ディラック方程式

5月 31, 2021

admin

ディラックが最初に提案した形のディラック方程式は次の通り。

( β m c 2 + c ∑ n = 1 3 α n p n ) ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ψ ( x , t ) ∂ t {displaystyle \left(\beta mc^{2}+csum _{nămathop {=} 1}^{3}alpha _{n}p_{n}right)\psi (x,t)=ihbar {frac {}partial \psi (x,t)}{partial t}}} {pathum {}1}{năma{năma] {}1}^{năma

${displaystyle \left(\beta mc^{2}+c}sum _{nmathop {=} 1}^{3}alpha _{n}p_{n}right)\psi (x,t)=ihbar {frac {partial \psi (x.),t)}{partial t}}$

ここで、ψ＝ψ（x，t）は、時空座標x，tを持つ静止質量mの電子の波動関数である。 p1、p2、p3は運動量の成分で、シュレーディンガー方程式における運動量演算子と理解される。また、cは光速、ħは縮小プランク定数である。これらの基本物理定数は、それぞれ特殊相対性理論と量子力学を反映している。

ディラックがこの方程式を立てた目的は、相対論的に動く電子の振る舞いを説明し、原子を相対論と一致する形で扱えるようにすることであった。

その時まで、古い原子量子論と相対性理論を両立させる試みは、電子の原子核の非円軌道に蓄えられた角運動量の離散化に基づくものでしたが、失敗し、ハイゼンベルク、パウリ、ヨルダン、シュレーディンガー、そしてディラック自身による新しい量子力学もこの問題を扱うには十分に発展していませんでした。ディラックの当初の意図は満たされたものの、彼の方程式は物質の構造に対してはるかに深い意味を持ち、今では基礎物理学の必須要素となっている新しい数学的なクラスのオブジェクトを導入した。

この方程式の新しい要素は、4つの4×4行列α1、α2 、α3、βと、4成分の波動関数ψである。 ψが4成分であるのは、配置空間の任意の点での評価が2成分であるためである。

4×4行列αkとβはすべてエルミートで不等号である：

α i 2 = β 2 = I 4 {\displaystyle \_{i}^{2}=beta ^{2}=I_{4}}

$alpha _{i}^{2}=I_{4}$

そしてそれらはすべて相互に逆コミットしているのです。

α i α j + α j α i = 0 ( i ≠ j ) { \ _{i}alpha _{j}+alpha _{j}alpha _{i}=0 heterquad (ineq j)} } α i α j + α j α i = 0 ( i ≠ j ) { α α α ≠ 0 ( i ≠ j ) { Α Α α _ {j } + Α Α _ {j }=0̮ Α ｛α _ {j

${displaystyle \alpha _{i} hetera _{j}+ hetera _{j}alpha _{i}=0 heterquad (iarette j)}$

α β + βα i = 0 {displaystyle \alpha _{i}β + heterbeta \ alpha _{i}=0} ｛Displaystyle ↘β β α α = 0 ｝{displaystyle ↘β β β α = 0

${displaystyle \alpha _{i} +beta \alpha _{i}=0}$

これらの行列と波動関数の形は、数学的に深い意味を持っているのです。ガンマ行列が表す代数的な構造は、約50年前にイギリスの数学者W.K.クリフォードによって創始されました。クリフォードのアイデアは、19世紀半ばにドイツの数学者ヘルマン・グラスマンが発表した『線形拡張の理論』から生まれたものである。グラスマンの『線分延長論』は、当時の数学者からは理解不能とされていた。

このように、単一の記号的な方程式は、波動関数を構成する4つの量に対する4つの結合した線形一階偏微分方程式に解きほぐされる。この方程式はプランク単位でより明示的に次のように書くことができる。

i ∂ t = i ∂ x + ∂ y + i ∂ z + m {displaystyle i }partial _{t}{ }begin{bmatrix}psi _{1} } {2} commentspsi _{4} end{bmatrix}}=i}partial _{x}{begin{bmatrix}- {3} comments commentspsi _{4} end {matrix}} {3} comments commentspipsi _{2} {4}} {3} comments commentspsi _{2} } {4} comments commentspipsi _{2} {4} commentspsipsi _{2} {3} commentspipsi _{2} {3} commentspipsi _{2} {3} comments\για – για – για – για 1+partial _{y}{begin{bmatrix}-\Ίταμμα για για για για για για για για για για για για για για για για για για για γιβή – α-α\psi _{1}}+psi _{2}end{bmatrix}}+m{begin{bmatrix}+psi _{1}}+psi _{2}-psi _{3}-psi _{4}end{bmatrix}}} {{2}-psi _{3}-psi _{3}-pi _{2}end{bmatrix}} {{1}-pi _{2}-pi _{2}-pi _{3}-pi _{2}-psi_end{}}}。

