De Dirac-vergelijking in de oorspronkelijk door Dirac voorgestelde vorm is:

( β m c 2 + c ∑ n = 1 3 α n p n ) ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ψ ( x , t ) ∂ t {{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {{}}}}}}}}}}}}}}}}}} {{}}}}}}}}}}}}} { { {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

waar ψ = ψ(x, t) de golffunctie is voor het elektron met rustmassa m met ruimtetijdcoördinaten x, t. De p1, p2, p3 zijn de componenten van het momentum, opgevat als de momentumoperator in de Schrödingervergelijking. Ook is c de lichtsnelheid, en ħ de gereduceerde Planck-constante. Deze fundamentele natuurkundige constanten weerspiegelen respectievelijk de speciale relativiteit en de kwantummechanica.

Dirac’s doel met het opstellen van deze vergelijking was om het gedrag van het relativistisch bewegende elektron te verklaren, en zo het atoom te kunnen behandelen op een wijze die consistent is met de relativiteit. Zijn tamelijk bescheiden hoop was dat de op deze manier ingevoerde correcties van invloed zouden kunnen zijn op het probleem van atoomspectra.

Tot op dat moment hadden pogingen om de oude kwantumtheorie van het atoom verenigbaar te maken met de relativiteitstheorie, pogingen gebaseerd op het discriminerend maken van het impulsmoment opgeslagen in de mogelijk niet-cirkelvormige baan van het elektron om de atoomkern, gefaald – en de nieuwe kwantummechanica van Heisenberg, Pauli, Jordan, Schrödinger, en Dirac zelf had zich niet voldoende ontwikkeld om dit probleem te behandelen. Hoewel Diracs oorspronkelijke bedoelingen vervuld waren, had zijn vergelijking veel diepere implicaties voor de structuur van de materie en introduceerde hij nieuwe wiskundige klassen van objecten die nu essentiële elementen van de fundamentele natuurkunde zijn.

De nieuwe elementen in deze vergelijking zijn de vier 4 × 4 matrices α1, α2 , α3 en β, en de vier componenten tellende golffunctie ψ. Er zijn vier componenten in ψ omdat de evaluatie ervan op een gegeven punt in de configuratieruimte een bispinor is. Het wordt geïnterpreteerd als een superpositie van een spin-up elektron, een spin-down elektron, een spin-up positron, en een spin-down positron (zie hieronder voor verdere discussie).

De 4 × 4 matrices αk en β zijn alle Hermitisch en zijn involutair:

α i 2 = β 2 = I 4 {\displaystyle \alpha _{i}^{2}=\beta ^{2}=I_{4}}

en ze anticommuteren elkaar allemaal:

α i α j + α j α i = 0 ( i ≠ j ) {\displaystyle \alpha _{i}\alpha _{j}+\alpha _{j}\alpha _{i}=0\quad (i\neq j)}

α i β + β α i = 0 {\displaystyle \alpha _{i}\beta +\beta \alpha _{i}=0}

Deze matrices en de vorm van de golffunctie hebben een diepe wiskundige betekenis. De algebraïsche structuur van de gammamatrices was ongeveer 50 jaar eerder ontwikkeld door de Engelse wiskundige W. K. Clifford. Cliffords ideeën waren op hun beurt voortgekomen uit het werk van de Duitse wiskundige Hermann Grassmann uit het midden van de 19e eeuw in zijn Lineale Ausdehnungslehre (Theorie van de Lineaire Extensies). Deze theorie werd door de meeste van zijn tijdgenoten als bijna onbegrijpelijk beschouwd. De verschijning van iets dat zo abstract lijkt, op zo’n late datum, en op zo’n directe fysische manier, is een van de meest opmerkelijke hoofdstukken in de geschiedenis van de fysica.

De enkele symbolische vergelijking ontrafelt zich dus in vier gekoppelde lineaire eerste-orde partiële differentiaalvergelijkingen voor de vier grootheden die samen de golffunctie vormen. De vergelijking kan explicieter in Planck-eenheden worden geschreven als:

i ∂ t = i ∂ x + ∂ y + i ∂ z + m i ∂ _{t}{begin{bmatrix}}}i ∂ x + ∂ y + i ∂ z + m\i{4}[{3}[{2}[{1}]end{bmatrix}}+[{2}[{y}]{begin{bmatrix}-\{{4}}+{3}}}-{2}}+{1}}-einde{bmatrix}}+i}{z}{3}}-{3}}+{4}}}\M2}}+m{begin{bmatrix}}+{1}}+{2}}}}+{3}}+{4}}}}

waardoor het duidelijker wordt dat het gaat om een verzameling van vier partiële differentiaalvergelijkingen met vier onbekende functies.

