Mathematik
Inspiration, reine, angewandte Mathematik und ÄsthetikBearbeiten
Es ist durchaus möglich, dass die Kunst des Rechnens schon vor der Schrift entwickelt wurde, und zwar in erster Linie in der Buchhaltung und in der Vermögensverwaltung, im Handel, im Vermessungswesen und später in der Astronomie.
Heute tragen alle Wissenschaften Probleme bei, die von Mathematikern untersucht werden, während in der Mathematik selbst neue Probleme auftreten. Der Physiker Richard Feynman beispielsweise schlug das Pfadintegral als Grundlage der Quantenmechanik vor und verband damit die mathematische Argumentation mit dem physikalischen Ansatz, aber eine völlig zufriedenstellende Definition in mathematischer Hinsicht wurde noch nicht erreicht. In ähnlicher Weise inspiriert die Stringtheorie, eine sich entwickelnde wissenschaftliche Theorie, die versucht, die vier fundamentalen Kräfte der Physik zu vereinheitlichen, weiterhin den größten Teil der modernen Mathematik.
Einige Mathematik ist nur für den Bereich relevant, in dem sie inspiriert wurde, und wird auf andere Probleme in diesem Bereich angewendet. Oft ist die von einem bestimmten Gebiet inspirierte Mathematik jedoch in vielen Bereichen nützlich und wird in die anerkannten allgemeinen mathematischen Konzepte einbezogen. Die bemerkenswerte Tatsache, dass selbst die reinste Mathematik in der Regel praktische Anwendungen hat, ist das, was Eugene Wigner als „die unvernünftige Wirksamkeit der Mathematik in den Naturwissenschaften“ definiert hat.
Wie in den meisten Studienbereichen hat die Explosion des Wissens im wissenschaftlichen Zeitalter zu einer Spezialisierung der Mathematik geführt. Es gibt einen wichtigen Unterschied zwischen reiner Mathematik und angewandter Mathematik. Die meisten Forschungsmathematiker konzentrieren sich nur auf einen dieser Bereiche, und manchmal wird die Wahl schon zu Beginn des Studiums getroffen. Mehrere Bereiche der angewandten Mathematik haben sich mit anderen Bereichen, die traditionell außerhalb der Mathematik liegen, zusammengeschlossen und sind zu eigenständigen Disziplinen geworden, wie z. B. Statistik, Operations Research oder Informatik.
Wer eine Vorliebe für die Mathematik hat, stellt fest, dass ein ästhetischer Aspekt vorherrscht, der die meiste Mathematik bestimmt. Viele Mathematiker sprechen von der Eleganz der Mathematik, von der ihr innewohnenden Ästhetik und ihrer inneren Schönheit. Generell ist einer der am meisten geschätzten Aspekte die Einfachheit des Systems. Die Schönheit eines einfachen und aussagekräftigen Beweises, wie Euklids Beweis für die Existenz unendlich vieler Primzahlen, liegt in einer eleganten numerischen Analyse, die die Berechnung beschleunigt, sowie in der schnellen Fourier-Transformation. G. H. Hardy drückte in A Mathematician’s Apology die Überzeugung aus, dass diese ästhetischen Erwägungen an sich schon ausreichen, um das Studium der reinen Mathematik zu rechtfertigen. Mathematiker streben oft danach, Beweise für Theoreme zu finden, die besonders elegant sind. Der exzentrische Mathematiker Paul Erdős bezeichnete diese Tatsache als die Suche nach Beweisen für „das Buch“, in das Gott seine Lieblingsbeweise geschrieben hat. Die Beliebtheit der Freizeitmathematik ist ein weiteres Zeichen für die Freude am Lösen mathematischer Fragen.
Notation, Sprache und StrengeBearbeiten
Die meisten der heute verwendeten mathematischen Notationen wurden erst im 18. Davor wurde die Mathematik in Worte gefasst, ein mühsamer Prozess, der den mathematischen Fortschritt einschränkte. Im 18. Jahrhundert war Euler für viele der heute verwendeten Notationen verantwortlich. Die moderne Notation macht die Mathematik für Fachleute viel einfacher, für Anfänger jedoch komplizierter. Die Notation reduziert die Mathematik auf ein Minimum, so dass einige Symbole eine große Menge an Informationen enthalten. Wie die musikalische Notation hat auch die moderne mathematische Notation eine strenge Syntax und kodiert Informationen, die sonst schwer zu schreiben wären.
Mathematische Sprache kann auch für Anfänger schwierig sein. Wörter wie „oder“ und „nur“ haben genauere Bedeutungen als in der Alltagssprache. Darüber hinaus haben Wörter wie „offen“ und „Körper“ eine ganz bestimmte mathematische Bedeutung. Der mathematische Jargon oder die mathematische Sprache umfasst Fachbegriffe wie Homöomorphismus oder Integrabilität. Der Grund für die Notwendigkeit, Notation und Jargon zu verwenden, ist, dass die mathematische Sprache mehr Präzision erfordert als die Alltagssprache. Mathematiker bezeichnen diese Präzision in Sprache und Logik als „Rigorosität“.
Rigorosität ist eine unabdingbare Bedingung, die ein mathematischer Beweis haben muss. Mathematiker wollen, dass ihre aus Axiomen abgeleiteten Theoreme einer systematischen Argumentation folgen. Dies dient dazu, fehlerhafte Theoreme zu vermeiden, die auf fehlbaren Intuitionen beruhen und die in der Geschichte dieser Wissenschaft schon mehrfach aufgetreten sind. Das Maß an Strenge, das in der Mathematik erwartet wird, hat sich im Laufe der Zeit verändert: Die Griechen strebten nach detaillierten Argumenten, aber zur Zeit Isaac Newtons waren die angewandten Methoden weniger rigoros. Die inhärenten Probleme mit den von Newton verwendeten Definitionen führten zu einer Wiederbelebung der sorgfältigen Analyse und der offiziellen Demonstrationen im 19. Nun unterstützen sich die Mathematiker gegenseitig durch computergestützte Demonstrationen.