${displaystyle i_partial _{t}{begin{bmatrix}}psi _{1} Commentsi _{2} Commentsi _{3} Commentsi _{4}end{bmatrix}}=i_partial _{x}{begin{bmatrix}-Падключ-мощью\Ίταμμα για για για για για για για για για για για για για για για για για για για γιβή - ipartial _{z} {begin{bmatrix}- για - {bmatrix\Ίταμμα για για για για για για για για για για για για για για για για για για γιβή - α- για γ-ή\psi _{4}end{bmatrix}}$

これによって、4つの未知関数を持つ4つの偏微分方程式の集合であることが明確になりました。

シュレーディンガー方程式を相対化するEdit

Dirac方程式は表面的には重い自由粒子に対するシュレーディンガー方程式に似ています：

– ℏ 2 2 m ∇ 2 φ = i ℏ ∂ t φ . {ℏ ∂ t ϕ ∂ ∂ .

${Displaystyle}-{Phrac {HAR ^{2}}{2m}}nabla ^{2}}phi =ihbar {Phrac {Partial }{Partial t}}phi ~.}$

左辺は運動量演算子を質量で2分割した二乗を表し、これが非相対運動エネルギーとなる。相対論は空間と時間を全体として扱うので、この式を相対論的に一般化すると、光の振る舞いを支配するマクスウェル方程式のように空間と時間の微分が対称に入ること、つまり空間と時間で同じ次数の微分方程式であることが必要である。相対論では、運動量とエネルギーは、時空ベクトルである4運動量の空間と時間の部分であり、相対論的に不変な関係

E 2 = m 2 c 4 + p 2 c 2 {displaystyle E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}} により関係づけられている。

${displaystyle E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}}$

これは、この4ベクトルの長さが静止質量mに比例することを意味しています。シュレーディンガー理論からエネルギーと運動量の作用素等価物を代入すると、相対論的に不変な物体から構成される波の伝播を記述するクライン＝ゴードン方程式が得られる。

( – 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 + ∇ 2 ) ϕ = m 2 c 2 ℏ 2 ϕ {displaystyle \left(-{{frac {1}{c^{2}}{frac {}partial t^{2}}+}nabla ^{2} translated)\phi ={hrac {m^{2}c^{2}}{hbar ^{2}} }} {frac{}{}{}pdf } {frac{}{}{}t{2}}}{pdf }} {frac{}{}pdf {}{}{}pdf {}{}pdf }} {frac{}c^{2} {}pdf {}pdf } {frac{}{}pdf #1}{}{}pdf{}}} {frac{}{}pdf {}pdf

$\left(-{frac {1}{c^{2}}{partial t^{2}}+nabla ^{2}right)\phi ={hrac {m^{2}c^{2}}{hbar ^{2}}}$

with wave function φ is a relativistic scalar: は、すべての参照枠で同じ値を持つ複素数です。空間と時間の導関数は両方とも2次まで入ります。このことは、方程式の解釈にとって重要な結果をもたらします。この方程式は時間微分で2階なので、確定的な問題を解くためには、波動関数そのものとその1次時間微分の両方の初期値を指定しなければならないのです。両者とも多かれ少なかれ任意に指定できるため、波動関数は、ある運動状態にある電子を見つける確率密度を決定するという、従来の役割を維持することができない。シュレーディンガー理論では、確率密度は正定値式

ρ = ϕ∗ ϕ {\displaystyle \rho =\phi ^{*}\phi } で与えられます。

${displaystyle \rho = phi ^{*} phi }$

そしてこの密度は確率電流ベクトル

J = – iℏ 2 m ( ϕ * ∇ϕ – ϕ ∇ϕ * ∗ ) {displaystyle J=- …{frac {ihbar }{2m}}(\π ^{*} -⑭π ^{*})} (\π ^{*} -⑯π ^{*})} (\π ^{*} -⑯π ^{*})

${theme J=-{frac {ihbar }{2m}}(\phi ^{*}nabla \ -phi \nabla ^{*})}$

with conservation of probability current and density following from continuity equation:

∇ ⋅ J + ∂ ρ ∂ t = 0 . {displaystyle \nabla \cdot J+{Chatfrac {partial \rho }{partial t}}=0~.}} .

${Displaystyle \nabla \cdot J+{frac {}{partial \rho }{partial t}}=0~.}$

この連続性方程式に従って密度が正定値で対流するということは、ある領域上で密度を統合してその合計を1として、保存則でこの状態が維持されることを示唆している。確率密度流を持つ適切な相対論も、この特徴を共有しなければならない。さて、対流する密度という概念を維持したいのであれば、スカラー波動関数に対して空間・時間微分が再び対称的に入るように、密度と電流のシュレーディンガー表現を一般化しなければならない。電流のシュレーディンガー式はそのままでよいが、確率密度は対称的に形成された式