De Schrödingervergelijking relativistisch makenEdit

De Dirac-vergelijking lijkt oppervlakkig gezien op de Schrödingervergelijking voor een massief vrij deeltje:

– ℏ 2 2 2 m ∇ 2 ϕ = i ℏ ∂ ∂ t ϕ . {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}}\phi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\phi ~.}

De linkerkant stelt het kwadraat voor van de impulsoperator gedeeld door tweemaal de massa, dat is de niet-relativistische kinetische energie. Omdat de relativiteit ruimte en tijd als één geheel behandelt, vereist een relativistische veralgemening van deze vergelijking dat ruimte- en tijdderivaten symmetrisch moeten worden ingevoerd zoals in de Maxwell-vergelijkingen die het gedrag van licht regelen – de vergelijkingen moeten differentieel van dezelfde orde zijn in ruimte en tijd. In de relativiteit zijn het impulsmoment en de energieën de ruimte- en tijdsdelen van een ruimtetijdvector, het viermomentum, en zij zijn met elkaar verbonden door de relativistisch invariante relatie

E 2 = m 2 c 4 + p 2 c 2 {Displaystyle E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}}

waaruit volgt dat de lengte van deze viervector evenredig is met de rustmassa m. Door de operatorequivalenten van de energie en het impuls uit de Schrödingertheorie in te voeren, krijgen we de Klein-Gordonvergelijking die de voortplanting van golven beschrijft, opgebouwd uit relativistisch invariante objecten,

( – 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 + ∇ 2 ) ϕ = m 2 c 2 ℏ 2 ϕ {{\displaystyle \left(-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {m^{2}c^{2}}{mbar ^{2}}}}+\nabla ^{2}}right)\phi ={\frac {m^{2}c^{2}}{mbar ^{2}}}\phi }.

waarbij de golffunctie ϕ een relativistische scalair is: een complex getal dat dezelfde numerieke waarde heeft in alle referentiekaders. Ruimte- en tijdderivaten komen beide tot de tweede orde. Dit heeft een veelbetekenend gevolg voor de interpretatie van de vergelijking. Omdat de vergelijking van de tweede orde is in de tijdsafgeleide, moet men beginwaarden specificeren van zowel de golffunctie zelf als van haar eerste tijdsafgeleide om definitieve problemen op te lossen. Aangezien beide min of meer willekeurig kunnen worden gespecificeerd, kan de golffunctie haar vroegere rol van bepaling van de waarschijnlijkheidsdichtheid van het vinden van het elektron in een gegeven bewegingstoestand niet handhaven. In de Schrödinger theorie wordt de kansdichtheid gegeven door de positief bepaalde uitdrukking

ρ = ϕ ∗ ϕ {\displaystyle \rho =\phi ^{*}\phi }

en deze dichtheid conveert volgens de kansstroomvector

J = – i ℏ 2 m ( ϕ ∗ ∇ ϕ – ϕ ∇ ϕ ∗ ) {\displaystyle J=-{\frac {i\hbar }{2m}}(\phi ^{*}\nabla \phi -\phi \nabla \phi ^{*})}

met behoud van kansstroom en dichtheid volgens de continuïteitsvergelijking:

∇ ⋅ J + ∂ ρ ∂ t = 0 . J+ {{\frac {\partiële \rho }{\partiële t}}=0~.}

Het feit dat de dichtheid positief bepaald is en convecteert volgens deze continuïteitsvergelijking impliceert dat we de dichtheid over een bepaald domein kunnen integreren en het totaal op 1 kunnen stellen, en deze voorwaarde zal door de behoudswet worden gehandhaafd. Een juiste relativistische theorie met een waarschijnlijkheidsdichtheidsstroom moet ook deze eigenschap bezitten. Indien wij nu het begrip van een convectieve dichtheid willen handhaven, dan moeten wij de Schrödinger uitdrukking van de dichtheid en de stroom veralgemenen, zodat ruimte- en tijdderivaten weer symmetrisch ten opzichte van de scalaire golffunctie binnenkomen. We mogen de Schrödinger uitdrukking voor de stroom behouden, maar moeten de kansdichtheid vervangen door de symmetrisch gevormde uitdrukking

