$ \def P{\mathcal P} % machtsverzameling \defiff{linksrechtsarrow}$

Mapping, of afgekort map, is een van de vele synoniemen die gebruikt worden voor functie.In het bijzonder wordt de term map(ping) gebruikt in algemene contexten, zoals in de verzamelingenleer, maar het gebruik is niet beperkt tot deze gevallen.

Het mapping-concept in de verzamelingenleer

In de verzamelingenleer zijn mappings speciale binaire relaties.

Een afbeelding $f$ van een verzameling $A$ naar een verzameling $B$ is een (geordend) drietal $ f = (A,B,G_f) $ waarbij $ G_f een deelverzameling A maal B $zodat

• (a) als $ (x,y) $ en $ (x,y’) \in G_f $ dan $ y=y’ $, en
• (b) de projectie $ \pi_1 (G_f) = \{ x \mid (x,y) \in G_f \} = A $.

Voorwaarde a) drukt uit dat $f$ van één waarde is. en voorwaarde b) dat ze gedefinieerd is op $A$.

$A$ is het domein, $B$ is de codomein, en $G_f$ is de grafiek van de mapping. In dit geval zijn de samenvoegingen dus gelijk als en slechts als alle drie overeenkomstige componenten (domein, codomein en grafiek) gelijk zijn.
De samenvoeging wordt gewoonlijk aangeduid als $ f : A $ naar B $, en $ a $ is gelijk aan f(a) $ waarbij $ f(a) := b \iff (a,b) \in G_f $ de waarde van $f$ bij $a$ is.

Als twee mappings $ f_1 = (A_1,B_1,G_1) $ en $ f_2 = (A_2,B_2,G_2) $ voldoen

$ A_1 \subset A_2 $, $ B_1 \subverzameling B_2 $ en $ G_1 \subverzameling G_2 $

dan heet $f_2$ een uitbreiding van $ f_1 $, en $ f_1 $ een beperking van $f_2$.In dit geval wordt $ f_1 $ vaak aangeduid als $ f_2 \vert A_1 $ en het is duidelijk dat $ f_1 (a) = f_2 (a) $ geldt voor alle $ a in A_1 $.

Opmerking:
Soms wordt alleen de grafiek $G_f$ gebruikt om een functie voor te stellen.In dat geval zijn twee mappings gelijk als ze dezelfde grafiek hebben, en men kan grafieken toestaan die geen verzamelingen maar klassen zijn.
Hoewel het domein van de functie verkregen kan worden als projectie $ \pi_1 (G_f) $ van de eerste component, levert de projectie $ \pi_2 (G_f) $ van de tweede component niet het codomein op, maar alleen het beeld van het domein.Het begrip surjectiviteit is dus niet van toepassing.

Compositie

Twee mappings kunnen gecomponeerd zijn als het codomein van de ene mapping een deelverzameling is van het domein van de andere mapping:

Voor $ f=(A,B,G_f) $ en $ g=(C,D,G_g) $ met $ B deelverzameling C $ is de samenstelling $ g \circ f $ de afbeelding $ (A,D,G) $ met

$ G := \{ (a,g(f(a)))) \(a,c) (b bestaat niet in B) ( (a,b) in G_f en (b,c) in G_g ) \} $.

Opmerkingen:
(a) De voorwaarde $ B \subset C $ kan worden versoepeld tot $ f(A) \subset C $.
(b) Als alleen grafieken worden gebruikt dan wordt de grafiek van de samenstelling gedefinieerd (zoals hierboven) door

$ G_{g \circ f} := \{ (a,c) \mid (\exists b ) ( (a,b) \in G_f \land (b,c) \in G_g ) \maar kan leeg blijken te zijn.

Induceerbare afbeeldingen

Iedere afbeelding $ f : A naar B $ induceert twee afbeeldingen tussen de machtsverzamelingen $ f : A naar B $ en $ f : A naar B $.

$ f_\ast : \P(A) \naar \P(B) $ gedefinieerd door $ f_\ast (S) := \{ f(a) \mid a \in S \}$ voor $ S \subverzameling A $

en

$ f^\ast : \P(B) \naar \P(A) $ gedefinieerd door $ f^\ast (T) := \{ a \mid f(a) \in T \}$ voor $ T \subverzameling B $

$ f_\ast (S) $ heet het beeld van $S$ onder $f$, gewoonlijk aangeduid als $f(S)$, en$ f^\ast (T) $ heet het inverse beeld van $T$ onder $f$, gewoonlijk aangeduid als $f^{-1}(T)$, maar men moet zich ervan bewust zijn dat deze gebruikelijke notaties in bepaalde situaties dubbelzinnig kunnen zijn.