ρ = i ℏ 2 m c 2 ( ψ∗ ∂ t ψ – ψ ∂ t ψ∗ ) に置き換えなければならない。 Ÿdisplaystyle Ÿrho ={Thrac {i}hbar }{2mc^{2}}}(\psi ^{*}} {partial _{t}psi -｜partial _{t}psi ^{*})~.} Ÿdisplaystyle Ÿpartial _{t}psi -｜partial _{t}psi ^{*} Ÿrdisplaystyle Ÿrdisplaystyle

${displaystyle \rho ={frac {ihbar }{2mc^{2}}}(\psi ^{*}partial _{t}}psi -the \partial _{t}}psi ^{*})~.}.}$

これが時空ベクトルの第4成分となり、全体の確率4電流密度は相対論的に共変式

J μ = iℏ 2 m ( ψ∗ ∂ μ ψ – ψ∂ μ ψ∗ ) を持つようになります。 {displaystyle J^{Mu }={Cfrac {ihbar }{2m}}(\psi ^{*} {partial ^{Mu } }psi -｜Partial ^{Mu }} ^{*})~.} ←クリックすると拡大します。

${Displaystyle J^{Mu }={Cfrac {ihbar }{2m}}(\psi ^{*}partial ^{Mu } }psi -｜Psi \partial ^{Mu }})~.}$

連続性方程式は従来通りでよいです。これで全て相対論と一致するが、密度の式が正定値でなくなったことがすぐに分かる。ψと∂tψの初期値は自由に選ぶことができるので、密度が負になることがあるが、これは正当な確率密度ではあり得ないことである。このように、波動関数が相対論的なスカラーであり、それが満たす方程式が時間の2階であるという素朴な仮定では、シュレーディンガー方程式の単純な一般化を得ることはできない。

シュレーディンガー方程式の相対論的一般化は成功しなかったが、この方程式は場の量子論の文脈で復活し、クラインゴードン方程式と呼ばれ、スピンなしの粒子場（たとえば、パイ中間子、ヒッグスボーン）を記述している。歴史的には、シュレーディンガー自身が、自分の名前を冠した方程式よりも先にこの方程式にたどり着いたが、すぐに破棄している。

Dirac’s coupEdit

Dirac はこのように、空間と時間の両方で一次である方程式を試してみようと考えたのです。たとえば、形式的に (すなわち E = c p 2 + m 2 c 2 , {\displaystyle E=c{sqrt {p^{2}+m^{2}c^{2}}~,}

${displaystyle E=c{sqrt {p^{2}+m^{2}c^{2}}~ をエネルギーに対する相対論的式として公式に取ることができる．}$

pをその演算子相当で置き換え、平方根を微分演算子の無限系列で展開し、固有値問題を設定し、反復によって方程式を正式に解きます。ほとんどの物理学者は、たとえ技術的に可能であったとしても、そのようなプロセスにはほとんど信頼を置いていませんでした。

話は変わりますが、ディラックはケンブリッジで暖炉を見つめながらこの問題を考えていたとき、波動演算子の平方根をとるというアイデアを思いついたのです。

∇ 2 – 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 = ( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t ) ( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t ) . {displaystyle \nabla ^{2}- .{frac {1}{c^{2}}{C} {partial ^{2}}{partial t^{2}}}=Centaleft(A}+B}{partial _{y}+C}{partial _{z}+{Centafrac ({i}{c}}Dpartial _{t}right)\left(A}Partial _{x}+Bpartial _{y}+Cpartial _{z}+{frac {i}{c}}Dpartial _{t}right)~.のようになります。}

${displaystyle \nabla ^{2}-</div>.{frac {1}{c^{2}}{C} {partial ^{2}}{partial t^{2}}}=left(A}+B}+Y}+C}+Z}+{frac {i}{c}}Dpartial _{t}right)\left(A}{partial _{x}+B}{partial _{y}+C}{partial _{z}+{frac {i}{c}}Dpartial _{t}right)~.}$

右辺を掛け合わせると、∂x∂yなどのクロスタームが全て消滅するためには、

A B + B A = 0 ,… {displaystyle AB+BA=0,~\ldots ~} と仮定しなければならないことが分かる。

${Thinkdisplaystyle AB+BA=0,~dots ~}$

with

A 2 = B 2 = … = 1 …. {displaystyle A^{2}=B^{2}=Threshold =1~.}.

${Thinkdisplaystyle A^{2}=B^{2}=dets =1~.}$

ちょうどハイゼンベルグの行列力学の基礎に取り組んでいたDiracは、A、B、C、Dが行列ならこの条件を満たすことを直ちに理解し、その結果波動関数に複数の成分があることを意味するようになったのです。このことは、それまでパウリ自身さえも謎であった、パウリのスピンの現象論における2成分の波動関数の出現を、即座に説明するものであった。しかし、必要な性質を持つ系を構成するには、少なくとも4×4の行列が必要である。つまり、波動関数は、パウリ理論のような2成分でも、素のシュレーディンガー理論のような1成分でもなく、4成分だったのである。 4成分の波動関数は、物理理論における新しい数学的対象であり、ここで初めて登場したのです。

これらの行列による因数分解が与えられる。という方程式をすぐに書き下すことができます

( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t ) ψ = κ ψ {ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

${displaystyle \left(Apartial _{x}+Bpartial _{y}+Cpartial _{z}+{frac {i}{c}}Dpartial _{t}right)\psi =kappa \psi }$

with κ {displaystyle \kappa } .

