Introduction

De grootschalige dynamica van het heelal wordt beheerst door de algemene kosmische uitdijing en het gravitatieveld van de massieve objecten. Magnetische velden worden verondersteld geen belangrijke rol te spelen in de eerstgenoemde . Aangenomen wordt dat magnetische velden niet, of althans niet in merkbare sterkte, aanwezig zijn geweest bij de oerknal en tijdens de daaropvolgende inflatieperiode. Als ze al aanwezig waren dan in de vorm van de onechte magnetische monopolen. Ze worden belangrijk op kleinere schalen. Op schalen van compacte gemagnetiseerde objecten beginnen ze niet te verwaarlozen te worden en worden ze, voor een aantal processen, zelfs de dominante kracht.

Magnetische velden zijn gebonden aan elektrische stroom en worden dus, in tegenstelling tot elektrische velden waarvan de bronnen elementaire ladingen en ladingsverschillen zijn, opgewekt door processen die elektrische stromen veroorzaken. Stromen impliceren een niet-ambipolair transport van ladingen. De vraag hoe sterk magnetische velden kunnen worden, wordt dus gereduceerd tot de vraag hoe sterk stromen kunnen worden. In de klassieke elektrodynamica impliceert dit uit de wet van Ampère voor stationaire magnetische velden dat

als men zich beperkt tot ladingsvervoer alleen en uitgaat van niet-magnetische media met (voor het gemak enkelvoudig geladen) ion- en elektronendichtheden en bulksnelheden van respectievelijk Ni,e, Vi,e. Anders zou men een magnetiseringsterm M toevoegen die afhangt van de eigenschappen van de materie. De bepaling van M vereist een kwantummechanische behandeling in het kader van de vaste-stoffysica.

Aannemende, zonder beperking, quasineutraliteit Ne ≈ Ni = N, dragen alleen snelheidsverschillen bij. Aangezien elektronen aanzienlijk beweeglijker zijn dan ionen, kan de stroom redelijkerwijs worden benaderd door de elektronenstroom J ≈ – eNVe, een voorwaarde die strikt geldt in het referentiekader van ionen. Aangezien snelheden worden beperkt door de lichtsnelheid c, wordt het magnetisch veld klassiek begrensd door

waaruit kan worden afgeleid dat het magnetisch veld toeneemt met L en de dichtheid N. Hierin is Ncc in eenheden van elektronen per cm-3, en Lkm de lengteschaal over een stroomdraad in eenheden van km. In de korst van een neutronenster bijvoorbeeld hebben we Lkm ~ 1. Als ruwweg alle elektronen in de korst aan de stroom zouden deelnemen, dan hadden we Ncc × ~ 1030. De magnetische veldsterkte zou dus kunnen oplopen tot B ~ 1028 Gauss, een enorm getal vergeleken met de maximale B ~ 1015 – 1016 Gauss die in magnetars is waargenomen.

Deze ruwe schatting moet worden becommentarieerd om misverstanden te voorkomen. Aangenomen wordt dat magnetische velden bij voorkeur worden opgewekt door dynamo-acties. Dergelijke acties zijn vermoedelijk niet aan het werk in witte dwergen, neutronensterren, magnetars of andere compacte objecten. De velden worden geproduceerd in hun differentieel roterende voorlopers. Neem de Zon als voorbeeld met dynamo-werking in de convectiezone met dikte L☉ ~ 2 × 105 km en gemiddelde dichtheid N☉cc ~ 8 × 1023. Gebruik maken van de totale breedte van de convectiezone geeft een veel te hoge schatting van de huidige filamentbreedte. Een absolute bovengrens zou L☉km ≲ 2 × 104 zijn. Het is duidelijk dat de snelheden ook veel lager zijn dan c. Het gebruik van c geeft dus een extreme absolute bovengrens voor het magnetische veld B < 1021 T. De vergelijkbaar sterke velden in neutronensterren ontstaan vervolgens bij de snelle ineenstorting van de gemagnetiseerde zware moederster, die tijdens de ineenstorting geen tijd heeft gehad om de magnetische energie af te voeren die in het kleine neutronenstervolume wordt samengeperst. De compressiefactor is van de orde van ~ 1012, wat grensvelden van B ≲ 1035 Gauss oplevert. De klassieke elektrodynamische schatting slaagt er duidelijk niet in een bovengrens voor de magnetische veldsterkte te geven die overeenkomt met het waargenomen bewijsmateriaal.

