Pokaż uwagę mobilną Pokaż wszystkie notatki Ukryj wszystkie notatki

Rozdział 4 : Całki wielokrotne

W Calculus I przeszliśmy do tematu całek po tym, jak zakończyliśmy dyskusję o pochodnych. Tak samo jest w tym kursie. Teraz, gdy skończyliśmy naszą dyskusję o pochodnych funkcji więcej niż jednej zmiennej, musimy przejść do całek funkcji dwóch lub trzech zmiennych.

Większość tematów dotyczących pochodnych rozszerzyła się nieco naturalnie z ich odpowiedników w Calculus I i tak samo będzie tutaj. Jednakże, ponieważ jesteśmy teraz z udziałem funkcji dwóch lub trzech zmiennych, będą pewne różnice, jak również. Pojawi się nowa notacja i kilka nowych problemów, które po prostu nie pojawiają się, gdy mamy do czynienia z funkcjami jednej zmiennej.

Tutaj jest lista tematów poruszanych w tym rozdziale.

Całki podwójne – W tym rozdziale formalnie zdefiniujemy całkę podwójną, jak również podamy szybką interpretację całki podwójnej.

Iterowane całki – W tym rozdziale pokażemy, jak można wykorzystać twierdzenie Fubiniego do obliczania całek podwójnych, gdy regionem całkowania jest prostokąt.

Całki podwójne po regionach ogólnych – W tym rozdziale zaczniemy obliczać całki podwójne po regionach ogólnych, czyli takich, które nie są prostokątami. Zilustrujemy, jak całka podwójna funkcji może być interpretowana jako objętość netto bryły pomiędzy powierzchnią zadaną przez funkcję a płaszczyzną \(xy\).

Całki podwójne we współrzędnych biegunowych – W tym rozdziale przyjrzymy się przekształcaniu całek (w tym \) we współrzędnych kartezjańskich na współrzędne biegunowe. Regionami całkowania w tych przypadkach będą wszystkie lub fragmenty dysków lub pierścieni, więc będziemy musieli również przekształcić oryginalne granice kartezjańskie dla tych regionów na współrzędne biegunowe.

Całki potrójne – W tym rozdziale zdefiniujemy całkę potrójną. Zilustrujemy również kilka przykładów wyznaczania granic całkowania z trójwymiarowego regionu całkowania. Uzyskanie granic całkowania jest często najtrudniejszą częścią tych problemów.

Całki potrójne we współrzędnych cylindrycznych – W tym rozdziale przyjrzymy się konwersji całek (w tym dV) we współrzędnych kartezjańskich na współrzędne cylindryczne. Będziemy również konwertować oryginalne granice kartezjańskie dla tych regionów do współrzędnych cylindrycznych.

Całości potrójne we współrzędnych sferycznych – W tej sekcji przyjrzymy się konwersji całek (w tym dV) we współrzędnych kartezjańskich do współrzędnych sferycznych. Będziemy również przekształcać oryginalne granice kartezjańskie dla tych regionów na współrzędne sferyczne.

Zmiana zmiennych – W poprzednich rozdziałach przekształcaliśmy współrzędne kartezjańskie we współrzędne biegunowe, cylindryczne i sferyczne. W tym rozdziale uogólnimy tę ideę i omówimy, jak przekształcić całki we współrzędnych kartezjańskich na inne układy współrzędnych. Uwzględnimy również pochodną wzoru konwersji dV przy konwersji do współrzędnych sferycznych.

Powierzchnia – W tej części pokażemy, jak całka podwójna może być użyta do wyznaczenia pola powierzchni części powierzchni, która znajduje się nad regionem w przestrzeni dwuwymiarowej.

Objętość i pole powierzchni – W tej części podsumujemy różne wzory na pole powierzchni i objętość z tego rozdziału.