$kappa$

が決定される。両辺に再び行列演算子を適用すると、( ∇ 2 – 1 c 2 ∂ t 2 ) ψ = κ 2 ψ が得られる。 {Ίταμμα για για για για για για για για για για για για για για για για σση για για σση για για ση για για στο

${displaystyle \left(\nabla ^{2}-{Cfrac {1}{c^{2}}}partial _{t}^{2}}right)\psi =Cappa ^{2}Carpsi ~.}$

On taking κ = M C ℏ {displaystyle \kappa ={Tfrac {mc}{hbar }}} {Displaystyle ℏ

${Displaystyle \kappa ={Tfrac {mc}{hbar }}}$

波動関数のすべての成分が個々に相対論的エネルギー運動量関係を満たしていることがわかります。したがって、空間的にも時間的にも一次的な方程式は ( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t – m c ℏ ) ψ = 0 … であることが求められます。 {Filter Filter Filter Filter Filter Filter Filter Filter Filter Filter Filter Filter Filter Filter Filter Filter Filter}

${displaystyle \left(Apartial _{x}+Bpartial _{y}+Cpartial _{z}+{frac {i}{c}}Dpartial _{t}-{frac {mc}{hbar }}right)\psi =0~を追加しました。}$

設定

A = i β α 1 , B = i β α 2 , C = i β α 3 , D = β , {displaystyle A=i\beta \alpha _{1}\,,\,B=ibeta \alpha _{2},,\,C=ibeta \alpha _{3},,\,D=beta ~,}

${displaystyle A=ibeta \alpha _{1},,\,B=ibeta \alpha _{2} Comments,,\,C=iAlpha _{3} ,\,D=penta ~,}$

and because D 2 = β 2 = I 4 , {displaystyle D^{2}=penta ^{2}=I_{4}~,}

${displaystyle D^{2}=Thatbeta ^{2}=I_{4}~,}$

上に書いたようにDirac方程式が得られます。

共変形式と相対論的不変性編集

方程式の相対論的不変性を示すには、空間微分と時間微分が同等に現れる形式にするのが有利である。新しい行列は次のように導入される。

D = γ 0 , {}displaystyle D=gamma ^{0}~,}

${displaystyle D=gamma ^{0}~,}$

A = i γ 1 , B = i γ 2 , C = i γ 3 , {displaystyle A=igamma ^{1}~,\quad B=igamma ^{2}~,\quad C=igamma ^{3}~,}

${displaystyle A=igamma ^{1}~,\quad B=igamma ^{2}~,\quad C=igamma ^{3}~を含む{{Displaystyle A=igamma ^{3}~,\quad B=igamma^{2}~を除く。}$

となり、式は次のような形になる（4-の共変成分の定義を覚えておくとよい）。勾配と特に ∂0 = 1/c∂t )

Dirac equation

i ℏ γ μ ∂ μ ψ – m c ψ = 0 {displaystyle ihbar \gamma ^{\mu }partial _{mu }psi -mc àpsi =0}

$ihbar \gamma ^{Mu }}partial _{Mu }}psi -mcpsi =0$

ここで、2回繰り返されるインデックスμ = 0, 1, 2, 3 の値に対する暗黙の和があり、∂は4グラデーションです。実際には、ガンマ行列は、パウリ行列と 2×2 の単位行列から取られた 2×2 の部分行列で書かれることが多いのですが、この場合、ガンマ行列は、2×2 の単位行列で書かれます。標準的な表現は、

γ 0 = ( I 2 0 0 – I 2 ) , γ 1 = ( 0 σ x – σ x 0 ) , γ 2 = ( 0 σ y – σ y 0 ) , γ 3 = ( 0 σ z – σ z 0 ) . {\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}}~,\gamma ^{1}=\left({\begin{array}{cccc}0&\sigma _{x}\\-\sigma _{x}&0\end{array}}\right)~,\gamma ^{2}=\left({\begin{array}{cccc}0&\sigma _{y}\\-\sigma _{y}&0\end{array}}\right)~,\gamma ^{3}=\left({\begin{array}{cccc}0&\sigma _{z}\\-\sigma _{z}&0\end{array}}\right)~.}

