AristotleEdit

最も古い形式は、アリストテレスの「解釈について」で初めて提案された「無矛盾の原理」の議論であり、彼は、2つの矛盾する命題（すなわち、一方の命題が他方の否定となる）の一方は真、他方は偽でなければならないと述べた。 また、『形而上学』第3巻では、あらゆる場合に肯定か否定が必要であり、矛盾の二つの部分の間に何かがあることは不可能であるとし、これを原理として述べている。

アリストテレスは、曖昧さは曖昧な名称の使用から生じることはあっても、事実そのものには存在し得ないと書いた：

もし「人間」が一つの対象についての何かを意味するだけでなく、一つの意義を持っているならば、「人間である」が正確に「人間ではない」ことを意味すべきことは不可能であるとする。 … そして、我々が「人間」と呼ぶ者を他の者が「人間でない」と呼ぶ場合のように、曖昧さを除いて、同じものであり、同じものでないことはありえない。しかし、問題のポイントは、同じものが名前において人間であり、同時に人間でないかどうかではなく、事実において人間であるかどうかということである。 (Metaphysics 4.4, W.D. Ross (trans.), GBWW 8, 525-526)と述べています。

「同じものであることとそうでないことはありえないだろう」というアリストテレスの主張は、命題論理では ¬(P ∧ ¬P) と書かれるが、現代の論理学者は除外中律 (P ∨ ¬P) と呼ぶことができる発言であろう。 アリストテレスの主張の否定の配分として、前者は真と偽の両方を持つ文はないと主張し、後者はいかなる文も真か偽のいずれかであることを要求しているが、両者は等価である。

しかし、アリストテレスは「矛盾が同時に同じものの真であることは不可能であるから、明らかに矛盾も同時に同じものに属することはできない」（Book IV, CH 6, p. 531）とも書いているのである。 そして、「矛盾の間に中間が存在することはありえないが、一つの主体については、いずれかの述語を肯定するか否定しなければならない」（Book IV, CH 7, p.531）と提唱している。 これはアリストテレスの伝統的な論理学の文脈では、P ∨ ¬Pという排中律を驚くほど正確に述べている。

また『解釈について』では、アリストテレスは海戦に関する議論で、将来の偶発事象の場合に排中律を否定しているようだ。

LeibnizEdit

その通常の形式、「あらゆる判断が真か偽か」…….」(van Heijenoort, p.のKolmogorovより)。 421）脚注9：「これはライプニッツの非常に単純な定式化（Nouveaux Essais, IV,2 参照）」（同上p421）

Bertrand Russell and Principia MathematicaEdit

この原理はラッセルとホワイトヘッドによって『プリンキア・マティマティカ』で命題論理学の定理として次のように述べられた：

∗ 2⋅ 11 . ⊢ . p ∨∼ p {displaystyle \mathbf {*2cdot 11} .\vdash .\ p \vee \thicksim p}のように記述されている。

.

では、そもそも「真実」と「虚偽」とは何なのでしょうか？ 8805>

Truth-value. 命題の「真理値」は、それが真であれば真理、偽であれば偽である* …「p ∨ q」の真理値は、pまたはqのいずれかの真理値が真であれば真理、それ以外は偽である…「〜 p」のそれはpのそれと反対である…」。 (p.7-8)

これではあまり参考にならないですね。 しかしその後、もっと深い議論（「真偽の定義と体系的曖昧さ」第二章第三部 p.41 ff）で、PMは真偽を「a」と「b」と「知覚者」の関係で定義しているのである。 例えば、「この『a』は『b』である」（例：「この『a』という物体は『赤』である」）は、本当は「『a』という物体が感覚データである」「『赤』が感覚データである」という意味であり、それらは互いに「関係を持って」「私」との関係で立っている。 8805>

PM はさらに「感覚データ」と「感覚」の区別を定義する：

つまり、「これは赤い」と判断（発言）するとき、起こるのは心、「これ」、「赤」の3項の関係なのである。 一方、「これの赤さ」を認識するときには、心と複合対象「これの赤さ」という2項の関係が生じる（43〜44頁）。

