20世紀初頭、ゲッティンゲン大学は世界でも有数の数学研究センターだった。 数学者のデイヴィッド・ヒルベルトは、そこで定評のある教授として、1924年から25年にかけての冬学期に、数学、物理学、天文学における無限について一連の講義を行った。 (この講義は、現在シュプリンガー・フェアラーク社から単行本として出版されている。 この本はIAS図書館で翻訳版と原文のドイツ語版を入手できる)。 この講義の中で、有限集合と無限集合の決定的な違いについて、ある例を用いて説明している。 しかし、部屋数が無限にあるホテルでは、これは問題ではない。もし、すべての部屋が埋まっていて、新しい客が来たら、古い客を一部屋ずつ移動させ、最初の部屋を新しく来た客のために空けるだけでよいのである。 同様の議論により、有限の数、さらには無限に多くの新しく到着した客を収容することができる。

George Gamow (物理宇宙論の分野で有名な Alpher-Bethe-Gamow 論文を執筆) は、これらの講義の数年後にゲッティンゲン大学の夏季ポスドクであり、おそらくそこでヒルベルトの無限ホテルの例について学んだのだろう。 彼は、1947年に出版した『One Two Three…Infinity』という大衆向けの科学書の中で、これを普及させた。 Facts and Speculations of Science (プリンストン大学図書館で閲覧可能)」という1947年のポピュラーな科学書の中で広めました。 物事をきちんとするために、このホテルの無限にある部屋には1、2、3、4、5、……という番号がつけられているとしよう。 ある夜、その部屋はすべて埋まっているが、新しい客が来た。 前にも述べたように、1号室の客を2号室に、2号室の客を3号室に、3号室の客を4号室に、そして一般にn号室の客をn+1号室に移動させれば、1号室には新しい客のための空きができるが、元の客は誰もホームレスにならない

ここで、新しい客が1人だけじゃなく20人来たとしよう。 1号室のゲストを21号室に、2号室のゲストを22号室に、そして一般的にn号室のゲストをn+20号室に移動させます。 これは20の部屋を空け、20人の新しい客を迎える準備ができる。

しかし、無限のバスに乗って無限に多くの新しい客が到着したらどうだろうか。 この状況でも使えるように、前の議論を修正することができます。ホテルにすでにいる客は、1つおきにしか部屋を占めないように、スペースを空けるのです。 数学的に言えば，n号室の客を2n号室に移動させ，偶数号室をすべて使用させる． これで他の部屋は（無限に！）空いていて、バスで到着する（無限に！）人々を収容することができる。 バスの座席番号nに座っている人は、n番目の奇数番号の部屋、つまり部屋番号2n – 1に移動する必要があります。

無限のバスが99台到着したらどうでしょうか。 元のホテルの客を100、200、300などの部屋に、1台目のバスの客を1、101、201などの部屋に、2台目のバスの客を2、102、202などの部屋に、残りのバスを移動させるだけでよい。 これでホテルの全室を占めつつ、部屋のない客はいなくなる。 もし、バスの乗客自身が1、2、3、4、5、……と番号を振っていたとしたら、そのバスの乗客は、1、2、3、4、5、……と番号を振られます。 (この場合、ホテルの最初の100部屋は1番の乗客で埋まり、次の100部屋は2番の乗客で埋まり、…という具合になります。

次のレベルは、無限に多い無限バス（各バスには無限に多い乗客）を扱うことである。 まず、ホテルとバスから全員を出し、駐車場か紙の上に碁盤の目のように整理します。ホテルの最初の客(バス0の乗客)を左から右に順番に並ばせ、一列を形成させます。 そのすぐ下に1台目のバスの乗客が、さらにその下に2台目のバスの乗客が、といった具合に列を形成してください。 各バスの1番が1列、その右隣が2列、・・・となるように列を並べます。 ここで、ホテルの1、2、3、4、……の部屋を1列目の人で埋め始めると、それが終わらずに2列目に移ってしまうし、1列目から始めようとすると同様である。 そこで、グリッドの左下から右上に走る対角線を考えてみる。 一番左の斜線は、左上の一人（バス0、乗客1）だけに当たるので、その人を部屋1に入れます。 次の斜線は二人（バス1、乗客1、バス0、乗客2）に当たるので、その二人を部屋2、3に入れます。 次の対角線は3人にぶつかる：その人を次の3つの空き部屋、4,5,6に入れる。 このパターンを続けていくと、最終的には駐車場に辛抱強く立っている人たちにそれぞれ部屋を割り当てることになります。