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}0\\0-I_{2}\end{pmatrix}}~,\gamma ^{1}=\left({\begin{array}{cccc}0\sigma _{x}\\-\sigma _{x}0\end{array}}\right)~,\gamma ^{2}=left({}begin{array}{cc}0sigma _{y}0 theath-psigma _{y}0 end{array}}right)~,\gamma ^{3}=left({}begin{array}{cc}0 sath-psigma _{z}0 oph-psigma _{z}0end{array}}right)~.$

完全な系は、時空上のミンコフスキー計量を使って

{ γ μ , γ ν }という形で要約されます。 = 2 η μ ν I 4 {displaystyle \{gamma ^{Camu },\{gamma ^{Camnu }}=2}eta ^{Mu } I_{4}}

${Displaystyle \{gamma ^{mu },\gamma ^{nu }}=2eta ^{mu }I_{4}}$

ここで括弧式

{ a , b }の場合。 = a b + b a {displaystyle \{a,b}=ab+ba}.

${displaystyle \{a,b}=ab+ba}$

は反共役を表します。これらは、計量署名(+ – -)を持つ擬似直交4次元空間上のクリフォード代数の定義関係である。 Dirac方程式で使われたクリフォード代数は、今日ではDirac代数として知られている。 Dirac 方程式が定式化された当時、Dirac はそのように認識していなかったが、今にして思えば、この幾何学代数の導入は量子論の発展において大きな前進を意味する。

現在 Dirac 方程式は固有値方程式として解釈でき、ここで静止質量は 4 モーメント演算子の固有値に比例し、比例定数は光速となる：

P o p ψ = m c ψ . {displaystyle P_{mathrm {op} }psi =mc_psi ~.}.

${displaystyle P_{mathrm {op}}. }psi =mcpsi ~.}$

Using ∂ / = d e f μ γ ∂ μ {displaystyle {partial \!/} {stackrel {mathrm {def} } }} {displaystyle {displaystyle {partial ¦¦¦11} } } } } }} {sm_2202 } {sm_2202 } {simpsi =mcpsi ~.} {sim_2102 } {sm_2102 }{=}}

${displaystyle {partial Ⓐ} {stackrel {}mathrm {def}. }{=}} </p>$

( ∂ / {displaystyle {partial _{meu }}} {displaystyle {partial _{meu }}} {displaystyle {partial _{meu }}} {displaystyle {partial _{meu }} {displaystyle {partial _{meu }}} {diamond}}{big/}{{diamond}})。

${partial \!{big /}$

は「ディースラッシュ」と発音する）ファインマンスラッシュ表記によれば、Dirac方程式は、i ℏ ∂ / ψ – m c ψ = 0となる。 {Ȃ -mcpsi =0.} ┛┛┛┛┛┛┛ㄧ

${displaystyle ihbar {partial \!{}big /}}}psi -mc}psi =0.}$

実際には、物理学者はしばしば自然単位と呼ばれるħ = c = 1となる単位を使っています。このとき、方程式は次のような簡単な形になります。

Dirac equation (Natural units)

( i ∂ / – m ) ψ = 0 {displaystyle (i{partial \!{}-m)\psi =0}} 。

${displaystyle (i{partial \!{big /}}-m)\psi =0}$

基本定理は、クリフォード関係を満たす二つの異なる行列のセットが与えられた場合、それらは相似変換により互いに接続されるとしている：

γ μ ′ = S – 1 γ μ S . {displaystyle \gamma ^{mu }=S^{-1} ◇gamma ^{mu }S~.}.

${displaystyle \gamma ^{mu \prime }=S^{-1}gamma ^{mu }S~.S}.}$

さらにDirac集合のように行列がすべてユニタリーなら、S自体もユニタリーです;

γ Μ′ = U † γ μ U . {displaystyle \gamma ^{mu }U^{dagger }U~.} } † γ Μ′ = U † γ μ U † γ Μ }U{mu }U{mu }U{mgamma ^{mu }U~.} {displaystyle | γ ｜dagger ｜U{mu

${displaystyle \gamma ^{mu \prime }=U^{dagger }gamma ^{mu }U~.}$

変換Uは絶対値1の乗法因子まで一意である。ここで、空間座標と時間座標、および微分演算子に対してローレンツ変換が行われ、共変ベクトルが形成されたと想像してみよう。演算子γμ∂μが不変であるためには、ガンマはその時空間指標に対して反変動ベクトルとして互いに変換する必要があります。これらの新しいガンマは、ローレンツ変換の直交性により、それ自身がクリフォードの関係を満たすことになります。基本定理により、新しい集合を、ユニタリー変換を施した古い集合に置き換えることができる。新しいフレームでは、静止質量が相対論的スカラーであることを考えると、Dirac方程式は

( i U † γ μ U ∂ μ ′ – m ) ψ ( x ′ , t′ ) = 0 {displaystyle (iU^{dagger }Gamma ^{Àmu }Upartial _{Àmu }^{АР }-m)\psi (x^{АР },t^{АР })=0} {displaystyle (iU^{АР }Gamma ^{АР }Upartial _{àР })}{àР }-M

$(iU^{dagger }U}gamma ^{}U}partial _{mu }^{prime }-m)\psi (x^{Prime },t^{Prime })=0$

U † ( i γ ∂ μ ′ – m ) U ψ ( x ′ , t ′ ) = 0 . {displaystyle U^{dagger }(ièmegamma ^{Подко} _{Подко}^{me}-m)Upsi (x^{Подко},t^{Подко})=0~.} .

