工学ビーム理論とは

力を受ける構造要素または部材で、部材の長手方向軸に沿って結合される。 この部材は通常、1つまたは複数の支持体の間にまたがっており、その設計は一般に曲げモーメントに支配されています。

Euler-Bernoulli Beam Theory

オイラー・ベルヌーイ方程式は、加えられた荷重とその結果として生じる梁のたわみの関係を記述し、数学的に次のように示されます。

ここでwはyと同じ方向に作用する分布荷重または単位長あたりの力、ある位置xでの梁のたわみΔ(x)である。 Eは対象となる材料の弾性係数、Iは断面の重心を通り、加わる荷重に直交する軸に関して計算される面積の2次モーメントである。 EIや曲げ剛性が梁に沿って変化しない場合、式は次のように単純化される。

与えられた荷重によるたわみが決まれば、次の式を使って梁の応力を計算することが可能である。

梁の曲げモーメント：

梁のせん断力。

Support connections and reactions

梁を扱うときによく出会う4種類の接続があり、それぞれが支持体が耐えられる荷重の種類と、対象となる部材だけでなく部材を構成するシステム全体の耐荷力を決定しているのだそうです。

ローラーサポート：ローラーが載っている表面に沿って自由に回転および並進することができ、その結果、横方向の力に抵抗することができない。 このような支持は、表面に対して垂直で、表面から離れる方向に働く特異な反力を受ける。

ピン支持：部材またはビームを回転させることができるが（1方向のみの場合もある）、どの方向にも並進できない。つまり、垂直力と水平力の両方に抵抗できるが、曲げモーメントには抵抗できない。

固定サポート：回転と並進の両方を抑制し、垂直方向と水平方向の力と曲げモーメントに抵抗する。

単純サポート：支える表面に沿ってすべての方向に自由に回転・並進できるが、表面に対して垂直方向と離れる方向にはできない。

Types of Beams

Simply support beam: 各端で自由に支持された部材は、端のベアリングポイントで自由に回転し、曲げモーメントに抵抗がない点ではローラーサポートと異なる。

固定梁：部材の両端で拘束され、端点は垂直・水平方向の回転や移動が制限される。

片持ち梁：一端のみが固定され、他端は垂直・水平方向に自由に回転・移動できる部材である。

オーバーハング：片端または両端でサポートからはみ出した単純な梁。

連続：2つ以上のサポートからはみ出した梁。

Accuracy of engineer’s beam theory

仮定があるので、一般的な経験則では、ほとんどの構成で、曲げ応力と横せん断応力の式は長さと高さの比が4以上の梁で約3％以内の精度とされています。 また、梁を構成する材料の種類、梁の変形方法、断面積を含む梁の形状、内部の平衡状態を理解し、考慮することが重要である。

Assumptions and limitations

• 梁の断面はその長さに比べて小さいと考えられ、梁は長くて薄いことを意味します。
• 荷重は縦軸に対して横方向に働き、ねじれやねじれを排除してシアセンターを通過することになります。
• 梁の自重は無視されていますが、実際には考慮する必要があります。
• 梁の材料は均質で等方性で、圧縮、引張ともに全方向で一定のヤング率を持っています。
• セントロイド面または中立面はゼロ軸応力にさらされていて、長さが変わることはないのです。
• ひずみに対する応答は、曲げ方向の一次元応力である。
• たわみは、梁の全長に比べて非常に小さいと仮定する。
• 断面は曲げ中も平面で縦軸に直角なままである。
• 梁は最初は直線で、梁のたわみは円弧を描き、曲率半径は断面の寸法に比べて大きいままと見なされる。

Curved Beams and Arches

曲がった梁の設計は、断面の寸法が曲率半径に比べて小さい場合は、まっすぐな梁と同じですが、曲がった梁とアーチの主な違いは、アーチでは軸力が重要になる点まで曲率が大きくなっている点です。

曲げモーメントについての注意

構造工学では、正のモーメントは部材の引張側に描かれ、梁やフレームをより簡単に扱えるようになっています。 モーメントは、荷重がかかったときに部材が理論的に曲がる方向と同じ方向に描かれるため、何が起こっているかを視覚的に理解しやすくなります。 StructX では、曲げモーメントの描画にこの方法を採用しています。

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