Operator (Mathematik)

Sep 22, 2021

admin

GeometrieBearbeiten

Hauptartikel: allgemeine lineare Gruppe und Isometrie

In der Geometrie werden manchmal zusätzliche Strukturen auf Vektorräumen untersucht. Operatoren, die solche Vektorräume bijektiv auf sich selbst abbilden, sind bei diesen Untersuchungen sehr nützlich, denn sie bilden natürlich Gruppen durch Komposition.

Bei den bijektiven Operatoren, die die Struktur eines Vektorraums erhalten, handelt es sich beispielsweise um die invertierbaren linearen Operatoren. Sie bilden die allgemeine lineare Gruppe unter Komposition. Sie bilden keinen Vektorraum unter der Addition von Operatoren, z.B. sind sowohl id als auch -id invertierbar (bijektiv), aber ihre Summe, 0, ist es nicht.

Operatoren, die die euklidische Metrik auf einem solchen Raum erhalten, bilden die Isometriegruppe, und diejenigen, die den Ursprung fixieren, bilden eine Untergruppe, die als orthogonale Gruppe bekannt ist. Operatoren in der orthogonalen Gruppe, die auch die Orientierung von Vektortupeln erhalten, bilden die spezielle orthogonale Gruppe oder die Gruppe der Rotationen.

WahrscheinlichkeitstheorieBearbeiten

Hauptartikel: Wahrscheinlichkeitstheorie

Auch in der Wahrscheinlichkeitstheorie gibt es Operatoren, wie Erwartung, Varianz und Kovarianz. So ist jede Kovarianz im Grunde ein Punktprodukt; jede Varianz ist ein Punktprodukt eines Vektors mit sich selbst und damit eine quadratische Norm; jede Standardabweichung ist eine Norm (Quadratwurzel der quadratischen Norm); der entsprechende Kosinus zu diesem Punktprodukt ist der Pearson-Korrelationskoeffizient; der Erwartungswert ist im Grunde ein Integraloperator (zur Messung gewichteter Formen im Raum).

CalculusEdit

Hauptartikel: Differentialoperator und Integraloperator

Aus Sicht der Funktionalanalysis ist die Infinitesimalrechnung die Lehre von zwei linearen Operatoren: dem Differentialoperator d d t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}}

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$

, und der Volterra-Operator ∫ 0 t {\displaystyle \int _{0}^{t}}

$\int_0^t$

Fourierreihen und FouriertransformationBearbeiten

Hauptartikel: Fourier-Reihe und Fourier-Transformation

Die Fourier-Transformation ist nützlich in der angewandten Mathematik, insbesondere in der Physik und der Signalverarbeitung. Sie ist ein weiterer Integraloperator; sie ist vor allem deshalb nützlich, weil sie eine Funktion in einem (zeitlichen) Bereich in eine Funktion in einem anderen (frequenziellen) Bereich umwandelt, und zwar auf eine Weise, die effektiv invertierbar ist. Es geht keine Information verloren, da es einen inversen Transformationsoperator gibt. Im einfachen Fall periodischer Funktionen beruht dieses Ergebnis auf dem Theorem, dass jede kontinuierliche periodische Funktion als Summe einer Reihe von Sinus- und Kosinuswellen dargestellt werden kann:

f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ( ω n t ) + b n sin ( ω n t ) {\displaystyle f(t)={a_{0} \über 2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}\cos(\omega nt)+b_{n}\sin(\omega nt)}}

$f(t) = {a_0 \über 2} + \sum_{n=1}^{\infty}{ a_n \cos ( \omega n t ) + b_n \sin ( \omega n t ) }$

Das Tupel (a0, a1, b1, a2, b2, …) ist in der Tat ein Element eines unendlich-dimensionalen Vektorraums ℓ2, und somit ist die Fourierreihe ein linearer Operator.

Bei einer allgemeinen Funktion R → C nimmt die Transformation eine Integralform an:

f ( t ) = 1 2 π ∫ – ∞ + ∞ g ( ω ) e i ω t d ω . {\displaystyle f(t)={1 \über {\sqrt {2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{g(\omega )e^{i\omega t}\,d\omega }.}

$f(t) = {1 \über \sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^{+ \infty}{g( \omega )e^{ i \omega t } \,d\omega }.$

Laplace-TransformationBearbeiten

Hauptartikel: Laplace-Transformation

Die Laplace-Transformation ist ein weiterer Integraloperator und dient der Vereinfachung der Lösung von Differentialgleichungen.

Gegeben f = f(s), ist sie definiert durch:

F ( s ) = L { f } ( s ) = ∫ 0 ∞ e – s t f ( t ) d t . {\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}

$F(s)={\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{{{-st}}f(t)\,dt.$

Grundlegende Operatoren auf Skalar- und VektorfeldernBearbeiten

Hauptartikel: Vektorrechnung, Vektorfeld, Skalarfeld, Gradient, Divergenz und Curl

Drei Operatoren sind für die Vektorrechnung von zentraler Bedeutung:

Grad (Gradient), (mit Operatorensymbol ∇ {\displaystyle \nabla }
$\nabla$

) ordnet jedem Punkt eines Skalarfeldes einen Vektor zu, der in die Richtung der größten Änderungsrate dieses Feldes zeigt und dessen Norm den Absolutwert dieser größten Änderungsrate misst.
Div (Divergenz), (mit Operatorsymbol ∇ ⋅ {\displaystyle \nabla \cdot }
$\nabla \cdot$

) ist ein Vektoroperator, der die Divergenz eines Vektorfeldes von oder die Konvergenz zu einem bestimmten Punkt misst.
Curl, (mit dem Operatorsymbol ∇ × {\displaystyle \nabla \times }
$\nabla \times$

) ist ein Vektoroperator, der die Krümmungstendenz eines Vektorfeldes um einen bestimmten Punkt misst.

Als Erweiterung der Operatoren der Vektorrechnung auf die Physik, das Ingenieurwesen und die Tensorräume werden Grad-, Div- und Curl-Operatoren auch oft mit der Tensorrechnung sowie der Vektorrechnung in Verbindung gebracht.