Het probleemEdit

Het vermoeden van Poincaré, voorgesteld door de Franse wiskundige Henri Poincaré in 1904, was een van de kernproblemen in de topologie. Elke lus op een bol van 3 – zoals bijvoorbeeld de verzameling punten op een afstand van 1 van de oorsprong in de vierdimensionale euclidische ruimte – kan worden ingekrompen tot een punt. Het vermoeden van Poincaré stelt dat elke gesloten driedimensionale manifold, zodanig dat elke lus tot een punt kan worden samengetrokken, topologisch een 3-sfeer is. Het analoge resultaat is sinds 1960 bekend in dimensies groter dan of gelijk aan vijf, zoals in het werk van Stephen Smale. Het vier-dimensionale geval weerstond langer, en werd eindelijk opgelost in 1982 door Michael Freedman. Maar het geval van drie-manifolds bleek het moeilijkst van allemaal te zijn. Ruwweg komt dit omdat bij het topologisch manipuleren van een drie-manifold er te weinig dimensies zijn om “problematische gebieden” uit de weg te ruimen zonder met iets anders te interfereren. De meest fundamentele bijdrage aan het driedimensionale geval werd geleverd door Richard S. Hamilton. De rol van Perelman was om het programma van Hamilton te voltooien.

Perelman’s bewijsEdit

In november 2002 plaatste Perelman de eerste van drie preprints op het arXiv, waarin hij beweerde een bewijs te hebben geschetst van de geometrizatie-conjectuur, waarvan de Poincaré-conjectuur een bijzonder geval is. Dit werd gevolgd door de twee andere preprints in 2003.

Perelman wijzigde het programma van Richard S. Hamilton voor een bewijs van de conjectuur. Het centrale idee is de notie van de Ricci-stroom. Het fundamentele idee van Hamilton is het formuleren van een “dynamisch proces” waarin een gegeven drie-manifold geometrisch vervormd wordt, waarbij het vervormingsproces beheerst wordt door een differentiaalvergelijking analoog aan de warmtevergelijking. De warmtevergelijking (die Riemann al veel eerder aanzette tot zijn Riemann-hypothese over de nulpunten van de zeta-functie) beschrijft het gedrag van scalaire grootheden zoals temperatuur. Zij zorgt ervoor dat concentraties van verhoogde temperatuur zich verspreiden totdat een uniforme temperatuur in een voorwerp is bereikt. Op dezelfde manier beschrijft de Ricci-stroming het gedrag van een tensorische grootheid, de Ricci-krommingstensor. Hamilton hoopte dat onder de Ricci-stroming concentraties van grote kromming zich zullen verspreiden tot een uniforme kromming is bereikt over de gehele drie-manifold. Als men dan begint met een willekeurige drie-manifold en men laat de Ricci stroming optreden, dan zou men, in principe, uiteindelijk een soort “normale vorm” moeten verkrijgen. Volgens William Thurston moet deze normale vorm één van een klein aantal mogelijkheden zijn, elk met een ander soort geometrie, Thurston modelgeometrieën genoemd.

Het werd echter algemeen verwacht dat het proces zou worden belemmerd door het ontwikkelen van “singulariteiten”. In de jaren negentig boekte Hamilton vooruitgang bij het begrijpen van de mogelijke soorten singulariteiten die kunnen optreden, maar hij was niet in staat een allesomvattende beschrijving te geven. De artikelen van Perelman schetsten een oplossing. Volgens Perelman lijkt elke singulariteit ofwel op een cilinder die ineenstort om zijn as, ofwel op een bol die ineenstort om zijn centrum. Met dit inzicht was hij in staat een modificatie van de standaard Ricci stroming te construeren, Ricci stroming met chirurgie genaamd, die systematisch singuliere gebieden kan uitsnijden naarmate zij zich ontwikkelen, op een gecontroleerde manier. Het idee voor Ricci stroming met chirurgie bestond al sinds een artikel van Hamilton uit 1993, die het in 1997 met succes had uitgevoerd in de setting van hoger-dimensionale ruimten onder bepaalde beperkte meetkundige voorwaarden. Perelman’s operatieprocedure kwam in grote lijnen overeen met die van Hamilton, maar was opvallend verschillend in zijn technische aspecten.