ρ = i ℏ 2 m c 2 ( ψ ∗ ∂ t ψ – ψ ∂ t ψ ∗ ) . {\displaystyle \rho ={\frac {i\hbar }{2mc^{2}}(\psi ^{*}\partieel _{t}\psi -\psi \partieel _{t}\psi ^{*})~.}

die nu de 4e component van een ruimtetijdvector wordt, en de gehele waarschijnlijkheids4-stroomdichtheid heeft de relativistisch covariante uitdrukking

J μ = i ℏ 2 m ( ψ ∗ ∂ μ ψ – ψ ∂ μ ψ ∗ ) . {\displaystyle J^{\mu }={\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*} ^{\mu } – \psi ^{\mu} ^{*})~.}

De continuïteitsvergelijking is als voorheen. Alles is nu verenigbaar met de relativiteit, maar we zien meteen dat de uitdrukking voor de dichtheid niet langer positief bepaald is – de beginwaarden van zowel ψ als ∂tψ kunnen vrij gekozen worden, en de dichtheid kan dus negatief worden, iets wat onmogelijk is voor een legitieme kansdichtheid. We kunnen dus geen eenvoudige veralgemening van de Schrödingervergelijking krijgen onder de naïeve aanname dat de golffunctie een relativistische scalair is, en de vergelijking waaraan ze voldoet, tweede orde in de tijd.

Hoewel het geen succesvolle relativistische veralgemening van de Schrödingervergelijking is, is deze vergelijking herrezen in de context van de kwantumveldentheorie, waar ze bekend staat als de Klein-Gordon-vergelijking, en een spinloos deeltjesveld beschrijft (b.v. pi meson of Higgs boson). Historisch gezien kwam Schrödinger zelf tot deze vergelijking vóór de vergelijking die zijn naam draagt, maar hij verwierp ze spoedig. In de context van de kwantumveldentheorie verstaat men onder de onbepaalde dichtheid de ladingsdichtheid, die positief of negatief kan zijn, en niet de waarschijnlijkheidsdichtheid.

Dirac’s coupEdit

Dirac dacht dus een vergelijking te proberen die zowel in ruimte als tijd eerste orde was. Men zou bijvoorbeeld formeel (d.w.z. door misbruik van notatie) de relativistische uitdrukking voor de energie

E = c p 2 + m 2 c 2 , {\displaystyle E=c{\sqrt {p^{2}+m^{2}c^{2}}~,}

vervang p door zijn operator-equivalent, breid de vierkantswortel uit in een oneindige reeks afgeleide operatoren, stel een eigenwaardeprobleem op en los de vergelijking vervolgens formeel op door middel van iteraties. De meeste natuurkundigen hadden weinig vertrouwen in een dergelijk proces, zelfs als het technisch mogelijk zou zijn.

Het verhaal gaat dat Dirac in Cambridge in de open haard zat te staren, nadenkend over dit probleem, toen hij op het idee kwam om de vierkantswortel van de golfoperator zo te nemen:

∇ 2 – 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 = ( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t ) ( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t ) . {\displaystyle ^nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partieel ^{2}}{\partieel t^{2}}=[links(A\partieel _{x}+B\partieel _{y}+C\partieel _{z}+{\frac {i}{c}}Deel _{t}}}(A)-deel _{x}+B-deel _{y}+C-deel _{z}+{\frac {i}{c}}Deel _{t}}(rechts)~.}

{Displaystyle ^{2}-{{frac {1}{c^{2}}}{{frac {{2}}{{2}}}= links(A{x}+B{x}+C{x}+C{z}+{frac {i}{c}}Deel _{t}}rechts)}

Bij vermenigvuldiging van de rechterkant zien we dat, om alle kruisingen zoals ∂x∂y te laten verdwijnen, we moeten aannemen

A B + B A = 0 , … {{Displaystyle AB+BA=0,~}

met

A 2 = B 2 = … = 1 . {Displaystyle A^{2}=B^{2}=puncties =1~.}

Dirac, die zich juist toen intensief had beziggehouden met het uitwerken van de grondslagen van Heisenbergs matrixmechanica, begreep onmiddellijk dat aan deze voorwaarden kon worden voldaan als A, B, C en D matrices zijn, met de implicatie dat de golffunctie meerdere componenten heeft. Dit verklaarde onmiddellijk het verschijnen van twee-componenten golffuncties in Pauli’s fenomenologische theorie van spin, iets dat tot dan toe als mysterieus werd beschouwd, zelfs voor Pauli zelf. Men heeft echter minstens 4 × 4 matrices nodig om een systeem op te zetten met de vereiste eigenschappen – de golffunctie had dus vier componenten, en niet twee, zoals in de Pauli theorie, of één, zoals in de kale Schrödinger theorie. De vier-componenten golffunctie vertegenwoordigt een nieuwe klasse van wiskundige objecten in fysische theorieën die hier voor het eerst zijn opwachting maakt.

