Toon mobiele notitie Toon alle notities Verberg alle notities

Hoofdstuk 4 : Meervoudige Integralen

In Calculus I gingen we over op het onderwerp integralen zodra we klaar waren met de bespreking van afgeleiden. Hetzelfde geldt voor deze cursus. Nu we klaar zijn met de bespreking van afgeleiden van functies van meer dan één variabele, moeten we overgaan tot integralen van functies van twee of drie variabelen.

De meeste onderwerpen over afgeleiden liggen enigszins in het verlengde van hun Calculus I-tegenhangers en dat zal hier niet anders zijn. Maar omdat het nu gaat om functies van twee of drie variabelen zullen er ook enkele verschillen zijn. Er zullen nieuwe notaties zijn en enkele nieuwe problemen die zich niet voordoen bij functies van één variabele.

Hier volgt een lijst van onderwerpen die in dit hoofdstuk aan de orde komen.

Dubbele integralen – In dit gedeelte zullen we de dubbele integraal formeel definiëren en een korte interpretatie geven van de dubbele integraal.

Geïntereerde integralen – In dit deel laten we zien hoe de stelling van Fubini gebruikt kan worden om dubbele integralen te berekenen als het integratiegebied een rechthoek is.

Dubbele integralen over algemene gebieden – In dit deel beginnen we met het berekenen van dubbele integralen over algemene gebieden, d.w.z. gebieden die geen rechthoeken zijn. We zullen illustreren hoe een dubbele integraal van een functie kan worden geïnterpreteerd als het netto volume van het vaste lichaam tussen het door de functie gegeven oppervlak en het xy(xy)-vlak.

Dubbele integralen in poolcoordinaten – In deze paragraaf zullen we kijken naar het omzetten van integralen (inclusief \(dA)) in cartesische coördinaten naar poolcoördinaten. De integratiegebieden in deze gevallen zullen alle of delen van schijven of ringen zijn en dus zullen we ook de originele cartesische limieten voor deze gebieden moeten omzetten in poolcoordinaten.

Drievoudige Integralen – In deze sectie zullen we de drievoudige integraal definiëren. We zullen ook een aantal voorbeelden illustreren van het opstellen van de integratiegrenzen vanuit het driedimensionale integratiegebied. Het bepalen van de integratiegrenzen is vaak het moeilijkste deel van deze problemen.

Drievoudige Integralen in Cilindrische Coördinaten – In dit deel bekijken we het omrekenen van integralen (inclusief dV) in cartesische coördinaten naar cilindrische coördinaten. We zullen ook de originele cartesische limieten voor deze gebieden omrekenen naar cilindrische coördinaten.

Drievoudige integralen in sferische coördinaten – In dit deel zullen we kijken naar het omrekenen van integralen (inclusief \(dV\)) in cartesische coördinaten naar sferische coördinaten. We zullen ook de originele cartesische limieten voor deze gebieden omrekenen in sferische coördinaten.

Verandering van variabelen – In vorige secties hebben we cartesische coördinaten omgerekend in polaire, cilindrische en sferische coördinaten. In dit deel zullen we dit idee veralgemenen en bespreken hoe we integralen in cartesische coördinaten omzetten in alternatieve coördinatenstelsels. Inbegrepen is een afleiding van de conversieformule voor de omrekening naar sferische coördinaten.

Oppervlakte – In dit deel laten we zien hoe een dubbele integraal kan worden gebruikt om de oppervlakte te bepalen van het deel van een oppervlak dat zich over een gebied in de tweedimensionale ruimte bevindt.

Oppervlakte en volume opnieuw bekeken – In dit deel vatten we de verschillende oppervlakte- en volumeformules uit dit hoofdstuk samen.