Andere, niet minder ernstige discrepanties worden verkregen door de magnetische veldenergie van de neutronenster gelijk te stellen aan de totale beschikbare rotatie-energie in zowel de voorloper als de neutronenster, uitgaande van een equipartitie van rotatie en magnetische energie – in beide gevallen duidelijk een nauwelijks te rechtvaardigen aanname. Magnetische energie kan niet groter worden dan de oorspronkelijk beschikbare dynamische energie van zijn oorzaak, waarvan het slechts een fractie is. Het is waarschijnlijk vooral de vraag of magnetische velden ooit zouden kunnen zijn geproduceerd door enig klassiek mechanisme dat wezenlijk sterker is dan wat wordt waargenomen in neutronensterren (behalve dan een korte ~10 s lange dynamo-versterkingsfase na de ineenstorting, die in het gunstigste geval nog een factor van ~10-100 oplevert) en, door verdere concentratie van magnetische energie in kleinere volumes, bundeling van magnetische fluxbuizen, zoals verondersteld wordt voor te komen in magnetars. Als er al veel sterkere velden zijn gegenereerd, moet dat zijn gebeurd in tijden en in objecten waarin magnetische velden konden zijn geproduceerd door andere processen dan klassieke dynamo’s. Men moet dus kwantumelektrodynamica respectievelijk kwantumveldentheorie binnengaan om over de belangrijkste fysische beperkingen op de generatie van om het even welke magnetische velden af te leiden. Het volgende onderzoek is minder ingegeven door waarnemingen dan door deze fundamentele theoretische vraag.

Flux Elementen

De kwantummechanica biedt een manier om een eerste limiet op het magnetische veld te verkrijgen uit de oplossing van de vergelijking van Schrödinger, oorspronkelijk gevonden door Landau in 1930, van een elektron dat in een homogeen magnetisch veld ronddraait. De fysische interpretatie van deze oplossing werd veel later gegeven in de theorie van Aharonov-Bohm. Uit de eis dat de magnetische flux Φ van een veld B opgesloten in een elektron-gyratiebaan enkelvoudig gewaardeerd moet zijn, leidden Aharonov en Bohm af dat Φ = ν Φ0 gekwantiseerd is met fluxelement Φ0 = 2πħ/e, e de elementaire lading, en ν = 1, 2, …. Aangezien ν = Φ/Φ0 het aantal elementaire fluxen is dat door het veld wordt gedragen, en B = Φ/πl2, definieert het stellen van ν = 1 een kleinste magnetische lengte

Deze lengte, die de gyroradius is van een elektron in het laagst liggende Landau-energieniveau, kan worden geïnterpreteerd als de straal van een magnetische veldlijn in het magnetische veld B. Veldlijnen worden smaller naarmate het magnetisch veld sterker is. Anderzijds levert herschrijving van vergelijking (3) een uitdrukking voor het magnetisch veld op

waaruit voor een gegeven kortste “kritische” lengte lB ≡ lc in principe het bij lc behorende maximale magnetische veld Bc kan worden geschat. Als men bijvoorbeeld lc = 2πħ/mc gelijk stelt aan de Compton-lengte van het elektron λ0 = 2πħ/mc, verkrijgt men de kritische magnetische veldsterkte van de pulsar (neutronenster) Bq ≡ Bns ≈ 3 × 109 T = 3 × 1013 Gauss. Het is van groot belang dat ongeveer deze veldsterkte inderdaad werd afgeleid uit de waarneming van de fundamentele (ν = 1) elektron cyclotron harmonische röntgenlijn gedetecteerd van de HerX1 pulsar , ruwweg twee decennia na Aharonov en Bohm’s, en een halve eeuw na Landau’s theorie.

Generalisatie

Het gebruik van de Compton golflengte relateert de begrenzende veldsterkte in neutronensterren aan de quantum elektrodynamica. Het roept de vraag op naar een meer precieze theoretische bepaling van de kwantum-elektrodynamische grensveldsterkte, rekening houdend met relativistische effecten. Het werpt ook de vraag op of verwijzing naar andere fundamentele lengteschalen andere hoofdgrenzen voor magnetische velden kan opleveren als alleen dergelijke velden op de een of andere manier kunnen worden opgewekt, d.w.z. als elektrische stromen van voldoende sterkte onder andere voorwaarden kunnen vloeien zoals bijvoorbeeld in de kwantumchromodynamica.