Gegeven de factorisatie in termen van deze matrices, kan men nu onmiddellijk een vergelijking opschrijven

( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t ) ψ = κ ψ {links(A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t ) ∂ t

met κ {\displaystyle \kappa }

te bepalen. Door aan beide kanten opnieuw de matrixoperator toe te passen ontstaat ( ∇ 2 – 1 c 2 ∂ t 2 ) ψ = κ 2 ψ . {\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}}}}}^{t}^{2}}]\psi =\kappa ^{2}\psi ~.}

Op grond van κ = m c ℏ {\displaystyle \kappa ={\tfrac {mc}{\hbar }}

vinden we dat alle componenten van de golffunctie afzonderlijk voldoen aan de relativistische energie-momentum relatie. De gezochte vergelijking die zowel in ruimte als tijd eerste-orde is, is dus ( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t – m c ℏ ) ψ = 0 . {Displaystyle \left(A ∂ x + B ∂ y + C ∂ t – m c ∂ ) ψ = 0~.}

Instelling

A = i β α 1 , B = i β α 2 , C = i β α 3 , D = β , {\displaystyle A=i\beta \alpha _{1},B=i\beta \alpha _{2},,\,C=i\beta \alpha _{3},,\,D=i\beta ~,}

en omdat D 2 = β 2 = I 4 , {\displaystyle D^{2}=i\beta ^{2}=I_{4}~,}

krijgen we de Dirac-vergelijking zoals hierboven geschreven.

Covariante vorm en relativistische invariantieEdit

Om de relativistische invariantie van de vergelijking aan te tonen, is het nuttig om haar in een vorm te gieten waarin de ruimte- en tijdafgeleiden op gelijke voet staan. Nieuwe matrices worden als volgt ingevoerd:

D = γ 0 , {displaystyle D=\gamma ^{0}~,}

A = i γ 1 , B = i γ 2 , C = i γ 3 , {\an A=i\gamma ^{1}~ ,\an B=i\gamma ^{2}~ ,\an C=i\gamma ^{3}~,}

en de vergelijking neemt de vorm aan (indachtig de definitie van de covariante componenten van de 4-gradiënt en vooral dat ∂0 = 1/c∂t )

Dirac-vergelijking

i ℏ γ μ ∂ μ ψ – m c ψ = 0 {\displaystyle i\hbar \gamma ^{\mu }\partiaal _{\mu }\psi -mc\psi =0}

waarbij er een impliciete sommatie is over de waarden van de tweemaal herhalende index μ = 0, 1, 2, 3, en ∂μ de 4-gradiënt is. In de praktijk schrijft men de gammamatrices vaak in termen van 2 × 2 submatrices uit de Pauli-matrices en de 2 × 2 identiteitsmatrix. Expliciet is de standaardvoorstelling

γ 0 = ( I 2 0 0 – I 2 ) , γ 1 = ( 0 σ x – σ x 0 ) , γ 2 = ( 0 σ y – σ y 0 ) , γ 3 = ( 0 σ z – σ z 0 ) . {\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}}~,\gamma ^{1}=\left({\begin{array}{cccc}0&\sigma _{x}\\-\sigma _{x}&0\end{array}}\right)~,\gamma ^{2}=\left({\begin{array}{cccc}0&\sigma _{y}\\-\sigma _{y}&0\end{array}}\right)~,\gamma ^{3}=\left({\begin{array}{cccc}0&\sigma _{z}\\-\sigma _{z}&0\end{array}}\right)~.}

Het volledige systeem wordt samengevat met behulp van de Minkowski-metriek op ruimtetijd in de vorm

{ γ μ , γ ν } = 2 η μ ν I 4 {Displaystyle \{gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }}=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}}

waarbij de haakjesuitdrukking

{ a , b } = a b + b a {{a,b}=ab+ba}

betekent de anticommutator. Dit zijn de definiërende relaties van een Cliffordalgebra over een pseudo-orthogonale 4-dimensionale ruimte met metrische signatuur (+ – – -). De specifieke Clifford algebra gebruikt in de Dirac vergelijking staat vandaag bekend als de Dirac algebra. Hoewel Dirac dit niet als zodanig herkende toen de vergelijking werd geformuleerd, betekent de introductie van deze meetkundige algebra achteraf gezien een enorme stap voorwaarts in de ontwikkeling van de kwantumtheorie.

