Ik ga een functie s van N definiëren en ik ga die definiëren als de som de som van alle positieve gehele getallen positieve gehele getallen inclusief n inclusief inclusief n en dus het domein van deze functie is echt alle positieve gehele getallen en moet een positief geheel getal zijn en dus kunnen we het uitproberen met een paar dingen we kunnen s van 3 nemen dit wordt gelijk aan 1 plus 2 plus 3 wat gelijk is aan 6 we kunnen s van laten we s van 4 nemen goed dat wordt 1 plus 2 plus 3 plus 4 wat gelijk is aan 10 dus vrij vrij eenvoudig nu wat ik wil doen in deze video is bewijzen en er zijn eigenlijk meerdere manieren om dit te bewijzen dat ik dit kan schrijven als een functie van n dat de som van alle positieve gehele getallen tot en met n gelijk is aan n keer n plus 1 dat alles meer dan 2 en de manier waarop ik ga bewijzen dat het aan u is althans de eerste manier waarop ik ga bewijzen dat het aan u is door inductie dit zal een bewijs zijn Het is een interessante filosofische manier om iets te bewijzen, want eerst bewijs je het basisgeval, dus in het geval van deze functie, deze uitspraak hier, dus dit is wat we moeten bewijzen in het geval van deze uitspraak hier, gaan we het eerst bewijzen 4-1 dat wordt ons basisscenario en dan gaan we de inductiestap doen de inductiestap die in wezen betekent dat als we aannemen dat het werkt voor een positief geheel getal K dat als dus als we dat aannemen dan kunnen we bewijzen dat het gaat werken voor het volgende positieve geheel getal het gaat werken voor K plus 1 en de reden waarom dit werkt laten we zeggen dat we bewijzen als we dit allebei bewijzen dus het basis geval gaan we het bewijzen voor in dit geval gaan we het bewijzen voor 1 bewijzen voor 1 maar er is het hoeft niet altijd 1 te zijn want je zou je jouwe het zou kunnen zijn dit is waar voor alles boven 55 of alles boven een bepaalde drempel maar in dit geval zeggen we dat het waar is voor alle positieve gehele getallen dus ons basisgeval wordt 4 1 en dan onze volgende F we gaan proberen te bewijzen dat als je aanneemt als je aanneemt dat als je aanneemt dat 4 als je aanneemt dat dit ding waar is voor een aantal van K als we aannemen dat dan zal het waar zijn voor een aantal van K plus 1 en de reden waarom dit alles is wat je hoeft te doen om dit te bewijzen voor alle positieve gehele getallen is gewoon voorstellen dus laten we denken aan alle positieve gehele getallen hier 1 2 3 4 5 6 je zou gewoon eeuwig door kunnen gaan dus we gaan het bewijzen 4-1 we gaan bewijzen dat deze formule hier deze uitdrukking geldt voor het geval van 1 als n 1 is en dan gaan we bewijzen dat als we weten dat het waar is voor een gegeven K dat het waar is voor de volgende dus als we weten dat het waar is voor 1 in ons basisgeval dan zegt de tweede stap deze inductiestap goed het moet waar zijn voor 2 dan omdat we hebben bewezen in het algemeen als het waar is voor K het waar zal zijn voor K plus 1 wel als het waar is voor 2 dan moet het waar zijn voor 3 want we hebben bewezen als het waar is voor als het waar is voor K is het waar voor K plus 1 dus als het waar is voor 2 is het waar voor 3 en dan als het waar is voor 3 moet het waar zijn voor 4 en je kan gewoon eeuwig doorgaan wat betekent dat het waar is voor alles nu gesproken in het algemeen uit algemeenheden laten we dit eigenlijk bewijzen door door inductie dus laten we nemen laten we nemen laten we de som laten we deze functie op 1 doen nou dat wordt gewoon de som van alle positieve gehele getallen inclusief 1 is gewoon letterlijk 1 we hebben ze gewoon allemaal opgeteld het is gewoon 1 er is geen ander positief geheel getal tot en met 1 en we kunnen bewijzen dat dit hetzelfde is als 1 keer 1 plus 1 dat alles over 2 1 plus 1 is 2 2 gedeeld door 2 is 1 1 keer 1 is 1 dus deze formule hier deze uitdrukking het werkte voor het werkte voor 1 dus we hebben ons basisgeval bewezen we hebben het bewezen voor 1 nu wat ik wil doen is aannemen dat het werkt voor een getal voor een getal K dus ik zal aannemen dat het waar is voor ik zal aannemen dat het waar is voor een getal K dus ik ga aannemen dat voor een