wielkiej unifikacji, jak również grawitację kwantową, dziedziny, które odgrywały rolę tylko w bardzo wczesnym wszechświecie. Wszelkie rudymentarne pola magnetyczne z tego czasu zostały rozcieńczone przez inflację i ekspansję kosmologiczną do niskich wartości znajdujących się jedynie na dole rysunku 1.

Dyskusja i wnioski

Bez monopoli magnetycznych kiedykolwiek istniały i przetrwały we wszechświecie, pola magnetyczne musiały być produkowane w dowolnym czasie poprzez generowanie prądów elektrycznych. Pola wytworzone we wczesnym wszechświecie zostały następnie rozcieńczone do dzisiejszych niskich wartości w dużej skali, jak omówiono w innym miejscu. Mogły one być początkowo silne, w którym to przypadku ich natężenia również podlegają ograniczeniom. Jednakże wszystkie rozsądne siły oszacowane na podstawie dynamo i innych modeli w teoriach klasycznych i chromodynamicznych najprawdopodobniej nie osiągają żadnej z powyższych granic elektrodynamiki kwantowej. Przypuszczalnie nie ma potrzeby domagać się dodatkowych ograniczeń chromodynamicznych. Twierdzenie to może być oparte na roli, jaką elektrony odgrywają w generowaniu prądu, który jest podstawą wytwarzania pola magnetycznego na dużą skalę. Elektrony i ich spiny są również odpowiedzialne za magnetyzm w materii półprzewodnikowej. Wciąż uważa się, że elektrony nie mają struktury. W każdym razie, w skalach „wewn±trz” elektronu, tj. poniżej fikcyjnego promienia elektronu re, pr±dy powinny albo stracić jakiekolwiek znaczenie, albo w ogóle nie istnieć, a zatem pojęcie pola magnetycznego prawdopodobnie nie będzie miało już większego sensu. Można więc sądzić, że górna granica kwantowej elektrodynamiki wyznacza absolutne ograniczenie na jakiekolwiek realistyczne natężenia pola magnetycznego.

Zastosowanie skalowania Aharonova-Bohma z rysunku 1 do pól magnetycznych we wszechświecie wydaje się dawać rozsądne pojęcie o spodziewanych absolutnych ograniczeniach na natężenia pól magnetycznych w skalach kwantowej elektrodynamiki. Wyraźnie widać, że próżnia zmienia charakter w krótkich skalach i przy wysokich energiach, ponieważ fotony stają się ciężkie przechodząc w bozony elektrosłabe, a kwarki wchodzą do gry w materii. Elektrony pozostają takie same aż do co najmniej re ~ 10-22 m, co jest obecnie górną granicą promienia elektronu. To sugeruje zapisanie równania krytycznego pola magnetycznego (4) jako

gdzie lc ≥ l0, a l0 ≳ re jest odpowiednią minimalną długością, powyżej której pola magnetyczne mają sens. Na rysunku 1 takie zachowanie jest zaznaczone jako czarna przerywana krzywa odbiegająca od przekątnej. Nadal stabilność próżni nie jest tak oczywista jak w zakresie elektrodynamiki kwantowej w obecności super silnych pól magnetycznych w zakresie elektrosłabym i chromodynamicznym. Problemem pozostaje to, że pola magnetyczne muszą być generowane albo w tych małych skalach, albo w znacznie większych skalach elektrodynamicznych, z których zapadają się do tych małych skal.

Co się tyczy generowania pól magnetycznych przed zapadnięciem przez ogólnie przyjęte efekty dynamo lub baterii, natężenia pól magnetycznych są ściśle ograniczone przez dostępne energie dynamiczne, które są znacznie poniżej jakiegokolwiek kwantowego limitu elektrodynamicznego. Można argumentować, że tak długo jak skala promienia elektronu nie zostanie osiągnięta podczas kolapsu, kwantowe skalowanie elektrodynamiczne dostarcza rozsądnego absolutnego ograniczenia na każde możliwe natężenie pola magnetycznego. Gwiazdy neutronowe i magnetary mają skale nadmiernie większe niż skala elektronowa. Cięższe obiekty poprzez zmniejszenie swojej skali mogłyby posiadać znacznie silniejsze pola, ale dopuszczalny zakres jest zawężony przez warunek, że takie obiekty łatwo stają się czarnymi dziurami podczas kolapsu, które, zgodnie ze słynnym twierdzeniem o braku włosów, nie posiadają żadnych pól magnetycznych. Nie wiadomo, co stałoby się z polem po przekroczeniu horyzontu, gdyż obserwator zewnętrzny nie otrzymałby żadnej informacji o polu. Twierdzenie o braku włosów sugeruje, że pole zostaje po prostu wessane do dziury i znika razem z zapadającą się masą. Zwykłe rozumowanie zakładające utrzymanie stanu zamrożenia sugeruje, że pole wewnątrz horyzontu powinno dalej rosnąć w przypuszczalnie trwającym kolapsie grawitacyjnym.

Dostępne silne pola, które zbliżają się do granic elektrodynamiki kwantowej, występują w gwiazdach neutronowych i magnetarach. Jak dotąd nie udało się pozytywnie wykryć żadnych pól magnetycznych dziwnych gwiazd. Wykazano nawet, że takie pola, być może obecne w nadprzewodzących gwiazdach dziwnych, rozpadłyby się rotacyjnie w czasie krótszym niż ~20 Myrs. W magnetarach obecność pól silniejszych niż Bns = Bq jest obecnie dobrze rozumiana jako konsekwencja efektów skorupowych powodujących lokalną koncentrację pól magnetycznych i rozległe pętle magnetyczne wykazujące pewne podobieństwo do dobrze znanych plam słonecznych. Wpływ na materię w super silnych polach zostały zbadane po raz pierwszy w Ruderman i zostały przejrzane w i innych.

Oświadczenie o konflikcie interesów

Autorzy oświadczają, że badania zostały przeprowadzone w braku jakichkolwiek komercyjnych lub finansowych relacji, które mogłyby być interpretowane jako potencjalny konflikt interesów.

.