MCDM または MCDA は、複数基準意思決定および複数基準意思決定分析のよく知られた頭字語です。スタンレー ジオンツは、起業家の読者を対象にした 1979 年の記事「MCDM – ローマ数字ではない場合は？ その目的は、そのような問題に直面している意思決定者を支援することである。 一般的に、このような問題には一意的な最適解は存在せず、意思決定者の選好を利用して解を区別する必要がある。 それは利用可能な選択肢のセットから「最良の」選択肢を選択することに対応することができる（ここで「最良の」は意思決定者の「最も好ましい選択肢」と解釈することができる）。 解決」のもう一つの解釈は、良い選択肢の小さな集合を選ぶこと、あるいは選択肢を異なる選好セットにグループ化することである。 極端な解釈としては、すべての「効率的」または「非支配的」な選択肢（これはまもなく定義する）を見つけることである。

問題の難しさは、複数の基準が存在することに起因する。 MCDM問題には、もはや、選好情報を取り込まずに得られる一意的な最適解は存在しない。 最適解の概念は、しばしば非指名解の集合に置き換えられる。 ある解が、他の基準を犠牲にすることなく、どの基準においても改善することができない場合、その解は非主流解と呼ばれる。 したがって，意思決定者が非選択解の集合から解を選択することは理にかなっている． そうでなければ，いくつかの基準あるいはすべての基準においてより良い結果を得ることができ，どの基準においても悪い結果を得ることができない． しかし、一般に、非指名解の集合は大きすぎて、最終的な選択のために意思決定者に提示することはできない。 そこで、意思決定者が好ましい解決策（または代替案）に焦点を当てることを支援するツールが必要となる。 通常、人はある基準と他の基準を「トレードオフ」しなければならない。

MCDM は1970年代から活発に研究されている分野である。 国際多基準意思決定学会、Euro Working Group on MCDA、INFORMS Section on MCDMなど、MCDM関連の組織がいくつか存在する。 歴史については以下を参照。 Köksalan, Wallenius and Zionts (2011)を参照。MCDMは、以下のような多くの分野の知識を利用している。

• 数学
• 意思決定分析
• 経済学
• コンピュータ技術
• ソフトウェア工学
• 情報システム

タイプ論編集

MCDM問題や方法について異なるクラス分類が存在する。 MCDM問題の大きな違いは、解が明示的に定義されているか暗黙的に定義されているかで決まる。

• 多基準評価問題。 これらの問題は有限個の選択肢からなり、解答プロセスの始めに明示的に知られている。 各代替案は複数の基準における性能によって表現される。 この問題は、意思決定者（DM）にとって最良の選択肢を見つけること、あるいは、良い選択肢の集合を見つけることと定義できる。 また、代替案の「選別」または「分類」に関心がある場合もある。 並べ替えとは、選択肢を優先順位をつけたクラスの集合に入れること（例えば、国に信用格付けをつけること）であり、分類とは、選択肢を非順序集合に割り当てること（例えば、症状に基づいて患者を診断すること）である。 このカテゴリーのMCDM手法のいくつかは、Triantaphyllouによるこのテーマに関する書籍、2000で比較的に研究されている。
• 多基準設計問題（多目的数理計画問題）。 これらの問題では、選択肢は明示的に知られていない。 数学的モデルを解くことにより、代替案（解）を求めることができる。 選択肢の数は無限（数えられるか数えられないか）か有限であるが、典型的には指数関数的に大きい（有限領域にわたる変数の数で）

評価問題であれ設計問題であれ、解を区別するためにDMの選好情報が必要である。 MCDM問題の解法は、DMから選好情報を得るタイミングによって一般に分類される。

DMの選好情報をプロセスの開始時に要求し、問題を本質的に単一基準問題に変換する方法がある。 これらの方法は「事前の選好の明確化」によって動作すると言われている。 価値関数の推定や「順位関係」の概念を用いた手法、分析階層プロセス、決定規則ベースの手法などは、事前の嗜好の明示を利用して多基準評価問題を解決しようとするものである。 同様に，事前の嗜好の明確化を利用して，価値関数を構築し，多基準設計問題を解決する手法も開発されている． これらの手法の中で最もよく知られているのはゴールプログラミングであろう。 価値関数が構築されると、結果として得られる単一の目的数学的プログラムは、好ましい解を得るために解かれる。

