Center for Placement Testing
Contents of Mathematics Placement Test
1978年から、UWシステムの教員とウィスコンシン州の高校教師が協力して、入学者を大学の数学コースに入れるためのテストを開発してきた。 現在のテストは、数学の基礎、上級代数、三角法および解析幾何学の3つのセクションから構成されている。 各キャンパスは、特定のコースに入学するために適切なスコアを決定します。 このパンフレットの目的は、このテストを紹介し、その作成の根拠を説明し、いくつかのテスト項目のサンプルを提供することです。
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Background and Purpose of the Test
UW System Basic Skills Task Force Report が発表された後の 1978 年に、UW System 教育機関から数学科教授陣メンバーが Madison で集まり、初級カリキュラムについての共通の問題を議論しました。 ほとんどの学科が共有する問題の1つは、新入生を適切な数学コースに効果的に配置する方法であった。 配置の手順やテストはキャンパスによって異なり、ある程度の一貫性が望まれるようであった。 このタスクを開始する委員会は、参加することを選択したすべてのUWシステム数学科からの代表者で構成されることになった。 システム内の個々のカリキュラムを注意深く分析し、微積分に先立つすべてのコースのための前提条件の詳細な目標を書き、承認した後、委員会はそのテスト目標で特定されたスキルに関するテスト項目の開発を開始した。 地域の高校やUWキャンパスでの一連の試験実施を通じて、委員会は各項目がどのように機能するかについて貴重な情報を得た。 多くの項目は、数学的準備のレベルが異なる生徒を区別する能力を向上させるために、必要に応じて改良・修正され、再試験が行われた。 十分な数の質の高い項目が開発された後、それらは完全なテストに組み立てられた。 それ以来、UWの教育機関で教えられている内容に合わせて、数学プレースメントテストはさまざまな更新を行ってきた。 このテストが学生を適切にコースに配置できるかどうかは、テストの内容とUWの各キャンパスのカリキュラムとの適合性の良し悪しにかかっている。 このテストがUWシステム全体の数学入門コースのカリキュラムを反映するように、内容、点数、方針に関する決定は、14のUW教育機関から1名、ウィスコンシン州の高校の数学教師1名、ウィスコンシン工科大学システムから1名の代表者を含む数学プレースメントテスト開発委員会によって行われる。 この委員会は毎年2回招集され、テスト項目の作成と改訂を行い、テスト内容と大学のカリキュラムに関する問題を議論している。 大学課程への編入がこのテストの唯一の目的である。編入の手段として、このテストは補習が必要な学生を特定できるほど簡単でなければならず、また微積分の準備ができた学生を特定できるほど複雑でなければならない。 また、大学のさまざまなレベルの授業に参加できるよう、スコアは十分に正確でなければなりません。 さらに、毎年何千人もの学生に迅速に結果を報告する必要があるため、テストの採点は効率的でなければなりません。 これらの条件を満たすために、テスト開発委員会は多肢選択方式を選択しました。 数学の基礎（MFND）、上級代数（AALG）、三角法および解析幾何（TAG）の3つの異なる分野の能力を測定する項目があります。 それぞれの能力領域には、ウィスコンシン大学システム全体の大学数学カリキュラムに最も適合するように慎重に開発された、異なる詳細な目標が設定されています。 3つのスコアの組み合わせにより、新入生は適切な数学コースに編入されます。
毎年、数学プレースメント・テストの新しい形式が、テストの各要素のためのいくつかの新しい試験項目とともに発表され、UWシステム内のすべての新入生に実施されます。 すべての項目は、どの項目が最も数学の得意な学生、あるいは最も数学の不得意な学生を一般学生から効果的に区別するかを特定するために、統計的レビューに付される。 学生を区別するために最も有用な項目だけが、将来のテストに使用されることが検討されます。
教員は利害関係のない観察者とは言えないが、クラス分けテストに精通している者は、その質が非常に高いと感じている。 参加したUWの教育機関の教員の間では、このテストが学生を適切なコースに配置するのに非常に役立っているという感想が聞かれる。 数学プレイスメントテストの長所は、ウィスコンシン大学システム全体の教員によって開発されたことです。 したがって、このテストは、私たちのコースで成功するために必要な基礎的なスキルに関して、UW システムの視点を表しています。
