の式が得られ、そこから与えられた最短「臨界」長lB ≡ lcに対して、lcに対応する最大磁場Bcは原則的に推定可能である。 例えば、lc = 2πħ/mc を電子コンプトン長 λ = 2πħ/mc に等しくすると、臨界パルサー（中性子星）磁場強度 Bq ≡ Bns ≒ 3 × 109 T = 3 × 1013 Gauss となる。 アハロノフとボームの理論の約20年後、ランダウの理論の半世紀後に、HerX1パルサーから検出された基本的な（ν=1）電子サイクロトロン調和X線線の観測から、実際にほぼこの強度が推測されたことは非常に興味深いと言える。 相対論的効果を考慮した量子電気力学的限界磁場強度をより正確に理論的に決定する必要があることを提起している。 また、他の基本的な長さスケールを参照することで、もしそのような磁場だけが何らかの手段で生成できるならば、つまり、例えば量子色力学のように、十分な強さの電流が異なる条件の下で流れるならば、磁場に対する他の主要な限界を提供できるのではないかという疑問も生じる。

非常に形式的に、相対論効果を含める以外は、式（4）は任意の基本長さスケールlcに依存する限界磁場のモデル方程式を提供する。 この単純化された仮定の下で、臨界磁場Bcは対応する基本長の逆二乗で単純にスケールする。 形式的には、これは高エネルギーでのアハラノフ-ボーム・スケーリングの有効性の仮定の下で、図1にグラフで示されている

Figure 1. 最大可能磁場強度Bcを（架空の）プランク磁場BPlに規格化して、式（3）に基づく基本長さスケールの関数としてLog-Logプロットスケーリングしたもの。 横軸の長さスケール l はプランク長 lPl で規格化されている。 赤の点線はコンプトン長とアハラノフ・ボーム臨界磁場線との交点を示しており、いわゆる量子限界磁場Bq ≈ 109 Tで、最強サイクロトロン線の観測と一致する磁化中性子星（パルサー）の臨界磁場であることが示されている。 横線は、Aharonov-Bohmスケーリングが有効であると仮定した場合の、他の長さスケールと臨界磁場の関係を示している。 宇宙磁場は1mm程度のスケールに対応する。 最も強いマグネター磁場は、最低ランダウ準位エネルギーELLLの相対論的1次補正に対応する（右のグラフで、α = α/2π は還元型微細構造定数として示されている）。 高次の補正を入れると、これまで観測されていない相対論的領域でBqed ~ 1028 Tまでの磁場が観測されるようになる。 この限界は、電子半径の絶対値上限（垂直青破線）とほぼ一致しているのは興味深い。 GUTスケールでは、アハロノフ・ボーム・スケーリングによると、理論的には1045Tまで到達することができる。

ここから、最低ランダウ準位のエネルギーはB～1028T（～1032ガウス）のオーダーの磁場でだけ倍増し、中性子星やマグネターの表面磁場よりもずっと高いことがわかります。 そのため磁場崩壊を引き起こす相対論的自己エネルギー補正は、磁場強度の究極の限界である可能性のあるこれらのエネルギーにおいてのみ作用する。

この限界は、電子半径の上限に関する最近の実験的決定のうち最もよいものとほぼ一致することは注目に値する。 このスケール以下では、主に磁場強度のさらなる増加や磁場の存在さえも抑制するような、さらなる効果が入るはずである。 したがって、このスケールまでは、図1の根拠となるAharonov-Bohmスケーリングが全く正当化されないわけではないようだ。 このことは、電気的に弱い相互作用と強い相互作用の両方のスケールが、電子がこれらのスケールを通してその性質を維持しているため、単に許容範囲内にある、という観点からも非常に興味深い。 それぞれ、砂漠のようなエネルギーのスケールだけが除外されているのです。 特に、大統一や量子重力のGUT領域は、宇宙のごく初期にしか存在しない領域である。

議論と結論

磁気単極子が宇宙に存在し生き残ったことがない限り、磁場は電流の発生によっていつの間にか生み出されていたはずである。 宇宙初期に発生した磁場はその後希釈され、他で論じたように今日の低い大規模な値になっている。 当初は強かったかもしれないが、その場合はその強さも制限される。 しかし、ダイナモや他の古典的・色力学的理論から推定される妥当な強さは、おそらく上記の量子電気力学的限界のいずれにも到達しない。 おそらく、色力学的な制限を追加で求める必要はないのだろう。 この主張は、大規模な磁場生成の基礎となる電流生成において、電子が果たす役割に基づいていると思われる。 電子とそのスピンは、固体物質における磁性にも関与している。 電子はまだ構造を持っていないと考えられている。 いずれにせよ、電子の「内側」、つまり架空の電子半径re以下のスケールでは、電流は意味を失うか、まったく存在しなくなるはずで、したがって、磁場という概念もあまり意味をなさなくなるだろう。 したがって、量子電気力学的上限が現実的な磁場の強さに対する絶対的な境界を設定すると考えることができる。

図 1 のアハラノフ-ボーム スケーリングを宇宙の磁場に適用すると、量子電気力学的スケールで磁場の強さに対する絶対的な限界が予想できることについて妥当な考えが得られるようである。 明らかに、真空は短いスケールと高いエネルギーで性格が変わる。光子は電弱ボソンに切り替わって重くなり、物質ではクォークが活躍するようになるからである。 電子は、少なくとも電子半径の上限である re ~ 10-22 m までは同じである。 このことは、臨界磁場式（4）を