${displaystyle U^{dagger }(ièmegamma ^{Пода }}partial _{mu }^{prime }-m)Upsi (x^{prime },t^{prime })=0~.} となります。}$

ここで、変換されたスピナー

ψ′=U ψ {displaystyle \psi ^{enta }=Upsi }を定義すると、以下のようになります。

${displaystyle \psi ^{prime }=U }$

then we have the transformed Dirac equation in way that demonstates manifest relativistic invariance:

( i γ μ ∂ μ ′ – m ) ψ ′ ( x ′ , t ′ ) = 0 . {displaystyle (iGamma ^{ПодПо}}partial _{ПодПо}^{ПодПо}-m)\psi ^{ПодПо}(x^{ПодПо},t^{ПодПо})=0~.} ｛Displaystyle (iGamma ^{ПодПо})

${displaystyle (iffeegamma ^{}mu }}partial _{mu }^{prime }-m)\psi ^{}prime }(x^{}prime },t^{})=0~.}.}$

このように、ガンマの任意のユニタリー表現が決まれば、与えられたローレンツ変換に対応するユニタリー変換に従ってスピノールを変換すれば確定となる。

採用されたディラック行列のさまざまな表現は、ディラック波動関数における物理的内容の特定の側面に焦点を当てることになります（下記参照）。

以上の考察から、ガンマの起源は幾何学であり、グラスマンの当初の動機を思い起こすと、それは時空における単位ベクトルの固定基底を表していることがわかります。同様に、γμγνのようなガンマの積は配向した曲面要素を表し、また、γμγνのようなガンマの積は、配向した曲面要素を表します。これを踏まえて、時空上の単位体積要素の形をガンマで求めると、次のようになる。定義によれば、

V = 1 4 ! ϵ μ ν α β γ μ ν γ α γ β . V={frac {1}{4!}}epsilon _{mu \nu \alpha }{beta }gamma ^{mu }{nu }{gamma ^{alpha }{beta }.} } .

$V={{frac {1}{4!}} {}epsilon _{Mu }{Nu }{ALpha }{Beta }{gamma ^{mu }{Nu }{Gamma ^{alpha }{Beta }}.V.S.A.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.S.$

これが不変量であるためには、ε記号はテンソルでなければならず、したがって√gの因子を含まなければならない、ここでgはメートルテンソルの行列式である。これは負であるから、その因子は虚数である。したがって

V = i γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 . {V=iGamma ^{0} ΘGamma ^{1} ΘGamma ^{2} ΘGamma ^{3}~.}.

${displaystyle V=i}Gamma ^{0}Gamma ^{1}Gamma ^{2}Gamma ^{3}~.}$

この行列は時空の不適切な変換、すなわち基底ベクトルの方向を変える変換を考えるときに重要なので特殊記号γ5を与えられています。標準的な表現では、

γ 5 = ( 0 I 2 I 2 0 ) . {\displaystyle \gamma _{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}~.}

$\gamma _{5}={\begin{pmatrix}0I_{2}\\I_{2}0\end{pmatrix}}~.$

この行列は他の4つのDirac行列とも反衝突することがわかります：

γ 5 μ + γ μ γ 5 = 0 {displaystyle \gamma ^{5} ◇gamma ^{mu }+ ◇gamma ^{5}=0}

↑この行列は、DIRAC行列の他の4つの行列と反共役になることがわかります。

${displaystyle \gamma ^{5}}} ^{mu }+gamma ^{mu }}=0}$

時空反射で符号が変わるので、parityの問題があるときに主役になる。

Conservation of probability currentEdit

By defining the adjoint spinor

ψ¯ = ψ † γ 0 {displaystyle {}{bar {psi }}=\psi ^{dagger }} {}gamma ^{0}} 。

${displaystyle { {\bar {}=pipesi ^{dagger }}$

ここでψ†はψの共役転置である。となり、

( γ μ ) † γ 0 = γ 0 γ μ , μ }= \gamma ^{0}= \gamma ^{0} }~.となることに注意する。}

${Thinkdisplaystyle (\gamma ^{mu })^{dagger }gamma ^{0}=Gamma ^{0}Gamma ^{mu }~,}$

Dirac方程式のHermitian conjugateを取ってγ0を右からかけると随伴方程式が得られます。

ψ¯ ( i γ μ ∂ μ + m ) = 0 , {}displaystyle {}bar {psi }}(i }gamma ^{mu }}partial _{mu }+m)=0~.ψ ¯ ( i γ ∂ μ + m ) = 0 , {}bar } }(i } } {}mu }}(i }}(i}{mu}) = 0~,}

${displaystyle { { paragraph}(igamma ^{mu }}partial _{mu }+m)=0~,}$

ここで∂μは左側に作用すると理解されます。 Dirac方程式に左からψを掛け、随伴方程式に右からψを掛けて足すと、Dirac電流の保存則が得られる：

∂ μ ( ψ ¯ γ μ ψ ) = 0 . {displaystyle \left({}bar {}psi }} {}gamma ^{mu } }psi \right)=0~.} .