無限大のバスよりももっと深く、無限大に行くことはできるでしょうか。 ヒルベルトのホテルのすぐ隣に駐車場があると想像してください。 1階、ホテルのドアのすぐ横には、すでに知られている無限の数の無限バスがあります。 しかし、駐車場は無限に階数があり、それぞれに無限の数の無限バスがあることに気づきました。 ヒルベルトホテルは、この無限大の層を扱うことができるのでしょうか？ 答えはイエスです。 先ほどの方法で、駐車場の各階に乗客の一列を作り、それぞれの一列が1台の無限バスに乗るように指示することが想像できます。 これで、問題は無限に多くの無限バスに戻り、ホテルに収容できることがわかった

無限性の別のレイヤーを追加したらどうでしょうか。 たとえば、無限に多くの駐車場があり、それぞれに無限に多くのフロアがあり、各フロアに無限に多くのバスがあり、各バスに無限に多くの乗客がいるとしたら？ これは4層の無限大ですが、それでも答えは「イエス」です。 実際、4,000層の無限大でも答えは「イエス」なのだ。 止まることはないのだろうか？ ヒルベルトのホテルが新しい客を収容しきれなくなることはないのだろうか？ ヒルベルトのホテルにとって大きすぎる無限大はあるのでしょうか？ 実際、無限大の層が無限にあったとしたら、すべての人がヒルベルトのホテルに宿泊することはできないでしょう。 では……どうなっているのでしょうか？ この最後の無限大までの無限大は、すべて同じ大きさであることがわかります。 この大きさは、集合ℕ = {1, 2, 3, 4, …}の大きさで、ヒルベルトのホテルの部屋がいくつあるかということで、ℵ0（アレフ・ナット）と呼ばれています。 1874年に無限大の大きさを比較する方法を紹介し、異なる大きさの無限大が存在することを示したのは、ゲオルク・カントールである。 ポアンカレ、クロネッカー、そして後にヴァイルという重要な数学者が彼の考えに強く反対し、また神学者も、カントールの考えは神の絶対無限の一意性に疑問を呈すると主張した。 一方、ヒルベルトはカントールを支持し、擁護した。

無限集合の大きさを比較することは、有限集合の大きさを比較することとそれほど変わらない。 部屋を見て，空の椅子（人より椅子のほうが多い）があるか，立っている人（椅子より人のほうが多い）があるかを見ればいいのです．もし，すべての人が椅子に座り，空の椅子がなければ，椅子の集合と人の集合は同じ大きさです． 同様に、バスの乗客全員にヒルベルトのホテルの部屋が割り当てられ、空の部屋がない場合、乗客の集合はヒルベルトのホテルの部屋の集合と同じ大きさの無限大、ℵ0となる。 カントールはこの考えを用いて、実数の集合ℝが自然数の集合ℕより厳密に大きいことを示した。この美しい議論は「カントールの対角線」として知られるようになった。 カントールはまた、ℕより厳密に大きく、ℝより厳密に小さい無限集合は存在しないという連続体仮説を推測し、証明しようとしたが失敗した。 ヒルベルトは、1900年のパリ国際数学者会議で発表した23の有名な問題リストの最初の問題として、このステートメントが真か偽かを証明することを含め、その後数十年にわたる数学研究の方向性を形作ることになった。 答えは、この仮説が偽であることは証明できないが（ゲーデル、1940年代）、真であることも証明できない（コーエン、1960年代）：決定不能問題である！

ヒルベルトは、無限に関するカントールのアイデアと、それがもたらしたすべての新しい数学について、有名な言葉を残している。 「誰もカントールの作った楽園から我々を追い出せないだろう」

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