Wiskunde
Inspiratie, zuivere, toegepaste wiskunde en estheticaEdit
Het is heel goed mogelijk dat de rekenkunst al eerder dan het schrift is ontwikkeld, en vooral betrekking had op de boekhouding en het beheer van onroerend goed, de handel, in de landmeetkunde, en later in de astronomie.
Heden ten dage dragen alle wetenschappen problemen aan die door wiskundigen worden bestudeerd, terwijl binnen de wiskunde zelf nieuwe problemen opduiken. Zo heeft de natuurkundige Richard Feynman de padintegraal voorgesteld als de grondslag van de kwantummechanica, waarin wiskundige redeneringen en de natuurkundige benadering worden gecombineerd, maar een volledig bevredigende definitie in wiskundige termen is nog niet tot stand gekomen. Evenzo blijft de snaartheorie, een zich ontwikkelende wetenschappelijke theorie die de vier fundamentele krachten van de fysica tracht te verenigen, de meeste moderne wiskunde inspireren.
Sommige wiskunde is alleen relevant voor het gebied waarop zij werd geïnspireerd en wordt toegepast op andere problemen in dat gebied. Vaak echter is de wiskunde die op een bepaald gebied geïnspireerd is, nuttig op vele gebieden, en wordt zij opgenomen in de algemeen aanvaarde wiskundige concepten. Het opmerkelijke feit dat zelfs de zuiverste wiskunde meestal praktische toepassingen heeft, is wat Eugene Wigner heeft omschreven als “de onredelijke doeltreffendheid van de wiskunde in de natuurwetenschappen”.
Zoals op de meeste studiegebieden heeft de explosie van kennis in het wetenschappelijke tijdperk geleid tot de specialisatie van de wiskunde. Er is een belangrijk onderscheid tussen zuivere wiskunde en toegepaste wiskunde. De meeste onderzoeksmathematici richten zich op slechts één van deze gebieden, en soms wordt de keuze gemaakt wanneer zij aan hun studie beginnen. Verscheidene gebieden van de toegepaste wiskunde zijn gefuseerd met andere gebieden die traditioneel buiten de wiskunde liggen en zijn onafhankelijke disciplines geworden, zoals statistiek, operationeel onderzoek of informatica.
Diegenen die een voorliefde voor wiskunde hebben, vinden dat er een esthetisch aspect overheerst dat de meeste wiskunde definieert. Vele wiskundigen hebben het over de elegantie van de wiskunde, haar intrinsieke esthetiek en haar innerlijke schoonheid. In het algemeen is een van de meest gewaardeerde aspecten de eenvoud ervan. Er schuilt schoonheid in een eenvoudig en krachtig bewijs, zoals Euclides’ bewijs van het bestaan van oneindig veel priemgetallen, en in een elegante numerieke analyse die de berekening versnelt, evenals in de snelle Fouriertransformatie. G. H. Hardy sprak in A Mathematician’s Apology de overtuiging uit dat deze esthetische overwegingen op zichzelf voldoende zijn om de studie van de zuivere wiskunde te rechtvaardigen. Wiskundigen streven er vaak naar bewijzen van stellingen te vinden die bijzonder elegant zijn; de excentrieke wiskundige Paul Erdős noemde dit het zoeken naar bewijzen van “Het Boek” waarin God zijn favoriete bewijzen heeft geschreven. De populariteit van recreatieve wiskunde is een ander teken van het plezier van het oplossen van wiskundige vraagstukken.
Notatie, taal en strengheidEdit
De meeste wiskundige notaties die tegenwoordig gebruikt worden, zijn pas in de 18e eeuw uitgevonden. Voordien werd wiskunde in woorden geschreven, een moeizaam proces dat de wiskundige vooruitgang beperkte. In de 18e eeuw was Euler verantwoordelijk voor veel van de notaties die tegenwoordig worden gebruikt. Moderne notatie maakt wiskunde veel gemakkelijker voor professionals, maar ingewikkelder voor beginners. De notatie reduceert de wiskunde tot een minimum, waardoor sommige symbolen een grote hoeveelheid informatie bevatten. Net als muzieknotatie heeft moderne wiskundige notatie een strikte syntaxis en codeert het informatie die anders moeilijk te schrijven zou zijn.
Wiskundige taal kan ook moeilijk zijn voor beginners. Woorden als or en only hebben een preciezere betekenis dan in het gewone taalgebruik. Bovendien hebben woorden als open en lichaam zeer specifieke wiskundige betekenissen. Wiskundig jargon, of wiskundige taal, omvat technische termen zoals homeomorfisme of integreerbaarheid. De reden voor de noodzaak om notatie en jargon te gebruiken is dat wiskundige taal meer precisie vereist dan alledaagse taal. Wiskundigen noemen deze precisie in taal en logica “nauwkeurigheid”.
Rijkheid is een onmisbare voorwaarde die een wiskundig bewijs moet bezitten. Wiskundigen willen dat hun stellingen uit axioma’s een systematische redenering volgen. Dit dient om foutieve stellingen, gebaseerd op feilbare intuïties, die zich in de geschiedenis van deze wetenschap verschillende malen hebben voorgedaan, te vermijden. Het niveau van nauwkeurigheid dat in de wiskunde werd verwacht, varieerde in de loop der tijden: de Grieken streefden naar gedetailleerde argumenten, maar in de tijd van Isaac Newton waren de gebruikte methoden minder rigoureus. De inherente problemen met de definities die Newton gebruikte leidden tot een opleving van zorgvuldige analyse en officiële demonstraties in de 19e eeuw. Nu blijven wiskundigen elkaar steunen met computerondersteunde demonstraties.