Recent Developments
2013年10月、UWシステムはUWシステム全体のリメディアル教育ワークグループを結成し、UWシステム内のリメディアル教育（ここでは発達教育と呼ぶ）の方針、関連データ、および既存のプログラムを見直す役割を担わされた。 この作業部会の作業に基づいて下された決定のひとつは、UWシステム全体で発達数学への入学と退学を標準化しようという動きでした。 これを行う上での一つの課題は、UWシステムの教育機関が単一の数学カリキュラムを持っていないことです。 その代わりに、各キャンパスには独自のカリキュラムとコースがあり、それは他のUWキャンパスのコースとうまく対応しているかもしれませんし、そうでないかもしれません。 これは、発展レベルの数学にも言えることです。 したがって、発展レベルの数学コースからの入学を標準化する最初のステップは、入学する学生が数学で何を知り、何ができるようになるべきかというUWシステムの期待値を定義することであった。 UWシステム副学長は、UW Center for Placement TestingとMathematics Placement Test委員会にこの任務を課した。
数学プレースメントテスト委員会のサブグループは、UWシステムのどのキャンパスでも単位を取る数学コースに入るために学生が持つべき知識、スキル、能力（KSA）を決める作業を始めるために召集された。 KSAは、UWキャンパスでのカリキュラムとWisconsin Standards for Mathematicsの両方を評価することによって作成されました。 何度も修正し、さまざまな関係者からのフィードバックに対応した後、数学プレイスメントテスト委員会は2015年春の会合で、KSAのリストを単位を取る数学への入学基準として受け入れることを全会一致で決定した。 これらの基準は、テストの数学基礎セクションの内容目標となった（表1参照）。
2017年以前、数学のプレイスメントテストで報告されたスコアは、数学の基礎スキル、代数、三角法であった。 期待値のリストを導き出すと、結果として数学のプレイスメントテストの内容に変化が生じることがわかった。 具体的には、以前は代数学で測定されていた内容が、単位を取得できる数学のクラスに入るために必要な知識として認識され、この内容が新しい数学の基礎の尺度に移行されたのです。 現在の数学基礎尺度は、単位取得可能な数学への入学基準を測定するもので、旧数学基礎力尺度の目標と旧代数尺度の内容の一部で大部分が構成されています。 そのため、代数学は現在では上級代数学となっています。 三角法セクションは、内容と青写真の点では変わりませんが、「Trigonometry and Analytic Geometry」と名前を変更することにしました。
2017年の数学プレースメントテストの変更に伴い、すべてのUWキャンパスでは、数学基礎の共通のカットスコアを使用して、発達数学への入学/退学の判断を行うことも決定されました。 UWの全キャンパスで発展的教育への編入に同じ期待値を用いることになったため、数学の基礎のスコアに基づいて期待値を満たした学生が、どのキャンパスを選んでも単位取得可能な数学に編入できるように、共通のカットスコアを課す必要があります。 次のステップは、新入生に期待される知識、スキル、能力のリストを、プレイスメントテストの数学ファンダメンタルズ・スケールのカットスコアに変換することであった。 これは、標準設定として知られるプロセスを通じて行われました。
簡単に言えば、標準設定とはカットスコアを確立するプロセスです。 Cizek (1993)はさらに、標準設定を「2つ以上の状態またはパフォーマンスの程度を区別するための数値の割り当てをもたらす、規則または手順の所定の合理的なシステムに適切に従うこと」(100頁)と定義しています。 基準設定会議の目的は、数学プレイスメントテストの数学ファンダメンタルズ（MFND）スケールにおいて、学生が発展レベルの数学コースから抜けるために満たすべきカットスコアを決定することでした。 その目的は、必要なレベルの数学能力を持たない学生を発展レベルの数学から外す（偽陽性）、あるいは前提知識が十分な学生を発展レベルの数学に入れる（偽陰性）可能性を最小にするカットスコアを選択することにありました。
UWのすべての教育機関、ウィスコンシンのいくつかの高校、およびウィスコンシン専門学校システムからの代表者による2つの別々の基準設定パネルを実施した後、学生が単位取得可能な数学に入学するには、クラス分けテストの数学基礎セクションで470点以上取得しなければならないと決定されました。 しかし、各キャンパスでは、数学の基礎のセクションで470点以下の生徒のために、複数の進路や追加サポートを自由に決定することができます。