${displaystyle}{partial _{mu }} {left({}bar {psi }}gamma ^{mu }}psi \right)=0~.}.}$

Now we see the great advantage of the first-order equation over the one Schrödinger had tried – this is the conserved current density required by relativistic invariance, only now its 4th component is positive definite and thus suitable for the role of a probability density:

J 0 = ψ ¯ γ 0 ψ = ψ † ψ . {displaystyle J^{0}={}bar {}}γ ^{0}}}psi =}psi ^{dagger }}psi ~.}.

${displaystyle J^{0}={bar {}}\gamma ^{0}\psi =\psi ^{dagger }psi ~.}$

確率密度がシュレーディンガー方程式での単純なスカラーではなく相対論ベクトルの第4成分として現れるため、時間拡張など通常のローレンツ変換の影響を受けることになります。このため、例えば、速度として観測される原子過程では、相対論と整合するような調整が行われ、エネルギーや運動量の測定では、それ自体が相対論的なベクトルを形成しているので、観測値の相対論的共分散を維持したまま平行移動が行われることになる。このときディラック電流自体は時空間共変の4ベクトルである：

J μ = ψ ¯ γ μ ψ . {displaystyle J^{mu }={{bar} {psi }} {gamma ^{mu } }psi .}}

${Thisdisplaystyle J^{Mu }={{bar {psi }} γ ^{mu } }psi .}$

SolutionsEdit

Dirac equationの解についてはDirac spinorを参照ください。ディラック演算子は正積分可能な関数の4タプルに作用するので、その解は同じヒルベルト空間のメンバーであるべきであることに注意してください。解のエネルギーに下限がないのは予想外でした。詳細は後述のホール理論の項を参照してください。

Pauli理論との比較編集

こちらも参照してください。 Pauli方程式

半整数のスピンを導入する必要性は、実験的にはStern-Gerlach実験の結果まで遡る。原子のビームを強い非一様磁場に通すと、原子の固有角運動量に応じたN個の部分に分裂する。原子の固有角運動量をできるだけ小さくして1としても、Lz = -1, 0, +1の原子に対応する3つの部分に分かれてしまうからである。結論として、銀原子の固有角運動量は1/2であることがわかったのである。パウリは、この分割を説明するために、2成分の波動関数とそれに対応する補正項をハミルトニアンに導入し、この波動関数と磁場の半古典的結合をSI単位で表現する理論を構築した。 (太字は3次元のユークリッドベクトルを意味し、ミンコフスキー4ベクトルA μ = ( ϕ / c , – A ) {displaystyle A_{mu }=(\phi /c,-theatermathbf {A} )} として定義できることに注意)。

${displaystyle A_{mu }=(\π /c,-themathbf {A} )}$

.) H = 1 2 m ( σ・( p – e A ) ) 2 + e ϕ . {H={frac {1}{2m}}left({Ⓐ }}Ⓐ(Ⓐmathbf {p} -emathbf {A} )Ⓕ)^{2}+eπ ～.} .

${{displaystyle H={⌈frac {1}{2m}}}left({⌈boldsymbol {sigma }}⌋left(\mathbf {p} -e↪Mathbf {A} \right)^{2}+e\phi ~.후후}){{{{1}}{2}+e}{{2m}{3}{4}{3}{4}{4}{4}{5}{6}}を含む。}$

ここで、Aとφ{displaystyle \phi }は。

$phi$

は標準SI単位で電磁四電位の成分を表し、3つのシグマはパウリ行列を表しています。最初の項を二乗すると、磁場との残留的な相互作用が、SI単位で印加磁場と相互作用する荷電粒子の通常の古典ハミルトニアンとともに見いだされる。 H = 1 2 m ( p – e A ) 2 + e ϕ – e ℏ 2 m σ⋅ B . {displaystyle H={frac {1}{2m}}left(\mathbf {p} -emathbf {A} \right)^{2}+eцπ -{frac {ehbar }{2m}}{boldsymbol {sigma }}cdot \mathbf {B} ～.} .

