What is engineering beam theory?

Een structureel element of lid dat wordt onderworpen aan krachten en koppels langs de lengteas van het lid. Het lid overspant gewoonlijk tussen een of meer steunen en het ontwerp wordt over het algemeen bepaald door buigende momenten.

Euler-Bernoulli Beam Theory

De Euler-Bernoulli vergelijking beschrijft de relatie tussen de uitgeoefende belasting en de resulterende doorbuiging van de balk en wordt wiskundig weergegeven als:

Waarbij w de verdeelde belasting of kracht per lengte-eenheid is die in dezelfde richting als y werkt en de doorbuiging van de balk Δ(x) op een bepaalde positie x. E is de elasticiteitsmodulus van het beschouwde materiaal en I is het tweede moment van het oppervlak, berekend ten opzichte van de as die door het zwaartepunt van de doorsnede gaat en loodrecht staat op de uitgeoefende belasting. Indien EI of de buigstijfheid niet varieert langs de balk dan wordt de vergelijking vereenvoudigd tot:

Wanneer de doorbuiging bij een gegeven belasting eenmaal is bepaald kunnen de spanningen in de balk worden berekend met behulp van de volgende uitdrukkingen:

Het buigmoment in de balk:

De afschuifkracht in de balk:

Ondersteuningsverbindingen en reacties

Er zijn vier verschillende soorten verbindingen die men gewoonlijk tegenkomt wanneer men te maken heeft met balken en elke verbinding bepaalt het type belasting dat de ondersteuning kan weerstaan, evenals de totale draagkracht van niet alleen het beschouwde lid, maar ook het systeem waar het lid deel van uitmaakt.

Rolsteunen: zijn vrij om te draaien en te transleren langs het oppervlak waarop de rol rust en zijn als gevolg daarvan niet in staat om zijwaartse krachten te weerstaan. Dergelijke steunen zijn onderworpen aan een enkelvoudige reactiekracht die loodrecht op en weg van het oppervlak werkt.

Gependelde steunen: laten het element of de balk toe te draaien (soms slechts in één richting), maar niet te transleren in enige richting, dat wil zeggen, zij kunnen zowel verticale als horizontale krachten weerstaan, maar geen buigende momenten.

vaste steunen: zijn bestand tegen zowel rotatie als translatie en zijn bestand tegen zowel verticale als horizontale krachten en buigende momenten.

eenvoudige steunen: zijn vrij om te draaien en te transleren langs het oppervlak waarop zij rusten in alle richtingen, maar loodrecht op en weg van het oppervlak. Eenvoudige steunpunten verschillen van rolsteunpunten in die zin dat zij geen weerstand kunnen bieden aan zijwaartse belastingen van enige omvang.

Typen balken

Simpel ondersteunde balk: vrij ondersteund aan elk uiteinde is het lid vrij om te draaien aan de eindsteunpunten en heeft geen weerstand tegen buigende momenten. De einddragers van de balk kunnen krachten uitoefenen op de balk, maar zullen draaien als het lid doorbuigt onder alle belastingen.

Vaste balk: aan elk uiteinde van het lid beperkt, de eindpunten zijn beperkt in rotatie en beweging in zowel de verticale als de horizontale richting.

Cantilever balk: een lid dat slechts aan één uiteinde is bevestigd, terwijl het andere uiteinde vrij kan draaien en bewegen in zowel de verticale als de horizontale richting.

Overhangend: een enkelvoudige balk die aan een of beide uiteinden buiten zijn steunpunten uitsteekt.

Continue: een balk die zich over meer dan twee steunpunten uitstrekt.

Nauwkeurigheid van ingenieursbalkenleer

Omwille van de aannames is een algemene vuistregel dat voor de meeste configuraties de vergelijkingen voor buigspanning en dwarsafschuifspanning tot op ongeveer 3% nauwkeurig zijn voor balken met een lengte/hoogte-verhouding groter dan 4. De conservatieve aard van het constructief ontwerp (belastingsfactoren) compenseert in de meeste gevallen deze onnauwkeurigheden.Het is ook belangrijk te begrijpen en rekening te houden met het soort materiaal waaruit de balk is opgebouwd, de manier waarop de balk vervormt, de geometrie van de balk met inbegrip van de dwarsdoorsnede en het aanwezige interne evenwicht.

Aannames en beperkingen

• De dwarsdoorsnede van de balk wordt als klein beschouwd in vergelijking met de lengte, wat betekent dat de balk lang en dun is.
• Ladingen werken dwars op de lengteas en gaan door het afschuifcentrum, waardoor elke torsie of verdraaiing wordt geëlimineerd.
• Zelfgewicht van de balk is genegeerd en moet in de praktijk in aanmerking worden genomen.
• Het materiaal van de balk is homogeen en isotroop en heeft een constante elasticiteitsmodulus in alle richtingen, zowel in druk- als in trekrichting.
• Het middenvlak of neutrale vlak wordt aan geen axiale spanning blootgesteld en ondergaat geen verandering in lengte.
• De reactie op rek is eendimensionale spanning in de buigrichting.
• Voorbuigingen worden verondersteld zeer klein te zijn in vergelijking met de totale lengte van de balk.
• De dwarsdoorsnede blijft vlak en loodrecht op de lengteas tijdens het buigen.
• De balk is aanvankelijk recht en elke doorbuiging van de balk volgt een cirkelboog waarbij de kromtestraal geacht wordt groot te blijven in vergelijking met de afmeting van de dwarsdoorsnede.

Gekromde balken en bogen

Hoewel het ontwerp van gekromde balken identiek is aan dat van rechte balken wanneer de afmetingen van de dwarsdoorsnede klein zijn ten opzichte van de kromtestraal, is het voornaamste verschil tussen gekromde balken en bogen dat de kromming is vergroot tot een punt waar de axiale krachten significant worden in bogen.

Een opmerking over buigende momenten

In de constructietechniek wordt het positieve moment aan de trekzijde van het element getrokken, waardoor balken en raamwerken eenvoudiger kunnen worden behandeld. Omdat momenten worden getekend in dezelfde richting als het element theoretisch zou buigen wanneer het wordt belast, is het gemakkelijker om te visualiseren wat er gebeurt. StructX heeft deze manier van het tekenen van buigmomenten overgenomen.

Een selectie van balkvergelijkingen samen met relevante engineering calculators kan hier worden gevonden.