ラッセルはPM（1910-1913）と同時期に出版された『哲学の問題』（1912）において、「感覚データ」と「感覚」の区別を改めて示した：

色、音、匂い、硬さ、荒さなど、感覚において直ちにわかるものには「感覚データ」という名を与えましょう。 これらを即座に認識する経験を「感覚」と名づけよう…。 色そのものは感覚データであって、感覚ではない。 (12頁)

ラッセルはさらに同書（第12章「真理と虚偽」）で、「真理」と「虚偽」の定義に至る理由を述べている。

Principia Mathematicaにおける排中律の帰結Edit

Principia Mathematicaの式✸2.1 の排中律から、ホワイトヘッドとラッセルは論理学者の論証ツールキットの中で最も強力な道具をいくつか導き出しています。 (Principia Mathematicaでは、数式や命題は「✸2.1」のように先頭にアスタリスクと2つの数字で識別される)

✸2.1 ~p ∨p “This is the Law of excluded middle” (PM, p. 101).

✸2.1 の証明方法は大体以下の通りである。 「原始的な考え」1.08でp → q = ~p ∨ qと定義されており、この規則でpをqに代入するとp → p = ~p ∨ pとなる。p → pは真なので（これは定理2.08、別途証明）、~p ∨ pは真でなければならない

✸2.2.11 p ∨ ~p (公理1.4で主張の Permutation が許される)
✸2.12 p → ~(~p) (二重否定の原理、その1：「このバラは赤い」が真なら「『このバラは赤くない』が真でない」
✸2.13 p∨ ~{~(~p) }。 (2.12と合わせて2.14を導くレンマ）
✸2.14 ~(~p) → p（二重否定の原理その2）
✸2.15 (~p → q) → (~q → p) (「転位の原理」4つのうち一つ)。 1.03、1.16、1.17と同様。 ここでは非常に長い実証が必要だった)
✸2.16 (p → q) → (～q → ～p) (「このバラが赤ならこの豚は飛ぶ」が真なら「この豚が飛ばないならこのバラも赤ではない」が真となる。)
✸2.17 ( ~p → ~q ) → (q → p) (「転置の原理」のもう一つ。)
✸2.18 (~p → p) → p (「帰納矛盾の補語」と呼ばれる。 それ自体が偽であるという仮説から導かれる命題は真であるとする」(PM, pp.103-104))

これらの定理のほとんど、特に✸2.1,✸2.11, ✸2.14 が直観主義によって否定されています。 これらの道具は、コルモゴロフが「ヒルベルトの含意の4公理」「ヒルベルトの否定の2公理」（Kolmogorov in van Heijenoort, p. 335）として引用した別の形に再構成される。

命題✸2.12 と✸2.14, 「二重否定」：直観主義の著作にL． Brouwerが「複数種の互恵性の原理、すなわち、あらゆる系において、ある性質の正しさはこの性質の不可能性から導かれるという原理」（Brouwer, ibid, p.335）と呼ぶものに言及している（

この原理は一般に「二重否定原理」（PM, pp.101-102 ）と呼ばれている）。 排中律（✸2.1、✸2.11）から、PMは直ちに原理✸2.12を導出する。 2.11のpを~pに代入して~p ∨ ~(~p) とすると、含意の定義（つまり1.01 p → q = ~p ∨ q）により、~p ∨ ~(~p)= p → ~(~p) となります。 QED (2.14の導出はもう少し複雑)

ReichenbachEdit

少なくとも二値論理では正しい、つまりカルノーマップでもわかるが、この法則は彼の法則（3）で使われている包含的orの「中間」を削除しているのである。 そして、これがライヘンバッハが示した、排他的論理和が包括的論理和の代わりになるべきだという主張のポイントである

この問題について、ライヘンバッハは次のように述べている（確かに非常に専門的な用語である）。 (x)は主要な用語が網羅されておらず、したがって膨張した式である。 このことは、(29)を包括-orで書くことを不合理と考え、排他-orの記号で書かせることを望む人がいることの説明にもなるであろう 30.(x)。 (x) では、記号 “⊕” は排他的-or を意味し、この形式では完全に網羅的であり、したがって狭義の意味での名辞となる。 (Reichenbach, p. 376)