getal K dat deze functie bij K gelijk zal zijn aan K keer k plus 1 over 2 dus ik ga er gewoon van uit dat dit waar is voor dat nu wat ik wil doen is nadenken over wat er gebeurt als ik deze functie probeer te vinden voor k plus 1 dus dit is wat ik aanneem ik neem aan dat ik dit weet laten we het nu proberen voor k plus 1 dus wat is de som van alle gehele getallen tot en met k plus 1 tot en met k plus 1 nou dit wordt 1 plus 2 plus 3 plus helemaal tot en met k plus k plus 1 juist dit is de som van alles tot en met inclusief k plus 1 goed we gaan ervan uit dat we weten wat dit al is we gaan ervan uit dat we al een formule voor dit hebben we gaan ervan uit dat dit gaat vereenvoudigen tot k keer k plus 1 over 2 of ervan uitgaande dat we dat weten en dus nemen we gewoon dit deel en we tellen het op bij k plus 1 dus we tellen het op bij de k plus 1 hier we tellen het op bij de k plus 1 en als je een gemeenschappelijke noemer vindt als je een opmerking vindt de gemeenschappelijke noemer is 2 dus laten we gaan dit wordt gelijk aan Ik zal het deel in magenta eerst schrijven dit is K keer k plus 1 over 2 plus 2 keer k plus 1 over 2 dit ding in blauw is hetzelfde als dat ding in blauw de twee zou opheffen ik schreef het gewoon op deze manier dus ik heb een gemeenschappelijke noemer en dus dit wordt gelijk aan dit wordt gelijk aan we hebben een gemeenschappelijke noemer van 2 en ik zal dit in een andere kleur schrijven zodat we K keer k plus 1 plus 2 keer k plus 1 hebben nu bij deze stap hier kun je een k plus 1 uit factoriseren beide termen zijn deelbaar door K plus 1 dus laten we dit uit factoriseren als je een k plus 1 uit factoriseert krijg je k plus 1 k plus 1 keer we breken het hier uit als je een k plus 1 uit factoriseert heb je gewoon een K hier als je een k plus 1 uit factoriseert heb je gewoon een – Laat me deze inkleuren zodat je weet wat ik aan het doen ben dus deze 2 is deze 2 daar en deze K deze K is deze K is deze K daar we hebben het in factoren uit deze deze K plus een keer we hebben het in factoren uit 2 deze K plus 1 daar en het gaat dit alles worden dit alles over 2 nu kunnen we dit herschrijven dit is hetzelfde dit is gelijk aan dit is hetzelfde als dit is hetzelfde als k plus 1 dat is dit deel hier keer k plus 1 k plus 1 plus 1 rechts dit is duidelijk hetzelfde als k plus 2 dat alles over dat alles over 2 Waarom is dit interessant voor ons? We hebben het net bewezen als we aannemen dat dit waar is als we aannemen dat dit waar is en als we die aanname gebruiken dan krijgen we dat de som van alle positieve gehele getallen tot en met k plus 1 is gelijk is aan k plus 1 maal k plus 1 plus 1 over 2 we laten eigenlijk zien dat die originele formule die originele formule ook geldt voor k plus 1 als je gewoon k plus 1 neemt en het inbrengt voor n dan zou je precies het resultaat krijgen dat we hier kregen dus we hebben laten zien dat we bewezen dat deze uitdrukking werkt voor de som van alle positieve gehele getallen tot en met 1 en het werkt ook als we aannemen dat het werkt voor alles tot en met k of als we aannemen dat het werkt voor het gehele getal k dan werkt het ook voor het geheel getal k plus 1 en we zijn klaar dat is ons bewijs vriend door inductie dat bewijst ons dat het werkt voor alle positieve gehele getallen waarom is dat goed we hebben het bewezen voor 1 en we hebben bewezen dat als het werkt voor een geheel getal het gaat werken voor de volgende geheel getal als je kunt aannemen dat het werkt voor een geheel getal dan werkt het voor het volgende geheel getal dus als je aanneemt dat het voor één werkt dan kan het ook voor twee werken nou we hebben al bewezen dat het voor één werkt dus we kunnen aannemen dat het voor één werkt dus zal het zeker voor twee werken dus krijgen we twee gecontroleerd maar omdat we aan kunnen nemen dat het werkt voor twee kunnen we nu aannemen dat het werkt voor drie als het werkt voor drie dan hebben we bewezen dat het werkt voor vier zie je hoe deze inductie stap is als een soort domino en het Cascades en we kunnen eeuwig doorgaan dus het zal echt werken voor alle positieve gehele getallen