W przypadku eliminacji gaussowskiej algorytm wymaga, aby elementy pivot nie były zerowe.Zamiana wierszy lub kolumn w przypadku zerowego elementu pivot jest konieczna. Poniższy układ wymaga zamiany rzędów 2 i 3 w celu przeprowadzenia eliminacji.

{displaystyle \left}

System, który wynika z przestawienia jest następujący i pozwoli algorytmowi eliminacji i podstawiania wstecznego wyprowadzić rozwiązanie systemu.

{displaystyle \left}

Co więcej, w eliminacji gaussowskiej generalnie pożądany jest wybór elementu przestawnego o dużej wartości bezwzględnej. Poprawia to stabilność numeryczną. Poniższy układ jest dramatycznie obarczony błędem zaokrąglenia, gdy przeprowadza się eliminację gaussowską i podstawianie wsteczne.

{displaystyle \left}

Układ ten ma dokładne rozwiązanie x1 = 10.00 i x2 = 1.000, ale gdy algorytm eliminacji i podstawiania wstecz jest wykonywany przy użyciu arytmetyki czterocyfrowej, mała wartość a11 powoduje propagację małych błędów zaokrągleń. Algorytm bez przestawiania daje przybliżenie x1 ≈ 9873,3 oraz x2 ≈ 4. W tym przypadku pożądane jest, abyśmy zamienili oba rzędy tak, aby a21 znalazł się w pozycji obrotu

.