De Dirac-vergelijking kan nu worden geïnterpreteerd als een eigenwaardevergelijking, waarbij de rustmassa evenredig is met een eigenwaarde van de 4-momentum-operator, met als evenredigheidsconstante de lichtsnelheid:

P o p ψ = m c ψ . {P_{\mathrm {op} =mc}

Gebruik ∂ / = d e f γ μ ∂ μ {\displaystyle {{\mathrm {def}} {{=}}} {\gamma ^{\mu}}}

( ∂ / {\displaystyle {\partial \!\big /}}

{\aniële ∂ / {\aniële ∂ / ψ – m c ψ = 0. {De verhouding tussen -mc -mc =0.}

In de praktijk gebruiken natuurkundigen vaak meeteenheden waarbij ħ = c = 1, de zogenaamde natuurlijke eenheden. De vergelijking neemt dan de eenvoudige vorm

Dirac-vergelijking (natuurlijke eenheden)

( i ∂ / – m ) ψ = 0 {\displaystyle (i{grote /}}-m)\psi =0}

Een fundamentele stelling stelt dat als twee verschillende verzamelingen matrices gegeven zijn die beide voldoen aan de Clifford relaties, dan zijn ze met elkaar verbonden door een gelijkenis transformatie:

γ μ ′ = S – 1 γ μ S . {Displaystyle γgamma ^{S~.}=S^{-1} γgamma ^{S~.}

Als bovendien de matrices allemaal unitair zijn, net als de Diracverzameling, dan is S zelf unitair;

γ μ ′ = U † γ μ U. {\displaystyle \gamma ^{\mu \prime }=U^{\dagger }\gamma ^{\mu }U~.}

De transformatie U is uniek tot op een vermenigvuldigingsfactor van absolute waarde 1. Laten we ons nu voorstellen dat een Lorentz-transformatie is uitgevoerd op de ruimte- en tijdcoördinaten, en op de afgeleide operatoren, die een covariante vector vormen. Opdat de operator γμ∂μ invariant blijft, moeten de gamma’s onderling transformeren als een contravariante vector ten opzichte van hun ruimtetijdindex. Deze nieuwe gama’s zullen zelf voldoen aan de Clifford-relaties, vanwege de orthogonaliteit van de Lorentz-transformatie. Door de fundamentele stelling kunnen we de nieuwe verzameling vervangen door de oude verzameling onderworpen aan een unitaire transformatie. In het nieuwe frame, met in gedachten dat de rustmassa een relativistische scalair is, zal de Dirac-vergelijking dan de vorm

( i U † γ μ U ∂ μ ′ – m ) ψ ( x ′ ,

U † ( i γ μ ∂ μ ′ – m ) U ψ ( x ′ , t ′ ) = 0 .

Als we nu de getransformeerde spinor

ψ ′ = U ψ {Displaystyle ^{\prime }=U\psi } definiëren

dan hebben we de getransformeerde Dirac-vergelijking op een manier die manifeste relativistische invariantie aantoont:

( i γ μ ∂ μ ′ – m ) ψ ′ ( x ′ , t ′ ) = 0 . {displaystyle (i gamma ^{\mu }^{\prime }-m)^psi ^{\prime }(x^{\prime },t^{\prime })=0~.}

Dus, als we eenmaal een unitaire representatie van de gamma’s hebben gevonden, is deze definitief mits we de spinor transformeren volgens de unitaire transformatie die overeenkomt met de gegeven Lorentz-transformatie.

De verschillende voorstellingen van de Dirac matrices die worden gebruikt, zullen bepaalde aspecten van de fysische inhoud van de Dirac golffunctie in het licht stellen (zie hieronder). De hier getoonde representatie staat bekend als de standaard representatie – daarin gaan de bovenste twee componenten van de golffunctie over in Pauli’s 2 spinor golffunctie in de limiet van lage energieën en kleine snelheden in vergelijking met licht.

