すでに知っている基本公式は2つあります。
1) 合計＝n（集合なし）＋n（ちょうど1つの集合）＋n（ちょうど2つの集合）＋n（ちょうど3つの集合）

2) 合計＝n（A）＋n（B）＋n（C）- n（AとB）-n（BとC）-n（CとA）＋n（AおよびBとC）＋n（集合なし）

この二つの公式から、他のすべての公式は導かれる。

n(Exactly one set) + n(Exactly two sets) + n(Exactly three sets) で n(At least one set) となります。 そこで、次のようになる。

3）合計＝n（セットなし）＋n（少なくとも1セット）

（3）から、n（少なくとも1セット）＝合計-n（セットなし）

これを（2）に突っ込むと、次のようになる。

4）n（少なくとも1セット）＝n（A）＋n（B）＋n（C）-n（AとB）-n（BとC）-n（CとA）＋n（AとBとC）

ここで、ちょうど2セットの人数の計算方法を確認しておきましょう。 n(At least two sets)を求めるという、より論理的な次のステップを踏まず、n(Exactly two sets)にジャンプしたのには理由があります。

n(A and B)にはAとB両方にいる人と、A、B、Cにいる人が含まれているので、 n(A and B and C)を外して n(A and B only) とする必要があるのです。 同様に、n(BとCのみ)とn(CとAのみ)が得られるので、これら3つを足すとちょうど2組の人数になります。

n（ちょうど2組）= n(A and B) – n(A and B and C) + n(B and C) – n(A and B and C) + n(C and A) – n(A and B and C) となります。 したがって、

5）n（ちょうど2つの集合）＝n（AとB）＋n（BとC）＋n（CとA）-3*n（AとBとC）

ここで、n（少なくとも2つの集合）を簡単に求めることができます。

6）n（少なくとも2つの集合）＝n（AとB）＋n（BとC）＋n（CとA）-2*n（AとBとC）

これはn（正確に2つの集合）よりn（AとBとC）が多いだけです。 これは理にかなっていますね。 ここでは、3つのセットに一度でも入った人を含めて、n(Exactly two sets)がn(At least two sets)に変換されます！

さて、次はn(Exactly one set)を求めます。 n(At least one set)から、n(At least two sets)を引いてみましょう、つまり (4)から(6)を引く

n(Exactly one set) = n(At least one set) – n(At least two sets), therefore:

⑦n(Exactly one set) = n(A) + n(B) + n(C) – 2*n(A and B) – 2*n(B and C) – 2*n(C and A) + 3*n(A and B and C)

これらの数式は全部覚える必要はないでしょう。 最初の2つに注目し、必要であれば他の公式を導き出す方法を知っておけばよいのです。

インタビューした250人の視聴者のうち、A、B、Cの3つのテレビチャンネルのうち、少なくとも1つを視聴している人。 Aを116人、Cを127人、Bを107人見ている。 1チャンネルしか見ていない人は何人いるだろうか？

(A) 185

(B) 180

(C) 175

(D) 190

(E) 195

与えられたものです。

n(At least one channel) = 250

n(Exactly two channels) = 50

そこで、n(At least one channel) = n(Exactly 1 channel) + n(Exactly 2 channels) + n(Exactly 3 channels) = 250

250 = n(Exactly 1 channel) となることが分かる。 + 50 + n(ちょうど3チャンネル)

ここで、n(ちょうど3チャンネル)=x

また、n(少なくとも1チャンネル) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A and B) – n(B and C) – n(C and A) + n(A and B and C) = 250

また、このとき n(正確には2チャンネル) = n(A and B) + n(B and C) + n(C and A) – 3*n(A and B and C)

つまり n(A and B) + n(B and C) + n(C and A) = n(Exactly two channels) + 3*n(A and B and C)

これを上式にプラグインすると、このようになります。

250 = n(A) + n(B) + n(C) – n(正確には2チャンネル) – 3*x + x

となります。