Zdefiniuję funkcję s z N i zdefiniuję ją jako sumę sumy wszystkich dodatnich liczb całkowitych dodatnich liczb całkowitych w tym n w tym w tym n i tak dziedziną tej funkcji jest naprawdę wszystkie dodatnie liczby całkowite i musi być dodatnią liczbą całkowitą i tak możemy wypróbować to z kilkoma rzeczami możemy wziąć s z 3 to będzie równe 1 plus 2 plus 3 co jest równe 6 możemy wziąć s z weźmy s z 4 dobrze to będzie 1 plus 2 Plus 3 plus 4 co będzie równe 10 tak dość dość dość proste teraz co chcę zrobić w tym że suma wszystkich liczb całkowitych dodatnich do n włącznie jest równa n razy n plus 1, a wszystko to powyżej 2. Sposób, w jaki zamierzam ci to udowodnić, to przynajmniej pierwszy sposób, w jaki zamierzam ci to udowodnić, to dowód przez indukcję. przez indukcję to ciekawy filozoficzny sposób na udowodnienie czegoś ponieważ sposób w jaki przeprowadzasz dowód przez indukcję to najpierw udowadniasz przypadek bazowy udowadniasz przypadek bazowy więc w przypadku tej funkcji to stwierdzenie tutaj więc to jest to co musimy udowodnić w przypadku tego stwierdzenia tutaj najpierw udowodnimy to 4-1 to będzie nasz przypadek bazowy, a następnie zrobimy krok indukcyjny krok indukcyjny, który jest zasadniczo mówiąc, jeśli założymy, że to działa dla jakiejś dodatniej liczby całkowitej K, że jeśli tak, jeśli założymy, że wtedy możemy udowodnić, że to będzie działać dla następnej dodatniej liczby całkowitej to będzie działać dla K plus 1 i powód dlaczego to działa powiedzmy, że udowodnimy jeśli udowodnimy obie te rzeczy więc przypadek bazowy udowodnimy to dla w tym przypadku udowodnimy dla 1 udowodnimy dla 1 ale nie zawsze musi być 1 bo może być twój twój może być to prawda dla wszystkiego powyżej 55 lub wszystkiego powyżej jakiegoś progu, ale w tym przypadku mówimy, że jest to prawdziwe dla wszystkich dodatnich liczb całkowitych, więc naszym podstawowym przypadkiem będzie 4 1, a następnie naszym następnym F spróbujemy udowodnić, że jeśli założymy, że jeśli założymy 4, jeśli założymy, że ta rzecz jest prawdziwa dla niektórych z K, jeśli założymy, że to będzie to prawda dla niektórych z K plus 1, a powodem, dla którego to wszystko, co trzeba zrobić, aby udowodnić to dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich jest to, że wyobraźmy sobie wszystkie liczby całkowite dodatnie tutaj 1 2 3 4 5 6 można by tak w nieskończoność, więc udowodnimy to 4-1 udowodnimy, że ta formuła tutaj to wyrażenie ma zastosowanie dla przypadku 1, gdy n wynosi 1, a następnie udowodnimy, że jeśli wiemy, że to jest prawdziwe dla dowolnego danego K, to jest prawdziwe dla następnego, więc jeśli wiemy, że to jest prawdziwe dla 1 w naszym podstawowym przypadku, to drugi krok, ten krok indukcyjny, mówi, że to musi być prawdziwe dla 2, ponieważ udowodniliśmy, że generalnie, jeśli to jest prawdziwe dla K, to będzie prawdziwe dla K plus 1 więc jeśli jest prawdziwe dla 2 to musi być prawdziwe dla 3 ponieważ udowodniliśmy, że jeśli jest prawdziwe dla jeśli jest prawdziwe dla K to jest prawdziwe dla K plus 1 więc jeśli jest prawdziwe dla 2 to jest prawdziwe dla 3 a potem jeśli jest prawdziwe dla 3 to musi być prawdziwe dla 4 i można po prostu iść dalej i dalej w nieskończoność co oznacza, że jest prawdziwe dla wszystkiego teraz mówione w ogólności udowodnijmy to przez indukcję więc weźmy weźmy weźmy weźmy weźmy weźmy weźmy weźmy weźmy sumę, zróbmy tę funkcję na 1. To będzie po prostu suma wszystkich liczb całkowitych dodatnich, w tym 1. Dosłownie będzie to 1. Po prostu dodaliśmy je wszystkie, to tylko 1. Nie ma żadnej innej liczby całkowitej dodatniej aż do 1 włącznie i możemy udowodnić, że to jest to samo co 1 razy 1 plus 1, wszystko to ponad 2. 1 plus 1 to 2. 2 podzielone przez 2 to 1. 