$ \def\P{\mathcal P} % Potenzmenge \def\iff{\leftrightarrow}$

Mapping, oder abgekürzt map, ist eines von vielen Synonymen für Funktion.Insbesondere wird der Begriff map(ping) in allgemeinen Zusammenhängen wie der Mengenlehre verwendet, aber die Verwendung ist nicht auf diese Fälle beschränkt.

Das Mapping-Konzept in der Mengenlehre

In der Mengenlehre sind Mappings spezielle binäre Beziehungen.

Eine Abbildung $f$ von einer Menge $A$ auf eine Menge $B$ ist ein (geordnetes) Tripel $ f = (A,B,G_f) $, wobei $ G_f \Teilmenge A \mal B $ so ist, dass

• (a) wenn $ (x,y) $ und $ (x,y‘) \in G_f $ dann $ y=y‘ $, und
• (b) die Projektion $ \pi_1 (G_f) = \{ x \mid (x,y) \in G_f \} = A $.

Bedingung (a) drückt aus, dass $f$ einwertig ist. undBedingung (b), dass es auf $A$ definiert ist.

$A$ ist die Domäne, $B$ ist die Codomäne und $G_f$ ist der Graph der Abbildung. Daher sind in diesem Zusammenhang Abbildungen dann und nur dann gleich, wenn alle drei entsprechenden Komponenten (Domäne, Kodomäne und Graph) gleich sind.
Die Abbildung wird gewöhnlich als $ f : A \nach B $ bezeichnet, und $ a \mapsto f(a) $wobei $ f(a) := b \iff (a,b) \in G_f $ der Wert von $f$ bei $a$ ist.

Wenn zwei Abbildungen $ f_1 = (A_1,B_1,G_1) $ und $ f_2 = (A_2,B_2,G_2) $ erfüllen

$ A_1 \subset A_2 $, $ B_1 \Teilmenge B_2 $ und $ G_1 \Teilmenge G_2 $

dann nennt man $ f_2 $ eine Erweiterung von $ f_1 $ und $ f_1 $ eine Einschränkung von $ f_2 $.In diesem Fall wird $ f_1 $ oft als $ f_2 \vert A_1 $ bezeichnet und es ist klar, dass $ f_1 (a) = f_2 (a) $ für alle $ a \in A_1 $ gilt.

Bemerkung:
Manchmal wird nur der Graph $G_f$ zur Darstellung einer Funktion verwendet.In diesem Fall sind zwei Abbildungen gleich, wenn sie denselben Graphen haben, und man kann Graphen zulassen, die keine Mengen, sondern Klassen sind.
Während man den Bereich der Funktion als Projektion $ \pi_1 (G_f) $ der ersten Komponente erhält, liefert die Projektion $ \pi_2 (G_f) $ der zweiten Komponente nicht den Mitbereich, sondern nur das Bild des Bereichs.Der Begriff der Surjektivität ist also nicht anwendbar.

Zusammensetzung

Zwei Abbildungen können zusammengesetzt werden, wenn die Codomäne der einen Abbildung eine Teilmenge der Domäne der anderen Abbildung ist:

Für $ f=(A,B,G_f) $ und $ g=(C,D,G_g) $ mit $ B \Teilmenge C $ ist die Zusammensetzung $ g \circ f $ die Abbildung $ (A,D,G) $ mit

$ G := \{ (a,g(f(a))) \mid a \in A \} = \{ (a,c) \mid (\exists b \in B) ( (a,b) \in G_f \land (b,c) \in G_g ) \} $.

Bemerkungen:
(a) Die Bedingung $ B \Teilmenge C $ kann zu $ f(A) \Teilmenge C $ entspannt werden.
(b) Wenn nur Graphen verwendet werden, dann ist der Graph der Zusammensetzung (wie oben) definiert durch

$ G_{g \circ f} := \{ (a,c) \mid (\exists b ) ( (a,b) \in G_f \land (b,c) \in G_g ) \} $

kann sich aber als leer erweisen.

Induzierte Abbildungen

Jede Abbildung $ f : A \nach B $ induziert zwei Abbildungen zwischen den Potenzmengen $\P(A)$ und $\P(B)$.

$ f_\ast : \P(A) \zu \P(B) $ definiert durch $ f_\ast (S) := \{ f(a) \mid a \in S \}$ für $ S \subset A $

und

$ f^\ast : \P(B) \zu \P(A) $ definiert durch $ f^\ast (T) := \{ a \mid f(a) \in T \}$ für $ T \Teilmenge B $

$ f_\ast (S) $ nennt man das Bild von $S$ unter $f$, gewöhnlich bezeichnet als $f(S)$, und$ f^\ast (T) $ nennt man das inverse Bild von $T$ unter $f$, gewöhnlich bezeichnet als $f^{-1}(T)$,aber man muss sich bewusst sein, dass diese gebräuchlichen Bezeichnungen in bestimmten Situationen mehrdeutig sein können.