In het geval van Gaussische eliminatie vereist het algoritme dat pivot elementen niet nul zijn. Het verwisselen van rijen of kolommen in het geval van een pivot element van nul is noodzakelijk. In het onderstaande systeem moeten de rijen 2 en 3 worden verwisseld om de eliminatie uit te voeren.

{Displaystyle \left}

Het stelsel dat het resultaat is van pivoteren ziet er als volgt uit en maakt het mogelijk om met het eliminatiealgoritme en terugwaartse substitutie de oplossing van het stelsel uit te voeren.

{{\displaystyle \left}

Bij Gaussische eliminatie is het bovendien meestal wenselijk een pivotelement met een grote absolute waarde te kiezen. Dit verbetert de numerieke stabiliteit. Het volgende stelsel vertoont een dramatische afrondingsfout bij Gaussische eliminatie en achterwaartse substitutie.

{Displaystyle \left}

Dit stelsel heeft de exacte oplossing van x1 = 10,00 en x2 = 1,000, maar wanneer het eliminatiealgoritme en de terugwaartse substitutie worden uitgevoerd met behulp van vier-cijferige rekenkunde, zorgt de kleine waarde van a11 ervoor dat er kleine afrondingsfouten ontstaan. Het algoritme zonder pivotering levert een benadering op van x1 ≈ 9873,3 en x2 ≈ 4. In dit geval is het wenselijk dat we de twee rijen verwisselen, zodat a21 in de spilpositie

staat.