1 razy 1 to 1. Więc ta formuła tutaj, to wyrażenie zadziałało dla działa dla 1 więc udowodniliśmy, udowodniliśmy nasz przypadek bazowy udowodniliśmy to dla 1 teraz co chcę zrobić to chcę założyć, że to działa dla jakiejś liczby dla jakiejś liczby K więc założę, że założę, że to prawda dla założę, że to prawda dla jakiejś liczby K więc założę, że dla jakiejś liczby K, że ta funkcja w K będzie równa K razy k plus 1 ponad 2 więc po prostu zakładam, że to prawda dla tego teraz co chcę zrobić, to zastanowić się, co się stanie, gdy spróbuję znaleźć, gdy spróbuję znaleźć tę funkcję dla k plus 1, więc to jest to, co zakładam, zakładam, że wiem, że teraz spróbujmy zrobić to dla k plus 1, więc jaka jest suma wszystkich liczb całkowitych do k plus 1 włącznie do k plus 1 włącznie do k plus 1, a więc będzie to 1 plus 2 plus 3 plus aż do k plus k plus 1, prawda, to jest suma wszystkiego do i łącznie z k plus 1. Zakładamy, że wiemy, co to jest, zakładamy, że mamy już na to wzór, zakładamy, że uprości się to do k razy k plus 1 ponad 2 lub zakładamy, że to wiemy, więc weźmiemy tę część i dodamy ją do k plus 1, więc dodamy ją do k plus 1, tutaj dodamy ją do k plus 1 i jeśli znajdziemy wspólny mianownik, jeśli znajdziemy komentarz, wspólny mianownik będzie wspólny mianownik będzie wynosił 2 więc chodźmy to będzie równe najpierw napiszę część w magenta to jest K razy k plus 1 ponad 2 plus 2 razy k plus 1 ponad 2 to coś w niebieskim to jest to samo co to coś w niebieskim dwójki by się anulowały po prostu napisałem to w ten sposób więc mam wspólny mianownik i tak to będzie równe to będzie równe to mamy wspólny mianownik 2 i napiszę to innym kolorem więc zapiszę to innym kolorem więc będziemy mieli K razy k plus 1 plus 2 razy k plus 1 teraz na tym etapie tutaj możesz wyfakturować k plus 1 oba te wyrażenia są podzielne przez K plus 1 więc wyfakturujmy to jeśli wyfakturujesz k plus 1 dostaniesz k plus 1 k plus 1 razy wyfakturujemy to tutaj jeśli wyfakturujesz k plus 1 masz po prostu K tutaj jeśli wyfakturujesz k plus 1 masz po prostu – pozwólcie, że oznaczę je kolorami, żebyście wiedzieli co robię, więc ta 2 to ta 2 tam, a to K to ta K to ta K tam, uśredniliśmy to te k plus raz uśredniliśmy to o 2 to k plus 1 tam i to będzie wszystko to wszystko to wszystko to ponad 2 teraz możemy to przepisać to jest to samo to jest równe to jest to samo co to jest to samo co k plus 1 to jest ta część tutaj razy k plus 1 k plus 1 plus 1 to jest to wyraźnie to samo co k plus 2 to wszystko ponad to wszystko ponad 2 Dlaczego to jest dla nas interesujące? Właśnie to udowodniliśmy, jeśli założymy, że to jest prawda, jeśli założymy, że to jest prawda i jeśli po prostu użyjemy tego założenia, otrzymamy, że suma wszystkich dodatnich liczb całkowitych do k plus 1 włącznie jest równa k plus 1 razy k plus 1 plus 1 ponad 2 pokazujemy, że ta oryginalna formuła odnosi się również do k plus 1, jeśli weźmiemy k plus 1 i podstawimy je za n, to otrzymamy dokładnie taki sam wynik, jaki my otrzymaliśmy tutaj. udowodniliśmy, że nasze wyrażenie działa dla sumy dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich do 1 włącznie i działa również, jeśli założymy, że działa dla wszystkiego do k lub jeśli założymy, że działa dla liczby całkowitej k, to działa również dla liczby całkowitej k plus 1 i gotowe, to jest nasz dowód przyjaciel przez indukcję, który udowadnia nam, że to działa dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich dlaczego tak jest, cóż, udowodniliśmy to dla 1 i udowodniliśmy, że jeśli to działa dla jakiejś liczby całkowitej, to będzie działać dla następnej liczby całkowitej, jeśli można założyć, że to działa dla jakiejś liczby całkowitej, to zadziała dla następnej liczby całkowitej, więc jeśli założyliśmy, że zadziała dla jednej, to może zadziałać dla dwóch. Udowodniliśmy już, że działa dla jednej, więc możemy założyć, że zadziała dla jednej, więc na pewno zadziała dla dwóch, więc mamy sprawdzone dwie, ale skoro możemy założyć, że działa dla dwóch, możemy teraz założyć, że działa dla trzech, jeśli działa dla trzech, to udowodniliśmy, że działa dla czterech. Widzisz, jak ten krok indukcyjny jest jak domino, kaskady i możemy go kontynuować w nieskończoność, więc to naprawdę będzie działać dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich