In het begin van de twintigste eeuw was de universiteit van Göttingen een van de toponderzoekscentra voor wiskunde in de wereld. De wiskundige David Hilbert was er een gevestigd hoogleraar, en in het wintersemester van 1924-25 gaf hij een reeks voordrachten over het oneindige in de wiskunde, de natuurkunde en de sterrenkunde. (Deze en andere lezingen van Hilbert zijn nu in boekvorm uitgegeven door Springer-Verlag. Het boek is in de IAS-bibliotheek beschikbaar in vertaling en in het oorspronkelijke Duits). In een van deze lezingen gebruikte hij een voorbeeld om het cruciale verschil tussen eindige en oneindige verzamelingen uit te leggen: in een hotel met een eindig aantal kamers is er, als alle kamers bezet zijn, geen plaats meer voor nieuwe gasten. Maar in een hotel met oneindig veel kamers is dat geen probleem: als alle kamers bezet zijn en er komt een nieuwe gast, dan schuift men gewoon elke oude gast een kamer op, zodat de eerste kamer vrij is voor de nieuwe gast. Met een soortgelijke redenering kunnen we elk eindig aantal, en zelfs oneindig veel, nieuw aangekomen gasten huisvesten.

George Gamow (van het beroemde Alpher-Bethe-Gamow paper op het gebied van de fysische kosmologie) was een zomer postdoc aan de Universiteit van Göttingen een paar jaar nadat deze lezingen plaatsvonden en heeft daar waarschijnlijk geleerd van Hilbert’s voorbeeld van het oneindige hotel. Hij populariseerde het in zijn populair-wetenschappelijke boek uit 1947, getiteld One Two Three…Infinity: Facts and Speculations of Science (verkrijgbaar in de bibliotheek van Princeton University).

Laten we teruggaan naar Hilbert’s hotel. Laten we voor de overzichtelijkheid zeggen dat de oneindig vele kamers van het hotel genummerd zijn als 1, 2, 3, 4, 5, . . … Op een nacht zijn ze allemaal bezet, maar er komt een nieuwe gast. Zoals gezegd, verplaatsen we de gast in kamer 1 naar kamer 2, de gast in kamer 2 naar kamer 3, de gast in kamer 3 naar kamer 4, en in het algemeen, de gast in kamer n naar kamer n + 1, waardoor in kamer 1 een kamer vrijkomt voor de nieuwe gast, maar geen van de oorspronkelijke gasten dakloos blijft.

Stel nu dat er twintig nieuwe gasten arriveren in plaats van slechts één. De eerder gebruikte truc werkt net zo goed: verplaats de gast in kamer 1 naar kamer 21, de gast in kamer 2 naar kamer 22, en in het algemeen, de gast in kamer n naar kamer n + 20. Zo blijven er twintig kamers vrij en klaar voor de twintig nieuwe gasten.

Maar wat als er oneindig veel nieuwe gasten aan boord van een oneindige bus komen? We kunnen de vorige redenering zo aanpassen dat ze voor deze situatie nog steeds werkt: verdeel de gasten die al in het hotel zijn zo dat ze alleen nog maar elke andere kamer bezetten. Wiskundig gesproken: verplaats de gast in kamer n naar kamer 2n, zodat alle kamers met even nummers bezet zijn. Dan blijven alle andere kamers (oneindig veel!) vrij en klaar voor de (oneindig veel!) mensen die met de bus komen. De persoon die op stoel nummer n van de bus zit, moet naar de n-de oneven genummerde kamer verhuizen, dat is kamer nummer 2n – 1.

Wat als er negenennegentig oneindige bussen arriveren? Verplaats gewoon de oorspronkelijke hotelgasten naar de kamers 100, 200, 300, enz., de passagiers van de eerste bus naar de kamers 1, 101, 201, enz., de passagiers van de tweede bus naar de kamers 2, 102, 202, enz., en zo verder voor de rest van de bussen. Op die manier worden alle kamers van het hotel bezet, terwijl geen enkele gast zonder kamer blijft. Als de passagiers in de bussen zelf genummerd waren als 1, 2, 3, 4, 5, . . . (en laten we geen onderscheid maken en de oorspronkelijke gasten van het hotel ook passagiers noemen – we kunnen het zien als het verplaatsen van alle oorspronkelijke gasten uit het hotel naar een decoratieve bus die net buiten het hotel geparkeerd staat en die we bus nummer 0 kunnen noemen), dan zouden we zien dat de eerste honderd kamers van het hotel gevuld zijn met passagiers nummer 1, de tweede honderd kamers van het hotel gevuld zijn met passagiers nummer 2, enzovoort.

Het volgende niveau is het omgaan met oneindig veel oneindige bussen (elke bus met oneindig veel passagiers). Het eerste wat je moet doen is iedereen uit het hotel en uit de bussen halen en op de parkeerplaats, of op een stuk papier, in een rooster opstellen: laat de oorspronkelijke gasten van het hotel (oftewel de passagiers van bus 0) van links naar rechts in een rij opstellen. Laat de passagiers van de eerste bus een rij vormen, net daaronder, en de passagiers van de tweede bus een rij daaronder, enz. Laat de rijen zo op elkaar aansluiten dat passagiers nummer 1 van elke bus in een kolom gaan staan, passagiers nummer 2 in een kolom rechts van die kolom, enzovoort. Als we nu hotelkamers 1, 2, 3, 4, . . . beginnen te vullen met mensen uit de eerste rij, zullen we die nooit afmaken en verder gaan naar de tweede rij, en evenzo als we proberen te beginnen met de eerste kolom. De truc is om te denken aan diagonale lijnen, die van linksonder naar rechtsboven lopen op het rooster. De meest linkse van deze diagonale lijnen raakt alleen de persoon linksboven (bus 0, passagier 1): stop die persoon in kamer 1. De volgende diagonale lijn raakt twee personen (bus 1, passagier 1 en bus 0, passagier 2): stop die twee personen in kamers 2 en 3. De volgende diagonale lijn raakt drie personen: zet ze in de volgende drie lege kamers, 4, 5, 6. Dit patroon voortzettend zullen we uiteindelijk een kamer toewijzen aan elk van de mensen die geduldig op de parkeerplaats staan.

Kunnen we dieper de oneindigheid in gaan, dieper dan oneindig veel oneindige bussen? Ja dat kunnen we: stel je voor dat pal naast Hilbert’s hotel een parkeergarage is. Op de eerste verdieping, vlak naast de hoteldeur, staan onze reeds bekende oneindig vele oneindig vele bussen. Maar dan zien we: de garage heeft oneindig veel verdiepingen, elk met oneindig veel oneindige bussen. Kan het Hilbert hotel omgaan met deze extra laag van oneindigheid? Het antwoord is ja! Je kunt je voorstellen dat je de vorige methode gebruikt om een enkele file van passagiers te maken op elke verdieping van de parkeergarage, en dan tegen elke enkele file zegt dat ze in één oneindige bus moeten gaan. Nu hebben we het probleem teruggebracht tot oneindig veel oneindige bussen, waarvan we weten dat ze in het hotel kunnen worden ondergebracht.

Wat als we nog een laag van oneindigheid toevoegen? Bijvoorbeeld, als er oneindig veel parkeergarages zijn, elk met oneindig veel verdiepingen, elke verdieping met oneindig veel bussen, elke bus met oneindig veel passagiers? Dat zijn vier lagen van oneindigheid, en het antwoord is nog steeds ja! In feite is het antwoord zelfs ja voor vierduizend lagen van oneindigheid. Houdt het ooit op? Heeft Hilbert’s hotel ooit geen plaats voor nieuwe gasten? Is er een oneindigheid die te groot is voor Hilbert’s hotel?

Ja, die is er. Inderdaad, als we oneindig veel lagen van oneindigheid hadden, zouden al die mensen onmogelijk in Hilbert’s hotel kunnen worden ondergebracht. Dus … wat gebeurt er? Het blijkt dat alle beschreven oneindigheden, tot en met deze laatste, even groot zijn. Die grootte heet ℵ0 (aleph nought), de grootte van de verzameling ℕ = {1, 2, 3, 4, . . .} en hoeveel kamers er zijn in Hilbert’s hotel. Het was Georg Cantor die in 1874 het idee introduceerde om de grootten van oneindigheden te vergelijken, en aantoonde dat er oneindigheden van verschillende grootte bestaan. Verschillende belangrijke wiskundigen (Poincaré, Kronecker, en later Weyl) waren sterk gekant tegen zijn ideeën, net als sommige theologen – zij beweerden dat Cantors ideeën de uniciteit van de absolute oneindigheid van God in twijfel trokken. Hilbert daarentegen steunde en verdedigde Cantor.

Het vergelijken van de grootte van oneindige verzamelingen verschilt niet zo veel van het vergelijken van de grootte van eindige verzamelingen: om te weten of er meer stoelen of meer mensen in een collegezaal zijn, hoef je de mensen en stoelen niet te tellen en de twee getallen te vergelijken. Je kunt gewoon naar de zaal kijken en zien of er lege stoelen zijn (meer stoelen dan mensen) of mensen die blijven staan (meer mensen dan stoelen): als elke persoon op een stoel zit en er geen lege stoelen zijn, dan zijn de stoelenverzameling en de mensenverzameling even groot. Op dezelfde manier, als elke passagier in de bus een kamer krijgt toegewezen in Hilbert’s hotel en er geen kamer leeg blijft, dan is de verzameling passagiers een oneindigheid van dezelfde grootte als de verzameling kamers in Hilbert’s hotel, ℵ0. Cantor gebruikte dit idee om aan te tonen dat de verzameling van reële getallen, ℝ, strikt groter is dan de verzameling van natuurlijke getallen, ℕ; zijn prachtige argument werd bekend als “Cantor’s diagonaal”. Cantor vermoedde ook – en probeerde het te bewijzen maar slaagde daar niet in – de Continuümhypothese: dat er geen oneindige verzameling is die strikt groter is dan ℕ maar strikt kleiner dan ℝ. Hilbert nam het bewijzen dat die stelling waar of onwaar is op als eerste probleem op de beroemde lijst van drieëntwintig problemen die hij voorstelde op het Internationaal Congres van Wiskundigen in Parijs in 1900, en die de richting van het wiskunde-onderzoek nog decennia lang zouden bepalen. Het antwoord is dat niet bewezen kan worden dat deze hypothese onwaar is (Gödel, jaren 40), maar ook niet dat zij waar is (Cohen, jaren 60): het is een onbeslisbaar probleem!

Hilbert heeft beroemd gezegd, over Cantors ideeën over oneindigheid en alle nieuwe wiskunde die zij teweeg hebben gebracht: “Niemand zal ons verdrijven uit het paradijs dat Cantor heeft geschapen.”