Nの関数sを定義しようと思うんだけど、nを含むすべての正の整数正の整数の和と定義して、この関数のドメインが本当にすべての 正の整数である必要があります。そこで、いくつかのことを試してみましょう。 このビデオはあなたに証明します 実はこれを証明する方法は複数あります これをnの関数として書くことができます nまでのすべての正の整数の和は 2以上のすべてのn+1に等しいです 少なくとも私があなたに証明する最初の方法は 帰納法によってです これは証明されるでしょう 帰納法で何かを証明するのは 面白い哲学的な方法です なぜなら帰納法で証明する方法は まず基本ケースを証明します 基本ケースを証明します この関数の場合 この文はここにあります この文の場合 私たちが証明すべきことは ここにあります 最初にそれを証明します 4-1が基本ケースになります。そして、帰納的ステップを行います。帰納的ステップとは、ある正の整数Kに対してうまくいくと仮定すると、もしそう仮定するならば、次の正の整数に対してもうまくいくことを証明できる、というものです。 K+1について、なぜこれがうまくいくかというと、この両方を証明する場合、基本的なケースは1について証明することになります。 55以上のもの、あるいはある閾値以上のものすべてですが、この場合はすべての正の整数に対して真であると言っているのです。ですから、基本ケースは4 1とし、次のFでは、4と仮定した場合、このことがKのいくつかに対して真であると仮定した場合、その証明をしようと思っています。 すべての正の整数についてこれを証明するために必要なことは、想像することである。1 この式は n が 1 のときに 1 に適用されることを証明します。そして、任意の K に対して真であることがわかれば、次の K にも真であることを証明します。 1 もし2が真なら3も真に違いありません なぜならKが真ならK+1も真だから 2が真なら3も真 そして3が真なら4も真である必要があり 永遠に続けることができます つまり全てに対して真であるということです 一般論から一般論に話しましょう 実際に帰納法でこれを証明しましょう それでは次に sum この関数を1についてやってみましょう さて、それは1を含むすべての正の整数の和になります ちょうど文字通り1になります 我々はそれらをすべて追加しました それはちょうど1です 1を含むまでの他の正の整数はありません これは1倍1プラス1と同じものであることを証明できます 2以上のすべて 1プラス1は2 2で割ると1 1倍1は1です この式はここでうまくいったので は1に対して働いたので、私たちは基本ケースを証明しました 1に対して証明しました さて、私がやりたいことは、これがある数Kに対して働くと仮定したいのです だから、ある数Kに対して真であると仮定します Kにおけるこの関数はK×K+1 over 2に等しくなると仮定します だから、私はこれが正しいと仮定します 今、それに対して この関数をk＋1について求めようとするとどうなるかを考えたいのですが、これは私が仮定していることです。 kプラス1も含めて……さて、これはもうわかっているものと仮定して、これの公式をすでに持っているものと仮定します。 共通分母は2になります。では、これはどうでしょう。まずマゼンタ色の部分を書きます。これはK×Kプラス1×2＋2×Kプラス1×2です。青色で書いたものは青色で書いたものと同じです。2が相殺されるので、このように書きました。それで共通分母は2になって、これはどうでしょう。 これを別の色で書くと、K×K＋1＋2×K＋1になります。このステップでは、ここでK＋1を因数分解できます。 私が何をしているか分かるように色分けしてみよう。この2はすぐそこにあるこの2であり、このKはすぐそこにあるこのKである。我々はこれを因数分解した。このKプラスは一度2について因数分解し、このKプラス1はすぐそこにある。 今、これを書き直すことができます これは同じものです これは同じものです これは同じものです これはkプラス1と同じものです この部分は右のここです kプラス1 kプラス1プラス1 右 これは明らかにkプラス2と同じものです すべてを超える すべてを超える 2 さて，なぜこれが面白いかというと，これが正しいと仮定すると，これが正しいと仮定すると，これが正しいと仮定すると，これが正しいと仮定すると，これが正しいと仮定すると，この仮定を使うと，k＋1までのすべての正の整数の和が，k＋1を含むすべての正の整数の和になることが証明されたからです． k+1×k+1+1+2…に等しいということです。実は、この元の公式は、k+1にも適用されます。もし、k+1をとってnに置き換えたら、ここで得たのと全く同じ結果になります。 この式は1までのすべての正の整数の和に有効で、kまでのすべてに有効だと仮定すれば、あるいはkの整数にも有効だと仮定すれば、1までのすべての正の整数の和にも有効であることが証明されました。 すべての正の整数に対して有効であることが証明されたのです。 の場合、次の整数でもうまくいくので、もし1に対してうまくいったと仮定したら、2に対してもうまくいく可能性があります。 2に効くなら3にも効くと仮定できる 3に効くなら4にも効くと証明したことになる この帰納法はドミノのように連鎖し、永遠に続くので、本当にすべての正の整数に効くようになる

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