Ein Axiom wird traditionell als „selbstverständliche Wahrheit“ interpretiert, aber diese Auffassung ist problematisch. Im formalen Bereich ist ein Axiom nichts anderes als eine Kette von Symbolen, die nur im Kontext aller aus einem axiomatischen System abgeleiteten Formeln eine eigene Bedeutung hat.
Mathematik als WissenschaftBearbeiten
Carl Friedrich Gauß bezeichnete die Mathematik als „die Königin der Wissenschaften“. Sowohl im lateinischen Original Scientiārum Regīna als auch im deutschen Königin der Wissenschaften ist das Wort Wissenschaft als (Bereich des) Wissens zu interpretieren. Wenn Wissenschaft als das Studium der physikalischen Welt betrachtet wird, dann ist die Mathematik, oder zumindest die reine Mathematik, keine Wissenschaft.
Viele Philosophen sind der Meinung, dass die Mathematik nicht experimentell falsifizierbar ist und somit keine Wissenschaft im Sinne von Karl Popper ist. In den 1930er Jahren zeigten jedoch wichtige Arbeiten zur mathematischen Logik, dass die Mathematik nicht auf die Logik reduziert werden kann, und Karl Popper kam zu dem Schluss, dass „die meisten mathematischen Theorien wie die der Physik und der Biologie hypothetisch-deduktiv sind. Damit hat sich die reine Mathematik den Naturwissenschaften angenähert, deren Hypothesen wie bisher Vermutungen sind“. Andere Denker, insbesondere Imre Lakatos, haben eine Version des Falsifikationismus für die Mathematik selbst gefordert.
Eine alternative Ansicht ist, dass bestimmte wissenschaftliche Bereiche (wie die theoretische Physik) Mathematik mit Axiomen sind, die vorgeben, der Realität zu entsprechen. Der theoretische Physiker J. M. Ziman schlägt sogar vor, dass Wissenschaft „öffentliches Wissen“ ist und daher auch die Mathematik einschließt. In jedem Fall hat die Mathematik viel mit vielen Bereichen der Naturwissenschaften gemeinsam, insbesondere mit der Erforschung der logischen Konsequenzen von Hypothesen. Intuition und Experimente spielen auch eine wichtige Rolle bei der Formulierung von Vermutungen in der Mathematik und den anderen Wissenschaften. Die experimentelle Mathematik gewinnt innerhalb der Mathematik immer mehr an Bedeutung. Kalkulation und Simulation spielen sowohl in den Naturwissenschaften als auch in der Mathematik eine immer größere Rolle, was den Einwand entkräftet, dass die Mathematik sich nicht der wissenschaftlichen Methode bedient. Im Jahr 2002 argumentiert Stephen Wolfram in seinem Buch A New Kind of Science, dass die Computermathematik es verdient, als wissenschaftliches Gebiet empirisch erforscht zu werden.
Die Ansichten der Mathematiker zu diesem Thema sind sehr unterschiedlich. Viele Mathematiker sind der Ansicht, dass die Bezeichnung ihres Fachs als Wissenschaft die Bedeutung ihres ästhetischen Profils herunterspielt und ihre Geschichte innerhalb der sieben freien Künste leugnet. Andere sind der Meinung, dass die Vernachlässigung der Verbindung zu den Wissenschaften bedeutet, die offensichtliche Verbindung zwischen der Mathematik und ihren Anwendungen in Wissenschaft und Technik zu ignorieren, die die Entwicklung der Mathematik stark vorangetrieben hat. Ein weiterer Streitpunkt, der in gewisser Weise mit dem vorherigen zusammenhängt, ist die Frage, ob die Mathematik geschaffen (als Kunst) oder entdeckt (als Wissenschaft) wurde. Dies ist eine der vielen Fragen, die die Philosophie der Mathematik beschäftigen.
Mathematische Preise werden im Allgemeinen von ihren Äquivalenten in der Wissenschaft getrennt. Der renommierteste Preis in der Mathematik, die Fields-Medaille, wurde 1936 ins Leben gerufen und wird alle vier Jahre verliehen. Er wird oft als das Äquivalent zum Nobelpreis für Wissenschaft angesehen. Weitere Preise sind der 1978 ins Leben gerufene Wolf-Preis für Mathematik, mit dem das Lebenswerk von Mathematikern gewürdigt wird, und der Abel-Preis, ein weiterer wichtiger internationaler Preis, der 2003 eingeführt wurde. Die beiden letztgenannten Preise werden für herausragende Arbeiten vergeben, die bahnbrechende Forschungsarbeiten oder die Lösung eines herausragenden Problems in einem bestimmten Bereich darstellen können. Eine berühmte Liste dieser 23 ungelösten Probleme, die so genannten „Hilbert-Probleme“, wurde im Jahr 1900 von dem deutschen Mathematiker David Hilbert zusammengestellt. Diese Liste ist unter Mathematikern sehr beliebt geworden, und mindestens neun der Probleme wurden bereits gelöst. Im Jahr 2000 wurde eine neue Liste von sieben grundlegenden Problemen mit dem Titel „Millennium Problems“ veröffentlicht. Die Lösung jeder dieser Aufgaben wird mit 1 Million Dollar belohnt. Interessanterweise erscheint nur eine (die Riemann-Hypothese) auf beiden Listen.