Een axioma wordt traditioneel geïnterpreteerd als een “vanzelfsprekende waarheid”, maar deze opvatting is problematisch. In het formele domein is een axioma niets meer dan een reeks symbolen, die alleen intrinsieke betekenis heeft in de context van alle formules die uit een axiomatisch systeem worden afgeleid.
Wiskunde als wetenschapEdit
Carl Friedrich Gauss noemde wiskunde “de koningin der wetenschappen”.
Carl Friedrich Gauss noemde wiskunde “de koningin der wetenschappen”. Zowel in het oorspronkelijke Latijnse Scientiārum Regīna, als in het Duitse Königin der Wissenschaften, moet het woord wetenschap geïnterpreteerd worden als (gebied van) kennis. Als wetenschap beschouwd wordt als de studie van de fysieke wereld, dan is wiskunde, of tenminste zuivere wiskunde, geen wetenschap.
Veel filosofen menen dat wiskunde niet experimenteel falsifieerbaar is en dus geen wetenschap is volgens de definitie van Karl Popper. In de jaren dertig van de vorige eeuw bleek echter uit belangrijk werk op het gebied van de mathematische logica dat wiskunde niet kan worden gereduceerd tot logica, en Karl Popper concludeerde dat “de meeste wiskundige theorieën, net als die van de natuurkunde en de biologie, hypothetisch-deductief zijn. Zo is de zuivere wiskunde dichter komen te staan bij de natuurwetenschappen, waarvan de hypothesen vermoedens zijn, zoals tot nu toe het geval was”. Andere denkers, met name Imre Lakatos, hebben gepleit voor een versie van Falsificationisme voor de wiskunde zelf.
Een alternatieve opvatting is dat bepaalde wetenschappelijke gebieden (zoals de theoretische natuurkunde) wiskunde zijn met axioma’s die pretenderen overeen te komen met de werkelijkheid. De theoretische natuurkundige J.M. Ziman stelt zelfs voor dat wetenschap “publieke kennis” is en dus ook wiskunde omvat. In ieder geval heeft de wiskunde veel gemeen met veel gebieden van de natuurwetenschappen, met name het onderzoek naar de logische consequenties van hypothesen. Intuïtie en experimenten spelen ook een belangrijke rol bij het formuleren van vermoedens in de wiskunde en de andere wetenschappen. Experimentele wiskunde blijft aan belang winnen binnen de wiskunde. Calculus en simulatie spelen een steeds grotere rol in zowel wetenschap als wiskunde, waardoor het bezwaar dat wiskunde geen gebruik maakt van de wetenschappelijke methode, wordt afgezwakt. In 2002 betoogt Stephen Wolfram in zijn boek A New Kind of Science dat computationele wiskunde het verdient om empirisch te worden onderzocht als een wetenschappelijk gebied.
De meningen van wiskundigen over deze kwestie lopen sterk uiteen. Veel wiskundigen zijn van mening dat hun vakgebied een wetenschap noemen betekent dat het belang van het esthetische profiel ervan wordt geminimaliseerd, en dat de geschiedenis ervan binnen de zeven vrije kunsten wordt ontkend. Anderen zijn van mening dat het negeren van het verband met de wetenschappen neerkomt op het negeren van het duidelijke verband tussen wiskunde en de toepassingen ervan in wetenschap en techniek, dat de ontwikkeling van de wiskunde sterk heeft gestimuleerd. Een ander punt van discussie, dat enigszins verband houdt met het vorige, is de vraag of de wiskunde is ontstaan (als kunst) of ontdekt (als wetenschap). Dit is een van de vele punten van zorg voor de filosofie van de wiskunde.
Wiskundeprijzen worden over het algemeen gescheiden gehouden van hun equivalenten in de wetenschap. De meest prestigieuze prijs in de wiskunde, de Fields Medal, werd ingesteld in 1936 en wordt om de vier jaar uitgereikt. Het wordt vaak beschouwd als het equivalent van de Nobelprijs voor de wetenschap. Andere prijzen zijn de Wolfprijs voor wiskunde, die in 1978 in het leven is geroepen en die de levenswerkzaamheid van wiskundigen beloont, en de Abelprijs, een andere belangrijke internationale prijs, die in 2003 is ingevoerd. De laatste twee worden toegekend voor voortreffelijk werk, dat baanbrekend onderzoek kan zijn of de oplossing van een opmerkelijk probleem op een bepaald gebied. Een beroemde lijst van deze 23 onopgeloste problemen, de “Hilbert Problemen” genoemd, werd in 1900 opgesteld door de Duitse wiskundige David Hilbert. Deze lijst is zeer populair geworden onder wiskundigen, en ten minste negen van de problemen zijn reeds opgelost. In 2000 werd een nieuwe lijst van zeven fundamentele problemen gepubliceerd, getiteld “Millenniumproblemen”. De oplossing voor elk van de problemen wordt beloond met 1 miljoen dollar. Interessant is dat er slechts één (de Riemann-hypothese) op beide lijsten voorkomt.