Perelman toonde aan dat elke singulariteit die zich in een eindige tijd ontwikkelt, in wezen een “knelling” is langs bepaalde sferen die overeenkomen met de priemdecompositie van de 3-manifold. Verder zijn alle singulariteiten “in oneindige tijd” het gevolg van bepaalde ineenstortende stukken van de JSJ-ontleding. Het werk van Perelman bewijst deze bewering en bewijst aldus de geometrizeringsconjectuur.

De inhoud van de drie papers wordt hieronder samengevat:

• De eerste preprint, The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, geeft vele nieuwe technieken in de studie van de Ricci flow, waarvan het belangrijkste resultaat een stelling is die een kwantitatieve karakterisering geeft van regio’s met hoge kromming van de stroming.
• De tweede voordruk, Ricci flow met chirurgie op drie-manifolds, herstelt enkele onjuiste uitspraken van het eerste artikel en vult enkele details in, en gebruikt het hoofdresultaat van het eerste artikel om de chirurgie procedure voor te schrijven. De tweede helft van het artikel is gewijd aan een analyse van Ricci-stromingen die oneindig lang bestaan.
• De derde voordruk, Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds, geeft een kortere weg naar het bewijs van het Poincaré conjecture die de argumenten in de tweede helft van de tweede voordruk vermijdt. Het toont aan dat op elke ruimte die voldoet aan de aannames van de Poincaré conjectuur, de Ricci stroming met chirurgie slechts voor eindige tijd bestaat, zodat de oneindige-tijd analyse van de Ricci stroming irrelevant is.

Tobias Colding en William Minicozzi II hebben een volledig alternatief argument gegeven voor Perelman’s derde preprint. Hun argument, gegeven de voorwaarde van enkele verfijnde meetkundige argumenten zoals ontwikkeld in de jaren 1980, is bijzonder eenvoudig.

VerificationEdit

Perelman’s preprints kregen snel de aandacht van de wiskundige gemeenschap, hoewel ze algemeen werden gezien als moeilijk te begrijpen omdat ze enigszins beknopt waren geschreven. Tegen de gebruikelijke stijl in academische wiskundige publicaties, waren veel technische details weggelaten. Het was spoedig duidelijk dat Perelman belangrijke bijdragen had geleverd aan de grondslagen van de Ricci-stroming, hoewel het voor de wiskundige gemeenschap niet onmiddellijk duidelijk was dat deze bijdragen voldoende waren om de meetkundige conjectuur of de conjectuur van Poincaré te bewijzen.

In april 2003 bezocht Perelman het Massachusetts Institute of Technology, Princeton University, Stony Brook University, Columbia University en New York University om korte series lezingen te geven over zijn werk, en om enkele details te verduidelijken voor deskundigen op de relevante gebieden.

In juni 2003 plaatsten Bruce Kleiner en John Lott, beiden toen van de University of Michigan, aantekeningen op Lott’s website die, sectie per sectie, veel van de details in Perelman’s eerste preprint opvulden. In september 2004 werden hun aantekeningen bijgewerkt met Perelman’s tweede preprint. Na verdere herzieningen en correcties plaatsten zij op 25 mei 2006 een versie op de arXiv, waarvan een aangepaste versie in 2008 werd gepubliceerd in het wetenschappelijke tijdschrift Geometry & Topology. Op het Internationaal Congres van wiskundigen 2006 zei Lott: “Het heeft ons enige tijd gekost om het werk van Perelman te onderzoeken. Dit komt deels door de originaliteit van Perelman’s werk en deels door de technische verfijndheid van zijn argumenten. Alles wijst erop dat zijn argumenten juist zijn.” In de inleiding van hun artikel legden Kleiner en Lott uit