さらに、各UWの教育機関は、独自の数学コースシーケンスに最適なように、発達レベル以上のクラス分けのためのカットスコアを独自に決定する。 したがって、数学の基礎の470点以上と上級代数、三角法、解析幾何のセクションのカットスコアは、カリキュラムの違いや学生数の違いにより、キャンパスによって異なります。 また、多くのキャンパスでは、プレースメントテストは、ACT/SATのスコア、高校数学の単位、高校数学のコースの成績など、学生のプレースメントに用いられるいくつかの変数のひとつに過ぎません。
テストの一般的な特徴
- すべての項目は、すべての生徒によって完了する必要があります。 項目はおおよそ初級から上級の順に並んでいます。
- テストはすべて多肢選択問題で構成され、それぞれ5つの選択肢から選択します。 各項目は1つだけ許容される答えを持っています。 この正解数は、スコアレポートのために150から850の間で標準スコアに変換されます。
- 数学プレースメントテストは、スピードではなく、スキルのテストとして設計されています。 ほとんどの学生がすべての質問に答えることができるよう、十分な時間が与えられています。 4072>
- The math fundamentals component has a reliability of .89. 上級代数コンポーネントの信頼性は0.88です。 三角法および解析幾何学のコンポーネントは0.85の信頼性を持っています。
Test Description
数学テスト開発委員会は、数学の基礎、上級代数、三角法という3つの大分類の項目を決定した。 数学プレイスメントテスト全体は、ほとんどの学生がテストを完了するのに十分な時間である90分で終了するように設計されています。
3つのコンポーネントのそれぞれの項目は、慎重に作成された詳細な目標セットに適合するように選択されています。 各コンポーネントから選択された項目の割合は、以下の表1に示すとおりである。
表1
数学基礎スコア（30項目）
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目的 |
比率 of Scale |
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ARITHMETIC |
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| 1. 整数演算 2. 有理数と小数の算術 3.代数的スキルの導入 |
5.0 |
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algebra |
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| 1. 代数式の簡略化 2. 代数式の因数分解 3. 一次方程式と二次方程式 4. 一次等式 5. 有理およびラジカル方程式の解法入門 6. 関数 7. 文字型方程式の解法 |
10.0 |
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geometry |
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| 1. 平面幾何学 2. 三次元幾何学 3. 幾何学的関係 |
10.0 |
上級代数スコア（25項目）
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目的 |
Percentage of Scale |
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ALGEBRA |
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| 1.邦題：邦題：邦題：邦題：邦題：邦題：邦題：邦題：邦題：邦題：邦題：邦題：邦題：邦題：邦題：邦題：邦題：邦題：邦題：邦題：邦題：邦題：邦題：邦題：… 非一次方程式のグラフ 2.式の簡略化 3.四次関数 |
3.0 |
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geometry |
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3.0 |
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advanced algebra |