Zeer formeel, behalve wat betreft de opneming van relativistische effecten, levert vergelijking (4) een modelvergelijking voor een beperkend veld in afhankelijkheid van elke gegeven fundamentele lengteschaal lc. Onder deze vereenvoudigende aanname schaalt het kritische magnetische veld Bc eenvoudig met het inverse kwadraat van de overeenkomstige fundamentele lengte. Formeel wordt dit grafisch weergegeven in figuur 1 onder de aanname van de geldigheid van de Aharonov-Bohm schaling bij hogere energieën.

De Compton limiet voor magnetische velden was bekend uit rechte energie overwegingen die verval van het vacuüm tot paarvorming voorspellen bij magnetische velden sterker dan Bns. Daarom was de ontdekking van magnetische velden die de kwantumlimiet met wel drie orden overschrijden in magnetars aanvankelijk een verrassing. Nauwkeuriger relativistische elektrodynamische berekeningen met hogere orde Feynman-grafieken toonden echter snel aan dat de Compton-limiet ruim kan worden overschreden. Bij eerste benadering verschuift in het anomale magnetische moment van elektronen het laagste Landau-niveau volgens

met α = α/2π de gereduceerde fijnstructuurconstante. Deze formule is geldig voor B < Bq. Zij suggereert een daling van het laagste Landau-energieniveau voor toenemende velden, uiteraard met heftige niet-fysische gevolgen voor astrofysische objecten . Er moet dus rekening worden gehouden met Feynman-diagrammen met hogere-orde zelfaantrekking van elektronen, in het bijzonder bij grote velden. In velden B ≫ Bq die Bq aanzienlijk overschrijden worden de elektronen relativistisch massief, en het laagste Landau-niveau neemt, na het passeren van een minimum, toe als

Hieruit volgt dat de laagste energie van het Landau niveau alleen verdubbelt bij magneetvelden van de orde van B ~ 1028 T (~ 1032 Gauss), ver boven alle neutronenster of magnetar oppervlak magneetvelden. Relativistische eigen-energie correcties die magnetisch veld verval veroorzaken zullen dus pas een rol gaan spelen bij deze energieën, die de ultieme limiet kunnen zijn voor magnetische veldsterkten.

Het is opmerkelijk dat deze limiet ongeveer samenvalt met de beste recente experimentele bepalingen van een bovenlimiet voor de elektronenradius. Beneden deze schaal zouden bijkomende effecten moeten optreden, die in hoofdzaak een verdere toename van de magnetische veldsterkten of zelfs het bestaan van magnetische velden verhinderen. Het lijkt er dus op dat tot deze schaal de Aharonov-Bohm schaling waarop figuur 1 is gebaseerd, niet geheel ongerechtvaardigd is. Dit is zeer interessant ook vanuit het standpunt dat zowel de elektrozwakke als de sterke interactieschaal in het toegestane domein liggen, eenvoudig omdat elektronen hun aard behouden doorheen deze schalen. Het is alleen het woestijngebied van energieën respectievelijk schalen dat is uitgesloten. Het omvat in het bijzonder het GUT-bereik van de grote eenwording alsmede de kwantumzwaartekracht, domeinen die alleen in het zeer vroege heelal een rol hebben gespeeld. Eventuele rudimentaire magnetische velden uit die tijd zijn door inflatie en kosmologische expansie verwaterd tot lage waarden die zich alleen bevinden aan de onderkant van figuur 1.

Discussie en Conclusies

Of er ooit magnetische monopolen in het heelal hebben bestaan en overleefd, moeten magnetische velden op enig moment zijn geproduceerd via generatie van elektrische stromen. De velden die in het vroege heelal werden opgewekt, zijn vervolgens afgezwakt tot de huidige lage grootschalige waarden, zoals elders besproken. Zij kunnen aanvankelijk sterk zijn geweest, in welk geval hun sterkten eveneens aan beperkingen onderhevig zijn. Echter, alle redelijke sterktes geschat uit dynamo- en andere modellen in klassieke en chromodynamische theorieën bereiken hoogstwaarschijnlijk geen van de bovengenoemde kwantum-electrodynamische grenzen. Vermoedelijk behoeft men niet om extra chromodynamische beperkingen te vragen. Deze bewering kan op de rol worden gebaseerd die de elektronen spelen in stroomgeneratie, die aan de basis van om het even welke magnetische veldproductie op grote schaal ligt. Elektronen en hun spins zijn ook verantwoordelijk voor magnetisme in vaste stoffen. Van elektronen wordt nog steeds aangenomen dat zij geen structuur hebben. In elk geval zouden op schalen “binnen” een elektron, d.w.z. beneden de fictieve elektronstraal re, stromen ofwel geen betekenis meer hebben ofwel helemaal niet bestaan, zodat de notie van een magnetisch veld waarschijnlijk niet veel zin meer zal hebben. Men mag dus aannemen dat de bovenste kwantum-elektrodynamische limiet een absolute grens stelt aan alle realistische magnetische veldsterkten.

