$ \P{mathcal P} % power set \defiff{Leftrightarrow}$

Mapping（略称map）は、関数に対して用いられる多くの同義語の1つである。特に、集合論などの一般的な文脈ではmap(ping)という用語が使われるが、使用はこれらの場合に限定されない。

集合論における写像概念

集合論において写像は特殊な二項関係である。

集合 $A$ から集合 $B$ への写像 $f$ は（順序）三項 $ f = (A,B,G_f) $ ここで $ G_f \subset A \times B $such that

• (a)if $ (x.),y) $ かつ $ (x,y’) \in G_f $ ならば $ y=y’ $, そして
• (b) 投影 $ \pi_1 (G_f) = \{ x \mid (x,y) \in G_f } = A $.

条件(a)は$f$が一値であることを表し、条件(b)は$A$上で定義されていることを表す。

$A$はドメイン、$B$はコードメインであり、$G_f$は写像のグラフとなる。
写像は通常$ f : A \to B $と表記し、$ a \mapsto f(a) $ここで$ f(a) := b \iff (a,b) \in G_f $は$f$の$a$における値である。

二つの写像 $ f_1 = (A_1,B_1,G_1) $ と $ f_2 = (A_2,B_2,G_2) $ が

$ A_1 の部分集合 A_2 $ を満たすとき、$ f_2 の部分集合は$ f_1 の部分集合である。 $ B_1 \subset B_2 $ and $ G_1 \subset G_2 $

then $f_2$ is an extension of $ f_1 $, and $ f_1 $ a restriction of $f_2$.このとき、$ f_1 $を$ f_2 \vert A_1 $と表記することが多く、明らかに$ f_1 (a) = f_2 (a) $がすべての$ a \in A_1 $について成り立つ。

Remark：
グラフ$G_f$だけを使って関数を表現することもある。この場合、2つの写像は同じグラフであれば等しく、グラフが集合でなくクラスであってもよい。
関数のドメインは第1成分の射影$ \pi_1 (G_f) $として得られるが、第2成分の射影$ \pi_2 (G_f) $ではドメインは得られず、そのイメージのみが得られる。したがって、超射影性の概念は適用できない。

合成

一方の写像の共領域が他方の写像の領域の部分集合であれば、二つの写像を合成することができる。

f=(A,B,G_f) $ と $ g=(C,D,G_g) $ で $ B がサブセット C のとき、合成 $ g \circ f $ は写像 $ (A,D,G) $ で

$ G := \{ (a,g(f(a))) \} $.

備考
(a) 条件 $ B \subset C $ は $ f(A) \subset C $ に緩和できる。
(b) もしグラフだけを使うなら、合成のグラフは（上記のように）

$ G_{g \circ f} := \{ (a,c) \mid (\exists b ) ( (a,b) \in G_f \land (b,c) \in G_g ) によって定義できる。 \f : A } $

but turn out to be empty.

Induced mappings

Every mapping $ f : A \to B $ induce two mappings between power sets $P(A)$ and $GP(B)$.

$ f_ast : \P(A) \to \P(B) $ defined by $ f_ast (S) := \{ f(a) \mid a \in S \}$ for $ S \subset A $

and

$ f^ast : \P(B) \to \P(A) $ defined by $ f^anthus t (T) := \{ a \mid f(a) \in T \}$ for $ T \subset B $

$ f_ast (S) $ を $f$ の下の $S$ の像、通常 $f(S)$ と呼び、$ f^Θast (T) $ を $f$ の下の $T$ の逆像、通常 $f^{-1}(T)$ と呼ぶが、これらの共通の表記はある状況で曖昧な場合があるので注意しなければならな い。