（30）行の「（x）」は「for all」または「for every」の意味で、ラッセルやライヘンバッハが用いた形式であるが、今日では通常、記号は ∀ {displaystyle \forall } である。

x. したがって、式の例は次のようになる。

• (pig): (Flies(pig) ⊕ ~Flies(pig))
• (For all instances of “pig” seen and unseen)となります。 (「豚は飛ぶ」または「豚は飛ばない」ただし両方同時には飛ばない)

Logicians versus IntuitionistsEdit

1800年代末から1930年代にかけて、ヒルベルトとその支持者たち、ヘルマン・ヴァイルとL・E・J・ブローヴァーの間で激しく、執拗な論争が展開されました。 8805>

ヒルベルトは、クロネッカーの考えを激しく嫌っていました（

クロネッカーは、構築のない存在はあり得ないと主張しました。 彼にとっては、ポール・ゴーダンと同様に、ヒルベルトの不変システムの基底の有限性の証明は、単に数学ではないのである。 一方、ヒルベルトは、ある概念に与えられた属性が決して矛盾を引き起こさないことを証明できれば、その概念の数学的存在はそれによって確立されると、生涯を通じて主張していた（Reid p.1）。 34）

有限個の正の整数で実際に構成できるものでなければ数学的存在と言えないというのが彼の主張であった（Reid p. 26）

この論争はヒルベルトに大きな影響を及ぼした。 Reidは、ヒルベルトの第2問題（1900年のパリでの第2回国際会議でのヒルベルトの問題の1つ）がこの議論から発展したものであることを示している（原文は斜体）：

第2問題では、実数の算術の公理の一貫性に関する数学的証明を求めていた。 この問題の重要性を示すために、彼は次のような観察を加えている。 「もしある概念に矛盾した属性が与えられるなら、私は数学的にその概念は存在しないと言う」（Reid p.71）

このようにヒルベルトは言っていたのである。 「8805>

そしてついに構成主義者たちは…数学を有限または潜在的に（実際にはそうではないが）無限の構造に対する具体的操作の研究に限定し、完成した無限総体は…排除中則に基づく間接証明と同様に拒否されたのであった。 構成主義者の中で最も過激だったのは、かつての位相学者L. E. J. Brouwer (Dawson p. 49)に率いられた直観主義者であった

激しい論争は1900年代初頭から1920年代に続き、1927年にはBrouwerが「卑劣な調子で極論を述べる」ことについて不満を述べた (Brouwer in van Heijenoort, p. 492)。 しかし、この議論は実り多いものであった。それは『プリンキピア・マティマティカ』（1910-1913）に結実し、この著作によって排中律が正確に定義され、これらすべてが20世紀初頭の数学者に必要な知的環境と道具を提供した。ツェルメロの集合論の公理化（1908a）…これは2年後に『プリンキピア・マティマティカ』の第1巻に続いて発表された。ラッセルとホワイトヘッドは、型の理論を通じて、算術の多くが論理主義的手段によって発展しうることを示した（Dawson p. 49）

ブロウワーは、議論を「否定的」あるいは「非存在」対「構成的」証明から設計された証明の使用に還元した：

ブロウワーによれば、与えられた性質を持つオブジェクトが存在するという記述は、少なくとも原理的にはそのようなオブジェクトを発見あるいは構築できる方法が知られている場合のみ、それを意味し、証明される… ヒルベルトは当然これに反対した。 「純粋存在の証明は、我々の科学の歴史的発展における最も重要な目印であった」と、彼は主張した。 (リード p.155） ブローウェルは……排除された中間の論理原理を受け入れることを拒否した……。 彼の主張は次のようなものであった。 「Aが “Pの性質を持つ集合Sのメンバーが存在する “という文だとする。 集合が有限であれば、Sの各メンバーを調べて、Pの性質を持つメンバーが存在するか、SのすべてのメンバーがPの性質を欠いているかを決定することが原理的に可能である。したがって、有限の集合に対して、ブローウェルは排除された中間の原理を有効なものとして認めたのである。 なぜなら、集合Sが無限であれば、集合の各メンバーを調べることは原理的にできないからである。 もし、調査の過程で、Pの性質を持つ集合のメンバーが見つかれば、第一の選択肢は証明されるが、もし、そのようなメンバーが見つからなければ、第二の選択肢はまだ証明されないのである。 数学の定理は、否定すると矛盾が生じることを立証して証明されることが多いので、ブローウェルが提案したこの第三の可能性は、現在受け入れられている数学的記述の多くに疑問を投げかけることになる。 「数学者から中抜きの原理を取り上げることは、ボクサーに拳を使うことを禁じるのと同じことだ」とヒルベルトは言った。 “失われる可能性があっても””ウェイルは気にしなかったようだ… 彼はチューリッヒの友人たちにブローワーのプログラムこそが来るべきものだと主張した……」。 (Reid, p. 149)}}。

