Są dwa podstawowe wzory, które już znamy:
1) Suma = n(Brak zbioru) + n(Dokładnie jeden zbiór) + n(Dokładnie dwa zbiory) + n(Dokładnie trzy zbiory)

2) Suma = n(A) + n(B) + n(C) – n(A i B) – n(B i C) – n(C i A) + n(A i B i C) + n(Brak zbioru)

Z tych dwóch wzorów możemy wyprowadzić wszystkie inne.

n(Dokładnie jeden zbiór) + n(Dokładnie dwa zbiory) + n(Dokładnie trzy zbiory) daje nam n(Co najmniej jeden zbiór). Otrzymujemy więc:

3) Suma = n(Brak zestawu) + n(Przynajmniej jeden zestaw)

Z (3) otrzymujemy n(Przynajmniej jeden zestaw) = Suma – n(Brak zestawu)

Podłączając to do (2) otrzymujemy:

4) n(Przynajmniej jeden zestaw) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A i B) – n(B i C) – n(C i A) + n(A i B i C)

Zobaczmy teraz, jak możemy obliczyć liczbę osób w dokładnie dwóch zestawach. Jest powód, dla którego przeskoczyliśmy do n(Dokładnie dwa zestawy) zamiast podążać za bardziej logicznym kolejnym krokiem obliczania n(Co najmniej dwa zestawy) – będzie bardziej intuicyjne, aby uzyskać n(Co najmniej dwa zestawy) po znalezieniu n(Dokładnie dwa zestawy).

n(A i B) zawiera ludzi, którzy są zarówno w A i B, jak również zawiera ludzi, którzy są w A, B i C. Z tego powodu powinniśmy usunąć n(A i B i C) z n(A i B), aby uzyskać n(Tylko A i B). Podobnie otrzymujemy n(tylko B i C) oraz n(tylko C i A), więc dodanie wszystkich tych trzech da nam liczbę osób w dokładnie dwóch zbiorach.

n(Dokładnie dwa zbiory) = n(A i B) – n(A i B i C) + n(B i C) – n(A i B i C) + n(C i A) – n(A i B i C). Zatem:

5) n(Dokładnie dwa zbiory) = n(A i B) + n(B i C) + n(C i A) – 3*n(A i B i C)

Teraz możemy łatwo otrzymać n(Co najmniej dwa zbiory):

6) n(Co najmniej dwa zbiory) = n(A i B) + n(B i C) + n(C i A) – 2*n(A i B i C)

To jest po prostu n(A i B i C) więcej niż n(Dokładnie dwa zbiory). To ma sens, prawda? Tutaj, włączasz ludzi, którzy są we wszystkich trzech zestawach raz i n(Dokładnie dwa zestawy) przekształca się w n(Co najmniej dwa zestawy)!

Teraz, przechodzimy dalej, aby znaleźć n(Dokładnie jeden zestaw). Od n(Co najmniej jeden zbiór) odejmijmy n(Co najmniej dwa zbiory); tzn. odejmujemy (6) od (4)

n(Dokładnie jeden zbiór) = n(Co najmniej jeden zbiór) – n(Co najmniej dwa zbiory), zatem:

7) n(Dokładnie jeden zbiór) = n(A) + n(B) + n(C) – 2*n(A i B) – 2*n(B i C) – 2*n(C i A) + 3*n(A i B i C)

Nie musisz uczyć się tych wszystkich wzorów. Wystarczy skupić się na dwóch pierwszych i wiedzieć, jak można dojść do innych, jeśli jest to wymagane. Spróbujmy tego w przykładowym problemie:

Wśród 250 ankietowanych widzów, którzy oglądają co najmniej jeden z trzech kanałów telewizyjnych, czyli A, B &C. 116 ogląda A, 127 ogląda C, a 107 ogląda B. Jeśli 50 ogląda dokładnie dwa kanały. Ile osób ogląda dokładnie jeden kanał?

(A) 185

(B) 180

(C) 175

(D) 190

(E) 195

Dane jest, że:

n(Co najmniej jeden kanał) = 250

n(Dokładnie dwa kanały) = 50

Wiemy więc, że n(Co najmniej jeden kanał) = n(Dokładnie 1 kanał) + n(Dokładnie 2 kanały) + n(Dokładnie 3 kanały) = 250

250 = n(Dokładnie 1 kanał) + 50 + n(Dokładnie 3 kanały)

Znajdźmy wartość n(Dokładnie 3 kanały) = x

Wiemy też, że n(Co najmniej jeden kanał) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A i B) – n(B i C) – n(C i A) + n(A i B i C) = 250

Wiemy też, że, n(Dokładnie dwa kanały) = n(A i B) + n(B i C) + n(C i A) – 3*n(A i B i C)

Więc n(A i B) + n(B i C) + n(C i A) = n(Dokładnie dwa kanały) + 3*n(A i B i C)

Podłączając to do powyższego równania:

250 = n(A) + n(B) + n(C) – n(Dokładnie dwa kanały) – 3*x + x

.