Perelmans bewijzen zijn beknopt en soms schetsmatig. Het doel van deze aantekeningen is om de details te geven die ontbreken in … Wat betreft de bewijzen, bevatten enkele onjuiste beweringen en onvolledige argumenten, die we hebben geprobeerd om de lezer erop te wijzen. (Sommige van de fouten in zijn gecorrigeerd in .) We hebben geen ernstige problemen gevonden, dat wil zeggen problemen die niet kunnen worden gecorrigeerd met behulp van de methoden die Perelman heeft geïntroduceerd.

In juni 2006 is in de Asian Journal of Mathematics een artikel gepubliceerd door Zhu Xiping van de Sun Yat-sen University in China en Huai-Dong Cao van de Lehigh University in Pennsylvania, waarin een volledige beschrijving wordt gegeven van Perelman’s bewijs van de Poincaré en de geometrization conjectures. In tegenstelling tot het artikel van Kleiner en Lott, dat gestructureerd was als een verzameling annotaties bij Perelman’s papers, was het artikel van Cao en Zhu rechtstreeks gericht op het verklaren van de bewijzen van het Poincaré conjectuur en het geometrizatie conjectuur. In hun inleiding leggen zij uit

In dit artikel zullen wij de theorie van Hamilton-Perelman over de Ricci-stroming uiteenzetten. Op basis hiervan zullen wij voor het eerst een volledig bewijs geven van het Poincaré-conjectuur en het geometrization-conjectuur van Thurston. Hoewel het volledige werk een samenraapsel is van de inspanningen van vele meetkundige analisten, zijn de belangrijkste bijdragers ontegenzeggelijk Hamilton en Perelman. In dit artikel zullen wij volledige en gedetailleerde bewijzen geven, vooral van het werk van Perelman in zijn tweede artikel, waarin vele sleutelideeën van de bewijzen worden geschetst of geschetst, maar volledige details van de bewijzen vaak ontbreken. Zoals we al eerder aangaven, hebben we verschillende belangrijke argumenten van Perelman moeten vervangen door nieuwe benaderingen op basis van onze studie, omdat we niet in staat waren deze oorspronkelijke argumenten van Perelman, die essentieel zijn voor de voltooiing van het meetkundige programma, te begrijpen.

In juli 2006 hebben John Morgan van Columbia University en Gang Tian van het Massachusetts Institute of Technology een paper op het arXiv geplaatst waarin ze een gedetailleerde presentatie geven van Perelman’s bewijs van het Poincaré-conjectuur. In tegenstelling tot Kleiner-Lott en Cao-Zhu’s uiteenzettingen, behandelt Morgan en Tian ook Perelman’s derde paper. Op 24 augustus 2006 gaf Morgan een lezing op het ICM in Madrid over de conjectuur van Poincaré, waarin hij verklaarde dat het werk van Perelman “grondig gecontroleerd” was. In 2008 publiceerden Morgan en Tian een artikel waarin de details van het bewijs van de meetkundige conjectuur werden behandeld. De twee artikelen van Morgan en Tian zijn in boekvorm gepubliceerd door het Clay Mathematics Institute.

Herzieningen van de verificatiesEdit

Alledrie van de bovenstaande uiteenzettingen zijn na publicatie herzien. De uiteenzettingen van Kleiner-Lott en Morgan-Tian bleken fouten te bevatten (die geen invloed hadden op de grote strekking), terwijl de uiteenzetting van Cao-Zhu kritiek kreeg op hun formulering en op een attributiefout.