De bovenstaande overwegingen onthullen de oorsprong van de gamma’s in de meetkunde, teruggrijpend op Grassmann’s oorspronkelijke motivatie – zij vertegenwoordigen een vaste basis van eenheidsvectoren in de ruimtetijd. Evenzo stellen producten van de gamma’s zoals γμγν georiënteerde oppervlakte-elementen voor, enzovoort. Met dit in gedachten kunnen we de vorm van het eenheidsvolume-element op ruimtetijd in termen van de gamma’s als volgt vinden. Per definitie is het

V = 1 4 ! ϵ μ ν α β γ μ γ ν γ α γ β . {Displaystyle V={\frac {1}{4!}}\epsilon _{\mu \nu \alpha \beta }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\beta }.}

Om dit een invariant te laten zijn, moet het epsilonsymbool een tensor zijn, en dus een factor van √g bevatten, waarbij g de determinant van de metrische tensor is. Daar deze negatief is, is die factor imaginair. Dus

V = i γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 . {Displaystyle V=i γgamma ^{0} γgamma ^{1} γgamma ^{2} γgamma ^{3}~.}

Deze matrix krijgt het speciale symbool γ5, vanwege het belang ervan als men oneigenlijke transformaties van de ruimte-tijd beschouwt, dat wil zeggen transformaties die de oriëntatie van de basisvectoren veranderen. In de standaardvoorstelling is het γ 5 = ( 0 I 2 I 2 0 ) . {\displaystyle \gamma _{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}~.}

Deze matrix zal ook tegengesteld blijken te zijn aan de andere vier Dirac matrices:

γ 5 γ μ + γ μ γ 5 = 0 {\displaystyle \gamma ^{5}\gamma ^{mu }+\gamma ^{5}=0}

Het speelt een hoofdrol bij pariteitskwesties omdat het volume-element als gerichte grootheid van teken verandert onder een ruimte-tijd spiegeling. Het nemen van de positieve vierkantswortel hierboven komt dus neer op het kiezen van een overheersingsconventie op de ruimtetijd.

Behoud van kansstroomEdit

Door de adjunct-spinor te definiëren

ψ ¯ = ψ † γ 0 {\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}

waarbij † de geconjugeerde transpositie van ψ is, en waarbij we opmerken dat

( γ μ ) † γ 0 = γ 0 γ μ , {\displaystyle (\gamma ^{\mu })^{\dagger }\gamma ^{0}=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }~,}

worden we, door de Hermitische conjugaat van de Dirac-vergelijking te nemen en van rechts met γ0 te vermenigvuldigen, de adjunctvergelijking:

ψ ¯ ( i γ μ ∂ μ + m ) = 0 , {\displaystyle {bar {\psi }}(i gamma ^{\mu }+m)=0~,}

waar ∂μ wordt opgevat als naar links werkend. Door de Dirac-vergelijking met ψ van links te vermenigvuldigen en de adjunct-vergelijking met ψ van rechts, en op te tellen, ontstaat de behoudswet van de Dirac-stroom:

∂ μ ( ψ ¯ γ μ ψ ) = 0 . {\displaystyle \partiaal _{\mu }}}gamma ^{\mu }}}gamma ^{\mu }})=0~.}

{Displaystyle _{\partial _{\mu } }left({{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu } }=0~.Nu zien we het grote voordeel van de eerste-ordevergelijking boven die van Schrödinger – dit is de behouden stroomdichtheid die nodig is voor relativistische invariantie, alleen is nu de vierde component positief bepaald en dus geschikt voor de rol van een waarschijnlijkheidsdichtheid: J 0 = ψ ¯ γ 0 ψ = ψ † ψ . {\displaystyle J^{0}={\gamma ^{0}}\psi = ^{dagger } }

Omdat de kansdichtheid nu verschijnt als de vierde component van een relativistische vector en niet als een eenvoudige scalar zoals in de Schrödingervergelijking, zal deze onderhevig zijn aan de gebruikelijke effecten van de Lorentztransformaties zoals tijddilatatie. Zo zullen bijvoorbeeld atomaire processen die worden waargenomen als snelheden, noodzakelijkerwijs worden aangepast op een wijze die in overeenstemming is met de relativiteit, terwijl die waarbij energie en momentum worden gemeten, die zelf een relativistische vector vormen, een parallelle aanpassing zullen ondergaan die de relativistische covariantie van de waargenomen waarden in stand houdt. De Diracstroom zelf is dan de ruimtetijd-covariante viervector:

J μ = ψ ¯ γ μ ψ . {\displaystyle J^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu } }

SolutionsEdit

Zie Dirac spinor voor details over oplossingen van de Dirac vergelijking. Merk op dat aangezien de Dirac operator werkt op 4-tupels van kwadratisch-integreerbare functies, de oplossingen leden van dezelfde Hilbert ruimte moeten zijn. Het feit dat de energieën van de oplossingen geen ondergrens hebben is onverwacht – zie het gatentheorie gedeelte hieronder voor meer details.