いくつかの方法は、解決プロセスを通してDMからの嗜好情報を必要とする。 これらは対話的手法または「漸進的な好みの明示」を必要とする手法と呼ばれる。 これらの方法は、複数基準評価（例えば、Geoffrion, Dyer and Feinberg, 1972、およびKöksalan and Sagala, 1995参照）および設計問題（Steuer, 1986参照）の両方についてよく開発されてきた。 これらの問題では、「効率的な解」の表現または近似もまた興味あるものであろう。 このカテゴリーは、”posterior articulation of preferences” と呼ばれ、DM の関与が「興味深い」解決策の明示的な啓示より後に始まることを意味する（例えば、Karasakal and Köksalan, 2009 を参照）。 多目的組合せ最適化（MOCO）は、実質的な計算の難しさをもたらすそのような問題の特別なカテゴリを構成する（レビューについてはEhrgott and Gandibleux, 2002を参照）。 また、異なる基準を重み付き線形関数で結合すれば、重み空間で問題を表現することも可能である。 以下は、基準空間と重み空間のデモンストレーションと、いくつかの正式な定義である。

基準空間表現編集

ある特定の問題状況において、いくつかの基準を使って解を評価すると仮定しよう。 さらに、各基準において、より多い方が良いと仮定してみよう。 そうすると、すべての可能な解の中で、理想的には、考慮されたすべての基準で良好なパフォーマンスを示す解に興味があります。 しかし、すべての基準で良好な結果を出す解が1つもないということはありえない。 一般に、ある解はある基準で、ある解は他の基準で良好な性能を発揮する。 5704>

数学的には、上記の議論に対応するMCDM問題は、

“max” q subject to q∈Q

ここで、qはk個の基準関数（目的関数）のベクトル、Qは実行可能集合、Q⊆Rkと表すことができる。

Qが（選択肢の集合によって）明示的に定義されている場合、結果として得られる問題は多基準評価問題と呼ばれる。

Qが（制約の集合によって）暗示的に定義されている場合、結果として得られる問題は多基準設計問題と呼ばれる。

引用符は、あるベクトルの最大化が十分に定義された数学演算でないことを示すために使用されています。 これは、すべての基準で良好なパフォーマンスを発揮するソリューションが存在しない場合、基準間のトレードオフを解決する方法（通常は意思決定者の好みに基づく）を見つけなければならないという議論に対応する。

Decision Space representationEdit

決定空間は、私たちに利用可能な意思決定の集合に対応している。 基準値は我々が行う決定の結果となる。 したがって、意思決定空間において対応する問題を定義することができる。

数学的には、複数基準設計問題は、次のように決定空間で表現することができる。 {displaystyle {begin{aligned}}max q&=f(x)=f(x_{1},\ldots ,x_{n})╱Q&=f(x):x in X,\,Xsubseteq ╱mathbb {R} ^{n} {end{aligned}}

ここでXは実行可能集合、xはサイズnの決定変数ベクトルである。

Xが線形不等式と等式で定義される多面体である場合、よく発達した特殊なケースが得られる。 すべての目的関数が決定変数に関して線形である場合、この変形はMCDM問題の重要なサブクラスである多重目的線形計画法（MOLP）につながる。

MCDMで中心となっているいくつかの定義がある。 密接に関連する2つの定義は、非優位性（基準空間表現に基づいて定義）と効率性（決定変数表現に基づいて定義）である。

定義1． q*∈Qは、q≧q*およびq≠q*のような別のq∈Qが存在しない場合、nondominatedである。

大まかに言えば、解は、それがすべての考慮された基準で他の利用可能な解より劣っていない限り、nondominatedである。

定義2.x*∈Xは、f(x) ≧ f(x*) かつ f(x*) となるような他のx∈Xが存在しないなら効率的である。

MCDM問題が決定状況をよく表しているなら、DMの最も好ましい解は決定空間において効率的な解でなければならず、そのイメージは基準空間におけるnondominated pointとなる。 また、以下の定義も重要である。