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| 1.円周率、円周率、円周率、円周率、円周率、円周率、円周率、円周率。 1.指数と分数 2.絶対値と不等式 3.関数 4.指数と対数 5.漸化式 6.漸化式 7.漸化式 8.漸化式 9. 複素数と方程式の理論 6. 応用 |
8.0 |
三角・解析幾何スコア（20項目）
| 目標 |
目盛りの割合 |
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TRIGONOMETRY |
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| 1. 三角測量の基本的な定義 2.恒等式 3.三角形 4.グラフ |
30.0 |
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geometry |
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| 1. 円 2.三角形 3.平行線・垂直線 |
15.0 |
注意：以下のサンプル項目はスキャン画像であり、テスト冊子に印刷されているときのような鮮明さはありません。
Sample Items from the Math Fundamentals Component
Sample Items from the Math Fundamentals Component
サンプルアイテム（三角法と分析幾何学コンポーネント）
大学数学学習のための高校準備についての追加声明
CALCULUS
UW System数学試験委員会の最初の目的と哲学の声明以降、何らかのバージョンの微積分を提供する高校の数は顕著に増加しました。 また、これらのコースの経験により、委員会の当初の見解が妥当であったことが示された。 この見解は、高校の微積分プログラムは、生徒とプログラムの性質によって、生徒に有利に働くことも不利に働くこともあり得るというものであった。 今日、まず否定的な可能性について言及する必要があると思われる。
大学の微積分単位を生み出すように設計されていない高校の微積分プログラムは、
数学的に大学に進学する生徒を不利にする可能性がある。 これは、大学のプログラムで数学のスキルを使用するすべての生徒に当てはまりますが、特に大学のプログラムで微積分を使用する生徒には当てはまります。 この種の高校のプログラムは、微積分レベルでは軽視されるか表面的な準備に関連する傾向があり、その生徒は数学コースだけでなく数学を使用する他のコースでも妨げとなる代数の欠乏を抱える傾向がある
良い面は、成功した生徒に大学
微積分の単位を与えるよく考えられた高校の微積分のコースが、大学に進学する生徒に数学的有利さを提供するということである。 アメリカ数学協会の研究では、成功した高校の微積分プログラムの特徴を以下のように特定しています：
- そのプログラムは、標準的な4年間の大学準備課程を終了した、関心のある生徒だけに開かれています。 4072>
- 教科書、シラバス、深さ、厳密さにおいて大学レベルで教えられる通年コースである。
- 講師は、成功した卒業生が大学でコースを繰り返さず、大学の単位を取得することを期待しています。
高校の微積分コースの卒業生が一つまたは別の大学で単位を取得できるように、さまざまな特別な取り決めが存在します。 一般に受け入れられている方法は、生徒がカレッジボードのアドバンスト・プレースメント・テストを受けることである。 この試験での生徒の成功率は、高校の微積分コースの成功を評価するための良いツールとなる。
GEOMETRY
この文書にある目標の範囲は、従来の高校の幾何学コースの目標のごく一部である。 代数の目標は、伝統的な高校の代数コースの目標のかなりの部分を表しています。 試験科目の不均衡は、ほとんどの大学で履修可能な初級数学コースの性質によって部分的に説明することができる。 大学の最初の数学コースは、一般的に微積分またはあるレベルの代数のいずれかになります。 選択は通常、3つの要素に基づいて行われます。 (1）高校時代の経歴、（2）プレイスメントテストの結果、（3）カリキュラムの目標。 この文書とテストで代数を強調する理由の一つは、事実上すべての大学のクラス分けの決定には、幾何学的性質よりも代数学的性質のコースへの編入が含まれるからである。 大学レベルでは幾何学の初級コースがないため、高校生のうちに幾何学の目標を習得しておくことが不可欠である。 高校での幾何学は、大学で成功するために重要な数学的成熟のレベルに寄与する。
LOGIC
生徒は、記号的論理を行う能力よりも、数学的文脈の中で論理を使用する能力を持つことが望ましい。 特に重要な論理学の要素としては、