Sinds publicatie is het artikel van Kleiner en Lott vervolgens tweemaal herzien voor correcties, zoals voor een onjuiste verklaring van Hamilton’s belangrijke “compactheidstheorema” voor Ricci stromingen. De laatste herziening van hun artikel was in 2013. In 2015 wees Abbas Bahri op een fout in de uiteenzetting van Morgan en Tian, die later door Morgan en Tian werd hersteld en terug te voeren was op een fundamentele rekenfout.

Cao en Zhu’s paper onderging kritiek van sommige delen van de wiskundige gemeenschap vanwege hun woordkeuzes, die door sommige waarnemers werden geïnterpreteerd als het opeisen van te veel eer voor zichzelf. Vooral het gebruik van het woord “toepassing” in hun titel “Een volledig bewijs van de Poincaré en Geometrization Conjectures – Toepassing van de Hamilton-Perelman theorie van Ricci stroming” en de zinsnede “Dit bewijs moet worden beschouwd als de bekroning van de Hamilton-Perelman theorie van Ricci stroming” in de samenvatting werden als kritiek aangemerkt. Toen Perelman hierover werd ondervraagd, zei hij dat Cao en Zhu niets origineels hadden bijgedragen, en dat ze alleen maar zijn bewijs hadden bewerkt omdat ze “de redenering niet helemaal begrepen”. Bovendien was een van de pagina’s van Cao en Zhu’s artikel in wezen identiek aan een pagina uit Kleiner en Lott’s artikel uit 2003. In een gepubliceerd erratum schreven Cao en Zhu dit toe aan een vergissing, door te zeggen dat zij in 2003 aantekeningen hadden gemaakt van de oorspronkelijke versie van Kleiner en Lott’s aantekeningen, en dat zij zich in hun schrijven van 2006 niet hadden gerealiseerd wat de juiste bron van de aantekeningen was. Zij plaatsten een herziene versie op arXiv met herzieningen in hun formulering en in de relevante pagina van het bewijs.

Huidige standpuntenEdit

In 2020 zijn er nog steeds wiskundigen die, hoewel algemeen wordt erkend dat Perelman enorme vooruitgang heeft geboekt in de theorie van de Ricci-stroming, niet accepteren dat de Poincaré en geometrization conjectures bewezen zijn. Voor deze waarnemers bevinden de lastige delen van het bewijs zich in de tweede helft van Perelman’s tweede preprint. Zo zei Fields medaillewinnaar Shing-Tung Yau in 2019 dat

Hoewel het misschien ketterij is dat ik dit zeg, ben ik er niet zeker van dat het bewijs volledig vastligt. Ik ben ervan overtuigd, zoals ik al vaker heb gezegd, dat Perelman briljant werk heeft verricht met betrekking tot de vorming en structuur van singulariteiten in driedimensionale ruimten – werk dat de hem toegekende Fields Medal zeker waardig was. Ik twijfel daar niet aan, maar er zijn maar heel weinig experts op het gebied van de Ricci-stroming, en ik heb nog niemand ontmoet die beweert het laatste, moeilijkste deel van Perelmans bewijs volledig te begrijpen. Voor zover ik weet, heeft nog niemand enkele van de technieken die Perelman aan het eind van zijn artikel introduceerde, met succes gebruikt om een ander belangrijk probleem op te lossen. Dit suggereert volgens mij dat ook andere wiskundigen dit werk en zijn methodologieën nog niet volledig beheersen.

Toen de Millenniumprijs in 2010 aan Perelman werd toegekend voor de “oplossing van het Poincaré-conjectuur”, zei Simon Donaldson, de winnaar van de Fields-medaille, in een van de laudatio’s voor de prijs:

Vanaf het moment dat de voorpublicaties van de Poincaré- en Geometrisation-conjecturen verschenen, hebben wiskundigen over de hele wereld eensgezind hun waardering, ontzag en verwondering uitgesproken over zijn buitengewone prestatie, en ik geloof dat ik hier spreek als vertegenwoordiger van onze hele intellectuele gemeenschap. Hij lost een voortreffelijk, eeuwenoud probleem op.