定義3.q*∈Qは、q> q*のような他のq∈Qが存在しない場合、弱非正規である。

定義4.非正規である。 x*∈Xは、f(x) > f(x*)のような別のx∈Xが存在しない場合、弱有効である。

弱非対称点にはすべての非対称点といくつかの特別な支配点が含まれる。 これらの特殊な支配点が重要なのは、それらが実際によく現れ、非支配点と区別するために特別な注意が必要であることに由来する。 例えば、単一の目的を最大化する場合、弱く非対称な点が支配されることになるかもしれない。 weakly nondominated集合の支配点は基準空間の垂直または水平面（超平面）上に位置する。

理想点 (基準空間において）各目的関数の最高（最大化問題では最大、最小化問題では最小）を表し、通常、実行不可能な解に対応する。 (基準空間において)非制限集合の点のうち、各目的関数の最悪(最大化問題では最小、最小化問題では最大)を表し、典型的には支配点である。

理想点と直下点は、解の範囲の「感触」を得るためにDMに役立つ(とはいえ、2以上の基準を持つ設計問題では直下点を見つけることは簡単でない)。

決定および基準空間の図解編集

決定変数空間における次の2変数MOLP問題は、重要な概念のいくつかを図解的に示すのに役立つ。 決定空間のデモ max f 1 ( x ) = – x 1 + 2 x 2 max f 2 ( x ) = 2 x 1 – x 2 subject to x 1 ≤ 4 x 2 ≤ 4 x 1 + x 2 ≤ 7 – x 1 + x 2 ≤ 3 x 1 – x 2 ≤ 3 x 1 , x 2 ≥ 0 {displaystyle { begin{aligned}max f_{1}(\mathbf {x} )&=-x_{1}+2x_{2} {max f_{2}(\mathbf {x} )&=2x_{1}- {displaystyle { denims {dex{1})}}}} {benex{1}{1}{1}{2}} {displaystyle {dex{1}{2x_{2}&Cleq 4x_{1}+x_{2}&Cleq 4x_{1}+x_{2}&Cleq 7x_{2}&\geq 0\end{aligned}}}

図1において、極点eとbはそれぞれ第1目的と第2目的を最大化する。 この2つの極点の間の赤い境界が効率的な集合を表している。 図から、効率的集合の外にある実行可能解に対して、効率的集合上のいくつかの点によって両目的を改善することが可能であることがわかる。 逆に、効率的集合上の任意の点では、他の実現可能解に移動しても両目的を改善することは不可能である。 これらの解では、もう一方の目的を改善するために、どちらかの目的を犠牲にしなければならない。

その単純さゆえに、上記の問題はxをfに置き換えることにより、基準空間で次のように表現することができる。 基準空間における解の実証 Max f1 Max f2 subject to f1 + 2f2 ≦ 12 2f1 + f2 ≦ 7 f1 – f2 ≦ 9 -f1 + f2 ≦ 9 f1 + 2f2 ≧ 0 2f1 + f2 ≧ 0

基準空間を図式的に示すと図2の通りである。 基準空間では非主要点（決定空間における効率的な解に相当）を検出することが容易である。 実行可能空間の北東領域が非指名点の集合を構成する（最大化問題の場合）

非指名解の生成編集

非指名解を生成するにはいくつかの方法がある。 ここではそのうちの2つについて説明します。 最初のアプローチは非指名解の特別なクラスを生成することができ、2番目のアプローチは任意の非指名解を生成することができます。

• Weighted sums (Gass & Saaty, 1955)

各基準に正の重みをかけて複数の基準を一つの基準にまとめ、重み付き基準を合計すると、得られた単一基準問題の解は特別効率解になる。 この特別効率的な解は、利用可能な解の集合の角の位置に現れる。 コーナーポイントにない効率的な解は特別な性質を持っており、この方法ではそのような点を見つけることはできない。 数学的には、この状況を

max wT.q = wT.f(x), w> 0 subject to x∈X

重みを変えることにより、重み付き和は、設計問題では効率の良い極点解、評価問題では支持点（凸非主物）の生成に用いることができる。

• 達成スカラー化関数（Wierzbicki, 1980）