Operator (wiskunde)

sep 22, 2021

admin

GeometrieEdit

Main articles: algemene lineaire groep en isometrie

In de meetkunde worden soms bijkomende structuren op vectorruimten bestudeerd. Operatoren die zulke vectorruimten bijectief in zichzelf overbrengen zijn bij deze studies zeer nuttig, zij vormen van nature groepen door compositie.

Bijv. bijectieve operatoren die de structuur van een vectorruimte behouden zijn juist de inverteerbare lineaire operatoren. Zij vormen de algemene lineaire groep onder samenstelling. Zij vormen geen vectorruimte onder de optelling van operatoren, b.v. zowel id als -id zijn inverteerbaar (bijectief), maar hun som, 0, is dat niet.

Operatoren die de Euclidische metriek op zo’n ruimte behouden, vormen de isometriegroep, en die welke de oorsprong fixeren vormen een ondergroep die orthogonale groep heet. Operatoren in de orthogonale groep die ook de oriëntatie van vectortukken behouden, vormen de speciale orthogonale groep, of de groep der rotaties.

WaarschijnlijkheidstheorieEdit

Main article: Waarschijnlijkheidstheorie

Operatoren zijn ook betrokken bij de waarschijnlijkheidstheorie, zoals verwachting, variantie, en covariantie. Inderdaad, elke covariantie is in wezen een scalair product; elke variantie is een scalair product van een vector met zichzelf, en is dus een kwadratische norm; elke standaardafwijking is een norm (vierkantswortel van de kwadratische norm); de overeenkomstige cosinus van dit scalair product is de Pearson-correlatiecoëfficiënt; de verwachtingswaarde is in wezen een integraaloperator (gebruikt om gewogen vormen in de ruimte te meten).

CalculusEdit

Main articles: differentiaaloperator en integraaloperator

Vanuit het oogpunt van de functionaalanalyse is calculus de studie van twee lineaire operatoren: de differentiaaloperator d d t {{\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$

, en de Volterra-operator ∫ 0 t {\displaystyle \int _{0}^{t}}

$\int_0^t$

Fourierreeksen en FouriertransformatieEdit

Main articles: Fourierreeks en Fouriertransformatie

De Fouriertransformatie is nuttig in de toegepaste wiskunde, met name in de natuurkunde en de signaalverwerking. Het is een andere integraaloperator; hij is vooral nuttig omdat hij een functie in het ene (tijds)domein omzet in een functie in een ander (frequentie)domein, op een manier die in feite inverteerbaar is. Er gaat geen informatie verloren, omdat er een inverse transformator is. In het eenvoudige geval van periodieke functies berust dit resultaat op de stelling dat elke continue periodieke functie kan worden voorgesteld als de som van een reeks sinus- en cosinusgolven:

f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ( ω n t ) + b n sin ( ω n t ) {\displaystyle f(t)={a_{0} \over 2}+sum _{n=1}^{infty }{a_{n}cos(ω n)+b_{n}sin(ω n)}}

$f(t) = {a_0 \over 2} + \sum_{n=1}^{\infty}{ a_n \cos ( \omega n t ) + b_n \sin ( \omega n t ) }$

De tupel (a0, a1, b1, a2, b2, …) is in feite een element van een oneindig-dimensionale vectorruimte ℓ2, en dus is de Fourierreeks een lineaire operator.

Wanneer men te maken heeft met een algemene functie R → C, neemt de transformatie een integraalvorm aan:

f ( t ) = 1 2 π ∫ – ∞ + ∞ g ( ω ) e i ω t d ω . {Displaystyle f(t)={1 \over {sqrt {2 \pi }}}}

$f(t) = {1 \over \sqrt{2 \pi}} \{int_{- \infty}^{+ \infty}{g( \omega )e^{ i \omega t } \.}$

Laplace transformEdit

Main article: Laplace-transformatie

De Laplace-transformatie is een andere integraaloperator en is betrokken bij het vereenvoudigen van het proces van oplossen van differentiaalvergelijkingen.

Gegeven f = f(s), is deze gedefinieerd door:

F ( s ) = L { f } ( s ) = ∫ 0 ∞ e – s t f ( t ) d t . {Displaystyle F(s)={\mathcal {L}}{f}(s)={0}^{infty }e^{-st}f(t)t,dt.}

$F(s)={\mathcal {L}}{f}(s)={int _{0}^{infty }e^{-st}f(t)},dt.$

Fundamentele operatoren op scalaire en vectorveldenEdit

Main articles: vector calculus, vector field, scalar field, gradient, divergence, and curl

Drie operatoren zijn de sleutel tot vector calculus:

Grad (gradiënt), (met operatorsymbool ∇ {\displaystyle \nabla }

) kent aan elk punt in een scalair veld een vector toe die wijst in de richting van de grootste veranderingssnelheid van dat veld en waarvan de norm de absolute waarde van die grootste veranderingssnelheid meet.
Div (divergentie), (met operatorteken ∇ ⋅ {\displaystyle \nabla \cdot }
$>Divergentie, (met operatorsymbool ∇ × {displaystyle \nabla \cdot$

) is een vectoroperator die de divergentie van een vectorveld meet van of convergentie naar een bepaald punt.
Curl, (met operatorsymbool ∇ × {displaystyle \nabla \times }
Curl, (met operatorsymbool ∇ × {displaystyle \nabla \times } }) is een vectoroperator die de omkrullende (ronddraaiende, ronddraaiende) tendens van een vectorveld rond een bepaald punt meet.

Als uitbreiding van vectorrekenkundige operatoren naar natuurkunde, techniek en tensorruimten, worden Grad-, Div- en Curl-operatoren ook vaak geassocieerd met zowel Tensorrekening als vectorrekening.