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Chapter 4 : Multiple Integrals

Calculus Iでは、微分の議論を終えた後、積分の話題に移りました。 この講座でも同様です。 1変数以上の関数の導関数の議論を終えたので、2変数または3変数の関数の積分に移る必要があります。

ほとんどの導関数のトピックは、微積分学Iの対応するものから多少自然に拡張され、それはここでも同じでしょう。 しかし，今は2変数または3変数の関数を扱っているので，いくつかの相違点があります． 新しい表記法や1変数の関数を扱うときには生じないような新しい問題も出てきます．

以下は、この章で扱うトピックのリストです。

二重積分 – このセクションでは、二重積分を正式に定義し、二重積分の簡単な解釈を行います。

反復積分 – このセクションでは、フビニの定理を使用して、積分領域が矩形である場合の二重積分を評価する方法を示します。 関数の2重積分は、関数で与えられた表面と \(xy)- 平面との間の立体の正味体積と解釈できることを説明します。

Double Integrals in Polar Coordinates – Cartesian座標の積分（ \(dAxx) も含む）をPolar座標に変換することを見ていきます。

三重積分 – このセクションでは、三重積分を定義します。 また、積分の3次元領域から積分の極限を設定する例をかなり多く紹介します。

円柱座標の3重積分 – このセクションでは、デカルト座標の積分（ \(dVppermint) を含む）を円柱座標に変換することについて見ていきます。

Triple Integrals in Spherical Coordinates – このセクションでは、デカルト座標の積分（ \(dV\)を含む）を球座標に変換することを見ていきます。 また、これらの領域の元のデカルト極限を球座標に変換します。

Change of Variables – これまでのセクションでは、デカルト座標をポーラー座標、円柱座標、球座標に変換してきました。 このセクションでは、この考えを一般化し、デカルト座標の積分を別の座標系に変換する方法について説明します。 Spherical座標に変換する際の \(dV) 変換式の導出も含まれる。

Surface Area – このセクションでは、2次元空間のある領域上にある表面の部分の表面積を決定するために、どのように2重積分が使用できるかを示す。

Area and Volume Revisited – このセクションでは、本章で出てくるさまざまな面積と体積の公式を要約している。