数学
インスピレーション、純粋、応用数学と美学編集
微積分の技術は、主に会計や資産管理、商業、測量、そして後に天文学に関連し、文字よりもさらに早く開発された可能性は十分にあります。 例えば、物理学者リチャード・ファインマンは、数学的推論と物理学的アプローチを組み合わせた経路積分を量子力学の基礎として提案したが、数学的に完全に満足のいく定義はまだ達成されていない。 同様に、物理学の 4 つの基本的な力を統一しようとする発展途上の科学理論である弦理論は、ほとんどの現代数学にインスピレーションを与え続けています。
数学には、それがインスピレーションを受けた分野にのみ関連し、その分野の他の問題に応用されるものもあります。 しかし、特定の分野から着想を得た数学は、多くの分野で有用であり、一般に認められている数学的概念の中に含まれることが多い。 最も純粋な数学でさえも通常は実用的な応用が可能であるという驚くべき事実を、ユージン・ウィグナーは「自然科学における数学の理不尽な有効性」と定義した。
ほとんどの研究分野と同様に、科学時代の知識の爆発は、数学の専門化を招いた。 純粋数学と応用数学の間には重要な区別がある。 ほとんどの研究数学者は、これらの分野のうちの1つだけに集中しており、学位取得時にその選択がなされることもある。 応用数学のいくつかの分野は、伝統的に数学以外の他の分野と合併し、統計学、オペレーションズリサーチ、コンピュータサイエンスなどの独立した学問分野となっています。
数学に好意を持っている人は、ほとんどの数学を定義している美的側面が優勢であることを発見します。 多くの数学者が、数学のエレガンス、本質的な美学、内なる美しさについて語っている。 一般に、その最も評価されている点のひとつは、そのシンプルさです。 ユークリッドの無限に多い素数の存在の証明のように、シンプルで力強い証明や、計算を高速化するエレガントな数値解析、高速フーリエ変換には美しさがある。 G・H・ハーディは『数学者の弁明』の中で、こうした美的配慮はそれだけで純粋数学の研究を正当化するのに十分であるという確信を述べている。 数学者はしばしば、特にエレガントな定理の証明を見つけようと努力する。風変わりな数学者ポール・エルドは、この事実を、神が自分のお気に入りの証明を書き込んだ「本」の証明を探すことに喩えている。 レクリエーション数学の人気も、数学的な問題を解く楽しさの表れだ。
表記・言語・厳密性編集
今日使われている数学の表記法のほとんどは、18世紀になって発明されたものである。 それ以前は、数学は文字で書かれていたため、手間がかかり、数学の進歩に限界があった。 18世紀、オイラーは現在使われている多くの表記法を開発した。 現代の記法は、専門家にとっては非常に簡単だが、初心者にとっては複雑な数学である。 記法は数学を最小化するもので、一部の記号に多くの情報を含ませている。 楽譜と同じように、現代の数学表記法も厳密な構文を持っており、そうでなければ書きにくい情報を暗号化しています。
数学的言語も初心者にとっては難しいものでしょう。 orやonlyなどの言葉は、日常語よりも正確な意味を持っています。 また、openやbodyといった単語は、数学的に非常に特殊な意味を持っています。 数学の専門用語には、同型性、可積分性などの専門用語があります。 表記法や専門用語を使う必要があるのは、数学的な言葉は日常的な言葉よりも正確さが要求されるからである。 数学者は、このような言語や論理の正確さを「厳密さ」と呼ぶ。
厳密さは、数学的証明に欠くことのできない条件である。 数学者は、公理から得られる定理が体系的な推論に則っていることを望んでいる。 これは、この科学の歴史の中で何度か起こった、誤った直感に基づく誤った定理を避けるためである。 数学に求められる厳密さは時代によって変化しており、ギリシャでは詳細な議論が求められたが、アイザック・ニュートンの時代にはあまり厳密な方法は採用されなかった。 ニュートンが用いた定義には本質的な問題があり、19世紀には慎重な分析と公式な実証が復活することになった。 公理は、伝統的に「自明の理」と解釈されているが、この考え方には問題がある。 形式的な領域では、公理は記号の列に過ぎず、公理系から導かれるすべての公式の文脈の中でだけ本質的な意味を持つ。
科学としての数学 編集
多くの哲学者は、数学は実験的に反証可能ではないので、カール・ポパーの定義に従って科学ではないと考えている。 しかし、1930年代になると、数理論理学の重要な研究により、数学は論理に還元できないことが明らかになり、カール・ポパーは「ほとんどの数学の理論は、物理学や生物学の理論と同様に、仮説演繹的である」と結論づけたのである。 このように、純粋数学は、これまでのように仮説が推測である自然科学に近いものとなっている」。 また、イムレ・ラカトスをはじめとする他の思想家は、数学そのものを改竄主義と呼んでいる。
別の見解として、ある種の科学分野（理論物理学など）は、現実に対応するような公理を持つ数学であるとするものがある。 実際、理論物理学者のJ.M.ジーマンは、科学とは「公知」であり、したがって数学も含まれると提唱している。 いずれにせよ、数学は物理科学の多くの分野、特に仮説の論理的帰結の探求と共通するところが多いのである。 数学などの科学では、直感と実験が予想の策定に重要な役割を果たす。 実験数学は、数学の中で表現力を高め続けています。 科学と数学の両分野で微積分やシミュレーションが果たす役割は大きくなっており、数学は科学的手法を用いないという反論は緩和されつつある。 2002年、スティーブン・ウルフラムは、著書「A New Kind of Science」の中で、計算数学は科学分野として経験的に探求される価値があると主張しています。 数学者の多くは、自分たちの分野を科学と呼ぶことは、その美的プロファイルの重要性を最小限に抑え、7つのリベラルアーツの中でその歴史を否定することだと考えています。 また、科学との関連を無視することは、数学の発展を大きく後押ししてきた科学や工学における数学とその応用との明白な関連を無視することになると感じる人もいる。 もうひとつ、先ほどの議論とやや関連するが、数学は創造（芸術として）されたのか、発見（科学として）されたのか、という問題である。 これは、数学の哲学が関心を寄せる多くの問題の一つです。
数学の賞は、一般に、科学における同等物から切り離されています。 数学で最も権威のある賞、フィールズ賞は1936年に創設され、4年に1度授与される。 科学分野のノーベル賞に匹敵する賞と言われることもあります。 このほか、1978年に創設された数学者の生涯功績を称える「ウルフ賞」、2003年に導入されたもう一つの主要な国際賞「アーベル賞」などがある。 後者2つは、画期的な研究や、ある分野における傑出した問題の解決など、優れた業績に対して贈られるものです。 この23の未解決問題をまとめた有名なリストが「ヒルベルト問題」と呼ばれ、1900年にドイツの数学者デイヴィッド・ヒルベルトによってまとめられた。 このリストは数学者の間で非常に人気があり、少なくとも9つの問題がすでに解決されています。 2000年には「ミレニアム問題」と名付けられた7つの基本問題リストが新たに発表された。 それぞれの問題の解答者には、100万ドルの報酬が与えられます。 興味深いことに、両方のリストに登場するのは1つ（リーマン仮説）だけである。