Im Falle der Gaußschen Eliminierung verlangt der Algorithmus, dass die Pivot-Elemente nicht Null sind, so dass im Falle eines Null-Pivot-Elements Zeilen oder Spalten ausgetauscht werden müssen. Das folgende System erfordert den Austausch der Zeilen 2 und 3, um die Eliminierung durchzuführen.

{\displaystyle \left}

Das System, das sich aus dem Pivotieren ergibt, ist wie folgt und ermöglicht es dem Eliminierungsalgorithmus und der Rückwärtssubstitution, die Lösung des Systems auszugeben.

{\displaystyle \left}

Außerdem ist es bei der Gaußschen Eliminierung im Allgemeinen wünschenswert, ein Pivotelement mit großem Absolutwert zu wählen. Dadurch wird die numerische Stabilität verbessert. Das folgende System ist bei der Gaußschen Eliminierung und der Rückwärtssubstitution stark von Rundungsfehlern betroffen.

{\displaystyle \left}

Dieses System hat die exakte Lösung von x1 = 10,00 und x2 = 1,000, aber wenn der Eliminierungsalgorithmus und die Rückwärtssubstitution mit vierstelliger Arithmetik durchgeführt werden, verursacht der kleine Wert von a11 kleine Rundungsfehler, die sich ausbreiten. Der Algorithmus ohne Pivotierung ergibt die Näherung von x1 ≈ 9873,3 und x2 ≈ 4. In diesem Fall ist es wünschenswert, dass wir die beiden Zeilen so vertauschen, dass a21 in der Pivot-Position

liegt.