De toepassing van de Aharonov-Bohm schaling in figuur 1 op magnetische velden in het heelal lijkt een redelijk idee te geven over de te verwachten absolute beperkingen van magnetische veldsterkten op kwantum-elektrodynamische schalen. Het is duidelijk dat het vacuüm van karakter verandert op korte schalen en bij hoge energieën, aangezien fotonen zwaar worden door de overgang naar elektrozwakke bosonen, en quarks een rol gaan spelen in materie. Elektronen blijven hetzelfde tot minstens re ~ 10-22 m, de huidige bovengrens van de elektronenradius. Dit suggereert om de kritische magnetische veldvergelijking (4) te schrijven als

waarbij lc ≥ l0, en l0 ≳ re de relevante minimumlengte is waarboven magnetische velden zinvol zijn. In figuur 1 is dit gedrag aangegeven als de gestippelde zwarte kromme die afwijkt van de diagonaal. Toch is de stabiliteit van het vacuüm niet zo duidelijk als in het kwantum-elektrodynamische bereik in aanwezigheid van de supersterke magneetvelden in het elektrozwakke en chromodynamische bereik. Het probleem blijft dat magnetische velden ofwel op die kleine schalen moeten worden opgewekt, ofwel op veel grotere elektrodynamische schalen, vanwaar zij ineenstorten tot die kleine schalen.

Wat betreft de opwekking van magnetische velden vóór ineenstorting door de algemeen aanvaarde dynamo- of batterij-effecten, de magnetische veldsterkten zijn strikt beperkt door de beschikbare dynamische energieën, die ver onder elke kwantum-elektrodynamische limiet liggen. Men kan aanvoeren dat, zolang de schaal van de elektronenstraal tijdens de ineenstorting niet wordt bereikt, de kwantum-elektrodynamische schaling een redelijke absolute beperking op elke mogelijke magnetische veldsterkte biedt. Neutronensterren en magnetars hebben schalen die veel groter zijn dan de elektronenschaal. Zwaardere objecten zouden door hun schaal te verkleinen aanzienlijk sterkere velden kunnen bezitten, maar het toegestane bereik wordt beperkt door de voorwaarde dat zulke objecten bij instorting gemakkelijk zwarte gaten worden die, volgens de beroemde geen-haar stelling, geen magnetische velden bevatten. Het is niet bekend wat er met het veld zou gebeuren als de horizon wordt overschreden, omdat de externe waarnemer geen informatie over het veld zou krijgen. Het neushaartheorema suggereert dat het veld eenvoudigweg in het gat wordt gezogen en samen met de ineenstortende massa verdwijnt. Gewone redenering uitgaande van handhaving van de bevroren toestand suggereert dan dat het veld binnen de horizon verder zou moeten toenemen in de vermoedelijk voortgaande gravitationele ineenstorting.

De beschikbare sterke velden die dichter bij de kwantum-elektrodynamische grenzen komen, worden gevonden in neutronensterren en magnetars. Tot nu toe zijn er geen magnetische velden van vreemde sterren positief gedetecteerd. Er is zelfs aangetoond dat dergelijke velden, die mogelijk aanwezig zijn in supergeleidende vreemde sterren, rotatieverval zouden vertonen binnen tijden korter dan ~ 20 Myrs. In magnetars wordt de aanwezigheid van velden sterker dan Bns = Bq nu goed begrepen als het gevolg van korsteffecten die lokale concentratie van magnetische velden en uitgebreide magnetische lussen veroorzaken die enige gelijkenis vertonen met de bekende zonnevlekken. Effecten op materie in supersterke velden werden voor het eerst onderzocht in Ruderman en zijn herzien in en anderen.

Conflict of Interest Statement

De auteurs verklaren dat het onderzoek werd uitgevoerd in de afwezigheid van enige commerciële of financiële relaties die zouden kunnen worden opgevat als een potentieel belangenconflict.