Er zijn twee basisformules die we al kennen:
1) Totaal = n(Geen Set) + n(Precies één set) + n(Precies twee sets) + n(Precies drie sets)

2) Totaal = n(A) + n(B) + n(C) – n(A en B) – n(B en C) – n(C en A) + n(A en B en C) + n(Geen Set)

Uit deze twee formules kunnen we alle andere afleiden.

n(Precies één set) + n(Precies twee sets) + n(Precies drie sets) geeft ons n(Minstens één set). Dus krijgen we:

3) Totaal = n(Geen set) + n(Minstens één set)

Uit (3) krijgen we n(Minstens één set) = Totaal – n(Geen set)

Plugt men dit in (2), dan krijgen we:

4) n(Ten minste één set) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A en B) – n(B en C) – n(C en A) + n(A en B en C)

Nu gaan we eens kijken hoe we het aantal mensen in precies twee sets kunnen berekenen. Er is een reden waarom we naar n(Precies twee groepen) zijn gesprongen in plaats van de meer logische volgende stap te volgen en n(Minstens twee groepen) uit te rekenen – het is intuïtiever om n(Minstens twee groepen) te krijgen nadat we n(Precies twee groepen) hebben gevonden.

n(A en B) bevat mensen die zowel in A als in B zitten en het bevat ook mensen die in A, B en C zitten. Daarom moeten we n(A en B en C) van n(A en B) afhalen om n(Alleen A en B) te krijgen. Op dezelfde manier krijg je n(Alleen B en C) en n(Alleen C en A), dus als we deze drie optellen krijgen we het aantal mensen in precies 2 sets.

n(Precies twee sets) = n(A en B) – n(A en B en C) + n(B en C) – n(A en B en C) + n(C en A) – n(A en B en C). Daarom:

5) n(Precies twee verzamelingen) = n(A en B) + n(B en C) + n(C en A) – 3*n(A en B en C)

Nu kunnen we gemakkelijk n(Minstens twee verzamelingen) krijgen:

6) n(Ten minste twee verzamelingen) = n(A en B) + n(B en C) + n(C en A) – 2*n(A en B en C)

Dit is gewoon n(A en B en C) meer dan n(Precies twee verzamelingen). Dat is logisch, nietwaar? Hier reken je de mensen die in alle drie de groepen zitten één keer mee en n(Precies twee groepen) wordt n(Minstens twee groepen)!

Nu gaan we verder om n(Precies één groep) te vinden. Van n(Minstens één set) trekken we n(Minstens twee sets) af; d.w.z. we trekken (6) af van (4)

n(Precies één set) = n(Minstens één set) – n(Minstens twee sets), dus:

7) n(Precies één set) = n(A) + n(B) + n(C) – 2*n(A en B) – 2*n(B en C) – 2*n(C en A) + 3*n(A en B en C)

Je hoeft al deze formules niet te leren. Concentreer je gewoon op de eerste twee en weet hoe je aan de andere kunt komen als dat nodig is. Laten we dit eens in een voorbeeldprobleem proberen:

Van de 250 ondervraagde kijkers die naar ten minste een van de drie tv-zenders kijken, namelijk A, B &C. 116 kijken naar A, 127 kijken naar C, terwijl 107 kijken naar B. Als 50 kijken naar precies twee kanalen. Hoeveel kijken er naar precies één kanaal?

(A) 185

(B) 180

(C) 175

(D) 190

(E) 195

U krijgt als gegeven dat:

n(Ten minste één kanaal) = 250

n(Precies twee kanalen) = 50

Dus we weten dat n(Ten minste één kanaal) = n(Precies 1 kanaal) + n(Precies 2 kanalen) + n(Precies 3 kanalen) = 250

250 = n(Precies 1 kanaal) + 50 + n(Precies 3 kanalen)

Laten we de waarde van n(Precies 3 kanalen) = x

We weten ook dat n(Minstens één kanaal) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A en B) – n(B en C) – n(C en A) + n(A en B en C) = 250

Ook, n(Precies twee kanalen) = n(A en B) + n(B en C) + n(C en A) – 3*n(A en B en C)

Dus n(A en B) + n(B en C) + n(C en A) = n(Precies twee kanalen) + 3*n(A en B en C)

Dit in de bovenstaande vergelijking steken:

250 = n(A) + n(B) + n(C) – n(Precies twee kanalen) – 3*x + x