1941年のエール大学での講義とその後の論文で、ゲーデルは解決策を提案した。 普遍命題の否定は、反例の存在を…主張するものとして理解されるべきである」（Dawson, p.157））

除外中原理に対するゲーデルのアプローチは、「『暗黙の定義』の使用」に対する反論が「除外中原理と命題計算の関連定理」よりも「重きをなす」（Dawson p. 156）ことを主張することであった。 彼は自分の「システムΣ…」を提案し、その解釈のいくつかの応用に触れて締めくくった。 その中には、原理〜（∀A：（A ∨〜A））の直観主義論理との整合性の証明（仮定∃ A：〜（A ∨〜A）の不整合にもかかわらず）」（Dawson、157頁）

議論は弱まったようであった。 8805>

除外調和の法則（原理）の直観主義的定義Edit

以下は「知る」ことの背後にある深い数学的・哲学的問題を強調し、また「法則」が意味するもの（すなわち法則の本当の意味）を明らかにする一助となるものです。 検証不可能なもの（テストできないもの、知りえないもの）、不可能なもの、偽りのものから導き出された含意を真実として受け入れたくないという、彼らの法則に対する困難が浮かび上がってくるのである。 (引用はすべてヴァン・ハイエルノートによるもので、イタリックが付加されている）。

ブロウワーは「排除された中間の原理」の定義を提示しているが、ここでも「検証可能性」の問題を見ることができる。

今述べたテスト可能性に基づいて、特定の有限主体系の中で考えられた性質に対して、「排除された中間の原理」、すなわち、あらゆる系に対してあらゆる性質が正しいか不可能かのいずれかであるという原理、特に相補種の相互性の原理、すなわち、あらゆる系に対してある性質の正しさがこの性質の不可能性から導かれるという原理が成り立つ。 (335）＜8357＞コルモゴロフの定義では、ヒルベルトの二つの否定の公理＜8805＞＜3742＞＜608＞ A →（～A → B）＜4477＞＜608＞（A → B）→{（～A → B）→ B}＜4477＞＜3465＞ヒルベルトの最初の否定の公理「何でも偽から生じる」は含意の最初の公理と同じく記号論理の台頭にのみ登場したものである。…一方、…検討中の公理は、何か不可能なことの結果について何かを主張している：真の判断Aが偽とみなされるなら、Bを受け入れなければならない…。 ヒルベルトの第二の否定公理は、排中律を表現している。 この原理は、ここでは、「もし B が A からも ~A からも成り立つなら、B は真である」という導出のために使われる形で表現されている。 その通常の形である「すべての判断は真か偽のどちらかである」は、上記のものと同等である。 否定の最初の解釈、つまり、判断を真と見なすことを禁止することから、排除された中間の原理が真であるという確証を得ることができない……。 Brouwerは、このような超限定的判断の場合、排除された中間の原理は明白であるとは考えられないことを示した 脚注9：「これはライプニッツの非常に単純な定式化である（Nouveaux Essais, IV,2 参照）」。 A is either B or not-B” という定式は、判断の論理とは何の関係もない。 脚注10：「象徴的に第二形式は、A ∨ ~A

と表され、∨は “or” を意味する。 この2つの形式の等価性は容易に証明される（421頁）

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