主な記事。 群論 ルービックキューブで可能な手は（非常に大きな）グループを形成する。 群論は対称性の抽象的な概念として有用であり、広い分野に応用できる。（ガロア理論における）多項式の根の関係やルービックキューブの解法は、その顕著な例である。

ちなみに群とは、二項演算∘circ∘を備えた集合で、群の任意の2要素に作用すると、群の要素も生成されます。 例えば、整数は加算のもとで群を形成し、非ゼロ実数は乗算のもとで群を形成する。 ∘Circ∘演算は、これらの「通常の」数体系で満たすものと類似したいくつかの特性を満たす必要がある。それは、連想的であること（これは本質的に演算の順序が重要でないことを意味する）、および恒等要素（上記の最初の例では0、2番目では1）が存在しなければならないことである。 より正式には、以下の公理が成り立つような演算⋅cdot⋅を備えた集合をいいます。 任意のx,y,z∈Gx,y,z \in G x,y,z∈G に対して、(x⋅y)・z=x・（y⋅z） (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z) (x⋅y)・z=x⋅ (y⋅z) が成立します。
2) 恒等式。 任意のx∈Gx∈Gに対してe・x・e=x∈Gのe∈Gが存在し、e・x=x・e=x∈Gの同一要素であることを言う。
3) 逆。 任意のx∈Gx∈Gにおいて、x・y=e=y・Gy∈Gにおいて、x・y=e=y・Gy∈Gにおいて、x・x=e=y・xのようなyが存在する。 yyyはxxxの逆数であると言う。

また、部分群（別のものの中に完全に含まれる群）を扱うときには閉鎖性を確認することが重要であるので、強調のために閉鎖性の公理を記しておく：

4）閉鎖性。 任意のx,y∈Gx, y \in G x,y∈G, x∗yx*y x∗y も GGG にある。

群の追加例として

• Znmathbb{Z}_nZn, the set of integers {0,1,…,n-1} {0, 1, \dots, n-1}{0,1,….,n-1} with operation addition modulo nnn
• SnS_nSn, the set of permutations of {1,2,…,n}{1, 2, \ldots, n}{1, 2,…,n} with operation of composition.

S3S_3S3 は可換でない群の例として特筆され、a・b=b・aa \cdot b = b \cdot aa・b=b・a が一般に成立しないことを意味する。 形式的に言えば、S3S_3S3は非可換群である（可換群とは演算が可換である群である）。 演算が文脈から明らかでない場合、群は (set,op)(\text{set}, \text{op})(set,op) という形で書かれます。例えば、乗法を備えた非零個の実数は (R∗,⋅)(\mathbb{R}^*, \cdot)(R∗,⋅) と書くことができます。

群理論（および一般的な抽象代数）の多くは群同型の概念を中心としており、これは本質的に群の構造を保存するある群から別の群への写像を意味します。 つまり、2つの要素の積の写像は、2つの写像の積と同じであるべきで、直感的に言えば、2つの要素の積は写像の下で変化してはならないのである。 形式的には、同型写像は関数ϕ:G→Hphi: G \rightarrow Hφ:G→H such that

ϕ(g1)⋅Hφ(g2)=φ(g1⋅Gg2),\phi(g_1) = \cdot_H \phi(g_1) g_2)．ϕ(g1)ϕ(g2)=φ(g1⋅Gg2),

ここで、⋅Hcdot_H⋅H は HHH 上の操作、⋅Gcdot_G⋅G は GGG 上の操作である。 例えば、ϕ(g)=g(modn) \phi(g)=g \pmod n=g(modn) は、Zhatmathbb{Z}Z から Znmathbb{Z}_nZn への群同型の例である。 潜在的に異なる演算の概念が必要で、例えば、ϕ(g)=egphi(g)=e^gφ(g)=egは(R,+)(we \mathbb{R},+)(R,+) to (R∗, ⋅)(\mathbb{R}^{*},\cdot)(R∗, ⋅).

というグループホモーファズムの例であり、(R,+)(we)は、このグループホームモーファズムの例です。