- 接続詞「と」「または」の使用と、結果文の「否定」、および集合操作「交差」「結合」「補完」との関連性を認識することが挙げられる。”if P then Q “の形の条件文の解釈。逆接と逆接の認識を含む。
- 一般的な文は、特定の例をチェックしても（ドメインが有限でない限り）確立できないが、一般文は単一の反例を見つけることによって反証できることを認識すること。 これは、学生が一般的な文の特定のインスタンスを試して、その真理値について推測することを妨げるべきではありません。
さらに、方法としての論理的思考または論理的推論は、カリキュラム全体に浸透している必要があります。 この意味で、論理は単一のトピックに限定されたり、証明ベースのコースでのみ強調されたりすることはありえない。 論理的な推論は、すべてのトピックの文脈で明示的に教えられ、実践されるべきなのである。 このことから、学生は、忘れた公式は基本原理から推論することで回復できること、また、なじみのない問題や複雑な問題も同様の方法で解決できることを学ぶべきである。
目標のうち論理に明示的に言及しているのは2つだけだが、カリキュラム目標としての論理思考の重要性が低下することはない。 この目標は、他の広範な目標と同様に、プレースメントテストで容易に測定できないという事実にもかかわらず、追求されるべきである。 理想的には、問題解決スキルの完全なセットは、目的のリストに表示されます。 しかし、このリストには問題解決に関する目標がわずかしか含まれていないため、高校のカリキュラムにおける問題解決の重要性が損なわれたわけではありません。
MATHEMATICS ACROSS THE CURRICULUM
数学は、読み、書き、話すことと同様に重要な基本的スキルである。 もし基礎技能が重要であるとみなされ、生徒によって習得されるのであれば、カリキュラム全体を通して奨励され強化されなければならない。
– 数学に対する前向きな姿勢
– 正しい推論と論理の原則への注意
– 数量的スキルの使用
– 数学カリキュラムの応用COMPUTERS IN THE CURRICULUM
日常生活におけるコンピューターの影響は明らかで、そのため多くの高校でコンピュータースキルを扱うコースを設置してきた。 コンピュータスキルの学習は重要であるが、コンピュータコースは数学コースの代わりと解釈すべきではない。
CALCULATORS
大学の数学コースでは電卓が役に立つか必要な場合さえある（たとえば、三角関数の値を求めるとき）ので、学生は数学を学んでいるレベルに合った電卓（最初は4関数電卓、プレカルキュラスの科学電卓）を使用できるはずである。 電卓が使えるようになるより説得力のある理由は、数学の応用を含む他のコースで必要になるからである。
一方、学生は数学的な説明についていけるように、基本的な計算を、計算であれ記憶であれ、頭の中からすばやく出せるようになる必要がある。 また、従来の算術演算の優先順位を知り、グループ化された記号を頭の中で処理できるようにする必要がある。 例えば、(-3)2は9、-32は-9、(-3)3は-27と、電卓のボタンを押さなくても分かるようにする。 さらに、学生は電卓で得られた結果がおおよそ正しいかどうかを確認するのに十分な暗算ができなければならない。
1991年の春から、UW数学プレースメントテストでは科学計算機の使用が許可されている。 このテストは、電卓の使用、不使用による成績への影響を最小限にするために、科学計算機の使用に対応できるように設計し直されました。
科学計算用電卓（グラフ式でないもの）の使用は任意です。 各生徒は自分のこれまでの授業経験と一致する方法で電卓を使うか使わないかを決めるようにアドバイスされます。
UW全体の数学カリキュラムと教員は、教室でのグラフ電卓の使用を許可するかどうかで意見が分かれています。 大学レベルのコースでグラフ電卓が許可されていないものはまだたくさんあります。 したがって、プレースメントテストは、グラフ電卓の使用に対応するように改訂されていない。
PROBABILITY AND STATISTICS
大学のカリキュラムは、多くの基本的な問題や哲学が検討され、多少流動的ではあるが、数学における通常の入門レベルのコースは、従来の代数と微積分のコースであり続けている。 したがって、プレイスメントテストは、これらのコースで成功するために必要なスキルを反映したものでなければなりません。 これは、代数と幾何以外のトピックを強調するコースが高校の数学カリキュラムに不可欠ではないことを意味するものではなく、むしろそれらのトピックは、学生を従来の大学入門レベルのコースに配置するのに役立たないことを意図している。