Vergelijking met de Pauli theorieEdit

Zie ook: Pauli-vergelijking

De noodzaak om half-integer spin in te voeren gaat experimenteel terug op de resultaten van het Stern-Gerlach-experiment. Een bundel atomen wordt door een sterk inhomogeen magneetveld geleid, dat zich vervolgens in N delen splitst, afhankelijk van het intrinsieke impulsmoment van de atomen. Men ontdekte dat voor zilveratomen de bundel in tweeën werd gesplitst – de grondtoestand kon dus niet integer zijn, want zelfs als het intrinsieke impulsmoment van de atomen zo klein mogelijk was, 1, zou de bundel in drie delen worden gesplitst, overeenkomend met atomen met Lz = -1, 0, +1. De conclusie is dat zilveratomen een netto intrinsiek impulsmoment hebben van 1⁄2. Pauli stelde een theorie op die deze splitsing verklaarde door de invoering van een twee-componenten golffunctie en een overeenkomstige correctieterm in de Hamiltoniaan, die een semi-klassieke koppeling voorstelt van deze golffunctie aan een toegepast magnetisch veld, zoals dus in SI-eenheden: (Merk op dat vetgedrukte letters Euclidische vectoren in 3 dimensies impliceren, terwijl de Minkowski-viervector Aμ kan worden gedefinieerd als A μ = ( ϕ / c , – A ) {\displaystyle A_{\mu }=(\phi /c,-\mathbf {A} )}

.) H = 1 2 m ( σ ⋅ ( p – e A ) 2 + e ϕ . {Displaystyle H={\frac {1}{2m}}}^{2}+e\phi ~.}

Hierbij zijn A en ϕ {\displaystyle \phi }

staan voor de componenten van de elektromagnetische vierpotentiaal in hun standaard SI-eenheden, en de drie sigma’s zijn de Pauli-matrices. Bij kwadratuur van de eerste term wordt een restinteractie met het magnetisch veld gevonden, samen met de gebruikelijke klassieke Hamiltoniaan van een geladen deeltje dat interageert met een toegepast veld in SI-eenheden: H = 1 2 m ( p – e A ) 2 + e ϕ – e ℏ 2 m σ ⋅ B . {H={\frac {1}{2m}}(\mathbf {p} -e\mathbf {A} rechts)^{2}+e\phi -{\frac {e\hbar }{2m}}{\boldsymbol {\sigma}}cdot \mathbf {B} ~.}

{Displaystyle H={\frac {1}{2m}}-links(\mathbf {p} -e\mathbf {A}-rechts)^{2}+e\phi -{\frac {e\hbar }{2m}}{\boldsymbol {\sigma }}}cdot \mathbf {B} ~.Deze Hamiltoniaan is nu een 2 × 2 matrix, zodat de daarop gebaseerde Schrödingervergelijking een twee-componenten golffunctie moet gebruiken. Als we de externe elektromagnetische 4-vector potentiaal op een vergelijkbare manier in de Dirac vergelijking inbrengen, bekend als minimale koppeling, neemt deze de vorm aan: ( γ μ ( i ℏ ∂ μ – e A μ ) – m c ) ψ = 0 . {\displaystyle (\gamma ^{\mu }(i\hbar \partiaal _{\mu }-eA_{\mu })-mc)\psi =0~.}

Een tweede toepassing van de Dirac-operator zal nu de Pauli-term precies zo weergeven als voorheen, omdat de ruimtelijke Dirac-matrices vermenigvuldigd met i, dezelfde kwadratuur- en commutatie-eigenschappen hebben als de Pauli-matrices. Bovendien wordt de waarde van de gyromagnetische verhouding van het elektron, die voor de nieuwe term van Pauli staat, verklaard uit de eerste beginselen. Dit was een belangrijke prestatie van de Dirac-vergelijking en gaf de natuurkundigen een groot vertrouwen in de algemene juistheid ervan. Er is echter meer. De Pauli theorie kan worden gezien als de lage energie limiet van de Dirac theorie op de volgende manier. Eerst wordt de vergelijking geschreven in de vorm van gekoppelde vergelijkingen voor 2-spinors met de SI-eenheden hersteld:

( ( m c 2 – E + e ϕ ) c σ ⋅ ( p – e A ) – c σ ⋅ ( p – e A ) ( m c 2 + E – e ϕ ) ) ( ψ + ψ – ) = ( 0 0 ) . {Displaystyle {{pmatrix}(mc^{2}-E+e}&c{{\boldsymbol {\sigma }}\left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\-c{{boldsymbol {\sigma }}\left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)&\left(mc^{2}+E-e\phi \right)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}~.}

zo

( E – e ϕ ) ψ + – c σ ⋅ ( p – e A ) ψ – = m c 2 ψ + {{}}(E-e{phi )\psi _{+}-c{boldsymbol {sigma}}}}(\mathbf {p} -e{mathbf {A}})\psi _{-}=mc^{2}\psi _{+}}

– ( E – e ϕ ) ψ – + c σ ⋅ ( p – e A ) ψ + = m c 2 ψ – {\displaystyle -(E-e}\psi _{-}+c{}(E-e))\psi _{-}+c{}}(E-e))\psi _{+}=mc^{2}\psi _{-}}

Aannemende dat het veld zwak is en de beweging van het elektron niet-relativistisch, is de totale energie van het elektron ongeveer gelijk aan zijn rust-energie en het momentum aan de klassieke waarde,

E – e ϕ ≈ m c 2 {\displaystyle E-e-fi approx mc^{2}}

p ≈ m v {\displaystyle \mathbf {p} \m mathbf {v} }

en zo kan de tweede vergelijking worden geschreven

ψ – ≈ 1 2 m c σ ⋅ ( p – e A ) ψ + {\displaystyle \psi _{-{\frac {1}{2mc}}{\boldsymbol {sigma}} } }ot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\psi _{+}}

wat van orde v/c is – dus bij typische energieën en snelheden, worden de onderste componenten van de Dirac-spinor in de standaardvoorstelling sterk onderdrukt in vergelijking met de bovenste componenten. Invullen van deze uitdrukking in de eerste vergelijking geeft na enig herschikken

( E – m c 2 ) ψ + = 1 2 m 2 ψ + + e ϕ ψ + {\displaystyle (E-mc^{2})ψpsi _{+}={\frac {1}{2m}}}left^{2}ψpsi _{+}+e \phi \psi _{+}}

De operator links stelt de deeltjesenergie voor, verminderd met zijn rustenergie, die gewoon de klassieke energie is, zodat we de theorie van Pauli terugkrijgen als we zijn 2-spinor identificeren met de topcomponenten van de Dirac-spinor in de niet-relativistische benadering. Een verdere benadering geeft de Schrödingervergelijking als limiet van de Pauli-theorie. De Schrödingervergelijking kan dus worden gezien als de verre niet-relativistische benadering van de Dirac-vergelijking wanneer men spin mag verwaarlozen en alleen bij lage energieën en snelheden mag werken. Dit was ook een grote triomf voor de nieuwe vergelijking, omdat het de mysterieuze werking die erin voorkomt, en de noodzaak van een complexe golffunctie, terugleidde tot de geometrie van de ruimtetijd via de Dirac-algebra. Het benadrukt ook waarom de Schrödinger vergelijking, hoewel oppervlakkig gezien in de vorm van een diffusievergelijking, eigenlijk de voortplanting van golven weergeeft.

Het moet sterk worden benadrukt dat deze scheiding van de Dirac spinor in grote en kleine componenten expliciet afhangt van een lage-energie benadering. De gehele Dirac spinor vertegenwoordigt een onherleidbaar geheel, en de componenten die we zojuist hebben verwaarloosd om tot de Pauli theorie te komen, zullen in het relativistische regime nieuwe verschijnselen opleveren – antimaterie en het idee van schepping en annihilatie van deeltjes.

Vergelijking met de Weyl theorieEdit

In de limiet m → 0, reduceert de Dirac vergelijking tot de Weyl vergelijking, die relativistische massaloze spin-1⁄2 deeltjes beschrijft.

Dirac LagrangianEdit

Zowel de Dirac-vergelijking als de Adjoint Dirac-vergelijking kunnen worden verkregen uit (het variëren van) de actie met een specifieke Lagrangiaanse dichtheid die gegeven wordt door:

L = i ℏ c ψ ¯ γ μ ∂ μ ψ – m c 2 ψ ¯ ψ {\displaystyle {\mathcal {L}}=i\hbar c{overline {\psi }}\gamma ^{\mu }} -mc^{2}{overline {\psi }}\psi }