作用素 (数学)

9月 22, 2021

admin

GeometryEdit

主要論文：一般線形群、アイソメトリ

幾何学において、ベクトル空間上の追加的な構造が研究されることがあります。そのようなベクトル空間をそれ自身に双射的に写す作用素は、これらの研究で非常に有用であり、それらは自然に合成によって群を形成する。

例えば、ベクトル空間の構造を保存する双射作用素は、まさに反転可能線形作用素である。これらは合成のもとで一般的な線形群を形成する。例えばidと-idはともに不可逆（両投影）だが、その和である0は不可。

このような空間上でユークリッド測度を保存する作用素はアイソメトリ群を形成し、原点を固定するものは直交群として知られるサブグループを形成する。

確率論編集部

主な記事。確率論

確率論には期待値、分散、共分散などの演算子も関わっている。実際、すべての共分散は基本的にドットプロダクトであり、すべての分散はベクトルとそれ自身とのドットプロダクトであり、したがって2次ノルムであり、すべての標準偏差はノルム（2次ノルムの平方根）であり、このドットプロダクトに対応する余弦はピアソン相関係数であり、期待値は基本的に積分オペレータ（空間における重み付き形状を測るのに用いられる）である。

CalculusEdit

主な記事：微分演算子、積分演算子

関数解析の観点から、微積分は次の二つの線形演算子の研究である：微分演算子 d d t {displaystyle {frac {mathrm {d}} {frac {d} {mathrm {d} {frac {d} {d} {frac {d} {d} {d} {frac {d} {frac {d} {d} {d} {frac {frac {mathrm {d }{mathrm {d} t}} {{mathrm {d} t}}}

$Thrac{Mathrm}{Mathrm{d}t}$

, and Volterra operator ∫ 0 t {displaystyle \int _{0}^{t}} }.

$\int_0^t$

フーリエ級数とフーリエ変換編集

主な記事。フーリエ級数、フーリエ変換

フーリエ変換は応用数学、特に物理学や信号処理で有用である。これは別の積分演算子で、主に、ある領域（時間領域）の関数を別の領域（周波数領域）の関数に、事実上反転可能な方法で変換するため、有用です。逆変換演算子があるため、情報が失われることはありません。周期的な関数の場合、この結果は、任意の連続周期的な関数が一連の正弦波と余弦波の和として表現できるという定理に基づいています：

f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ( ω n t ) + b n sin ( ω n t ) {displaystyle f(t) ={a_{0} } } {displaystyle {displaystyle {displaystyle {f(t) ={a_{0} \over 2}+sum _{n=1}^{infty }{a_{n}}cos(\omega nt)+b_{n}}sin(\omega nt)}} {{a_{n}cos(\omega nt)+b_{n}sin(\omega nt)

$f(t) = {a_0 \over 2} + \sum_{n=1}^{infty}{ a_n \cos ( \omega n t ) + b_n \sin ( \omega n t ) } } ←クリックすると拡大します。$

タプル（a0, a1, b1, a2, b2, …）は実際には無限次元ベクトル空間ℓ2の要素であり、したがってフーリエ級数は線形オペレータである。

一般関数R→Cを扱う場合、変換は積分形をとる：

f ( t ) = 1 2 π∫ – ∞ + ∞ g ( ω ) e i ω t d ω . {displaystyle f(t)={1 \over {}sqrt {2π }} ◇int _{-̮infty }^{+̮infty }{g(\omega )e^{iomega t},domega }.} ｝のようになります。

$f(t) = {1 \over \sqrt{2 \pi}}. \ЪЪЪ{g( ˶ˆ꒳ˆ˵ ) \,domega }.$

Laplace transformEdit

Main article: ラプラス変換

ラプラス変換も積分演算子で、微分方程式の解法の簡略化に関与する。

f = f(s) とすると、次のように定義される。 ( s ) = ∫ 0 ∞ e – s t f ( t ) d t . {F(s)={Cathmathcal {L}}{f}(s)=THINT _{0}^{INFTY }e^{-st}f(t) \,dt.} .

$F(s)={Cathmathcal {L}}}{f}(s)=int _{0}^{infty }e^{-st}}f(t) \,dt.$

スカラー場とベクトル場の基本演算子編集

主要記事：ベクトル計算、ベクトル場、スカラー場、勾配、発散、カール

ベクトル計算の鍵となる演算子：

Grad (gradient), (with operator symbol ∇ {displaystyle \nabla })勾配(グラジェン)・発散(curl)・拡散(divergence),(grad)の3演算子がある。

スカラー場の各点に、その場の最大変化率の方向を指し、その最大変化率の絶対値をノルムとするベクトルを与える。
Div (divergence), (with operator symbol ∇⋅ {displaystyle \nabla｝
$nabla \cdot$

) は、ベクトル場のある点からの発散や、ある点への収束を表すベクトル演算子です。
Curl, (with operator symbol ∇ × {displaystyle \nabla \times }.
$\nabla \times$

) は、ベクトル場が与えられた点を中心にカールする（巻く、回転する）傾向を測定するベクトル演算子です。

ベクトル微積分の演算子を物理、工学、テンソル空間に拡張したものとして、Grad、 Div、Curl演算子は、しばしばベクトル微積分に加えて、テンソル計算とも関連付けられています。