確率と統計は、今日の若者の数学教育において価値のあるトピックだが、クラス分けテストには反映されていない。 これらのトピックが初等・中等教育課程にとって重要であることは、当委員会の実感である。 大学のキャンパスにおいても、数学科はもちろんのこと、通常、定量的であると考えられていない学科においても、重要性を増してきている。 社会科学は適用する数学的モデルを求めており、一般にこれらのモデルは確率的あるいは統計的なものになる傾向があります。 その結果、これらの分野のカリキュラムには確率や統計が大きく浸透しつつある。
数学科では、卒業生の多くがコンピューター科学や統計学を利用する仕事に就いていることが分かっている。 その結果、数学科のカリキュラムにこれらの傾向が反映されはじめています。
How Teacher Can Help Students Prepare for the Test
Placement Testのために学生の準備をする最良の方法は、しっかりとした数学カリキュラムを提供し、大学準備のための数学を4年間履修するよう学生に奨励することである。 練習や補助教材を使ってこのテストのために特別に準備した学生は、人為的に高い得点を取ることがわかったので、特別なテスト対策は勧めない。 そのような学生は、しばしば、その背景が必要とするよりも高いレベルのコースに配置され、その結果、これらの学生は、失敗するか、コースをドロップすることを余儀なくされる。 また、多くのキャンパスでは、入学者数が少ないため、学期が始まってから、より適切なコースに編入することができません。
学生のレベル分けの重要な要因は、高校で履修した科目と、高学年で数学を履修したかどうかです。 データによると、高校で大学進学準備のための数学を4年間履修すると、入学時の数学コースが上がるだけでなく、大学を4年間で卒業できるなど、他の分野での成功も予測できることが分かっています。 平均して、高校で4年間数学を履修した生徒は、高校で4年間数学を履修していない生徒よりも、数学のプレイスメントテストの3つの部分すべてで有意に高い得点を得ています。 教師は、生徒が十分に休息をとり、試験中もできるだけリラックスして過ごせるよう、遠慮なく励ましてください。 私たちは、このテストが楽しく、かつ困難なものであることを意図しています。 このテストは、数学的準備のさまざまなレベルの生徒を測定するために設計されていることを忘れないでください。 推測にペナルティはなく、知的な推測は学生がより高いスコアを達成するのに役立つ可能性が高い。
UW System Mathematics Placement Testsが開発されたとき、それらは厳密に学生の最も適切な配置を支援するツールとして使用するように書かれていた。 このテストは学生を比較したり、高校を評価したり、カリキュラムを指示したりするために作られたものではありません。 このテストをどのように使って学生を配置するかは、各教育機関が決定することです。
各キャンパスはカリキュラムを分析・修正し続け、その結果、プレースメントテストを使用して学生を配置する方法を変更し続けるでしょう。 カットオフ・スコアは、キャンパスのカリキュラムの前提条件を反映するために、時とともに変更される必要があるかもしれない。 また、クラス分けの効果を確認するための追跡調査も重要である。 高校とUWシステムのカリキュラムの変更について話し合うことができるように、高校との連絡を維持しなければならない。 UW System Mathematics Placement Test Committee のメンバーは、エントリーレベルのコースを定期的に教えている教員であるため、これらのコースの進化や新しいコースの創設に直接影響を与えることができるのです。 このように、全国規模のテストでは数年のタイムラグがあるのに対し、UW System Mathematics Placement Testsはカリキュラムに合わせて即座に変化することが可能です。 例えば、1991年に実施されたUW System Mathematics Placement Testsでは、電卓が使用されるようになりました。 1991年以前は、このテストでは電卓の使用は認められていませんでした。 しかし、高校と大学の教師の両方が電卓の使用に十分な関心を示したため、生徒が希望すれば電卓の使用を認めるようにテストが修正された。
このテストの内容は継続的に見直し、分析し、それが最新で UW システム周辺の数学入門コースのカリキュラムと有意に関連していることを確認する予定である。 また、現在作成中の問題集に新しい問題を継続的に追加していく予定です。 実際の試験条件下で各問題がどのように機能するかというデータは、うまく機能しなくなった問題を置き換えるために使用されており、今後も使用し続ける予定です。