${Thisdisplaystyle H={{frac {1}{2m}} ◇left(\mathbf {p} -emathbf {A} ◇right)^{2}+EMPHI -{frac {e}hbar }{2m}{boldsymbol {sigma}} ◇cdot ◇mathbf {B} ~.｝ ↘↑。}$

このハミルトニアンは2×2行列になったので、これをもとにしたシュレーディンガー方程式は2成分の波動関数を使わなければなりません。同様の方法で外部の電磁気4ベクトルポテンシャルをDirac方程式に導入すると、最小結合と呼ばれ、

( γ μ ( i ℏ ∂ μ – e A μ ) – m c ) ψ = 0 という形となる。 {displaystyle (\gamma ^{mu }(ihbar \partial _{mu }-eA_{mu })-mc)\psi =0~.}となります。

${displaystyle (\gamma ^{mu }(ihbar \partial _{mu })-mc)\psi =0~.}$

Dirac operatorの2度目の適用では、空間Dirac matrices multiplied by i, has the same squaring and commutation properties as the Pauli matricesのために以前として全く同様にPuli項を再生成できるようになりました。しかも、パウリの新項の前に立っている電子のジャイロ磁気比の値は、第一原理から説明される。これはDirac方程式の大きな成果であり、物理学者たちにその全体的な正しさへの大きな信頼を与えた。しかし、まだある。パウリ理論は、次のようにディラック理論の低エネルギー極限と見なすことができる。まず方程式はSI単位を元に戻した2-スピナーの連立方程式で書かれる：

( ( m c 2 – E + e φ ) c σ・ ( p – e A ) – c σ・ ( p – e A ) ( m c 2 + E – e φ ) )である。 ( ψ + ψ – ) = ( 0 0 ) . displaystyle {begin{pmatrix}(mc^{2}-E+ephi )&c{boldsymbol {sigma }}cdot \left(\mathbf {p} -e{A} \right){c{boldsymbol {sigma }}cdot \left(\mathbf {p} -)e\mathbf {A} \right)&\left(mc^{2}+E-e\phi \right)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}~.}

${displaystyle {begin{pmatrix}(mc^{2}-E+e\ phi )c{boldsymbol {sigma }}cdot \left(\mathbf {p} -e}mathbf {A} \right)\-c{boldsymbol {sigma }}cdot \left(\mathbf {p} -)emathbf {A} \right)\left(mc^{2}+E-e-ephi \right)\end{pmatrix}}{begin{pmatrix}psi _{+}}}-end{pmatrix}}={begin{pmatrix}0}}end{pmatrix}~.}$

( E – e ϕ ) ψ + – c σ・ ( p – e A ) ψ – = m c 2 ψ + { {displaystyle (E-)ephi )\psi _{+}-c{boldsymbol {emathbf {A}} \left(\mathbf {p} -emathbf {A} \right)\psi _{-}=mc^{2} {psi _{+}}.

${Displaystyle (E-ephi )} \psi _{+}-c{}boldsymbol {sigma }}cdot \left(\mathbf {p} -e<mathbf {A} \right)\psi _{-></p> <p>{displaystyle (E-ephi ) (E-e-ephi ) (E-emathbf {P}) {p } -e<mathbf } } {c>{d}cdot}=mc^{2}psi _{+}}$

– ( E – e φ ) ψ – + c σ・ ( p – e A ) ψ + = m c 2 ψ – {displaystyle – {displaystyle(E-ephi )\psi _{-}+c{{boldsymbol {sigma }} ◇left(\mathbf {p} -emathbf {A} ◇right)◇psi _{+}=mc^{2} ◇psi _{-}} ◇c{dot {c} {c} {c} {e} {e} {e} {e} {e} {d} +c{dot } ◇c{dot {e

${displaystyle -(E-ephi )\psi _{-}+c{boldsymbol {sigma }}</cdot \left(\mathbf {p} -emathbf {A} \right)\psi _{+}=mc^{2}psi _{-}$

Assisting field is weak and motion of electron is nonrelativistic, 電子の全エネルギーは静止エネルギーとほぼ等しく、運動量は古典的な値

E – e ϕ ≈ m c 2 {displaystyle E-ephi \approx mc^{2}} になります。

$E-ephi \approx mc^{2}$

p ≈ m v {displaystyle \mathbf {p} } }. \♪♪～

MATHBF {P}. \ψ – ≈ 1 2 m c σ ・ ( p – e A ) ψ + {displaystyle \psi _{- } }.}approx {frac {1}{2mc}}{boldsymbol {sigma }} \left(\mathbf {p} -emathbf {A} \right)\psi _{+}}.

${approx {frac {1}{2mc}}{boldsymbol {sigma }}cdot \left(\mathbf {p} -emathbf {A} \right)\psi _{+}}$

which is of order v/c – thus at typical energy and velocities, 標準表現におけるディラック・スピナーの下部成分は、上部成分と比較してかなり抑制されています。この式を最初の式に代入すると

( E – m c 2 ) ψ + = 1 2 m 2 ψ + + e ϕ ψ + {displaystyle (E-mc^{2})\psi _{+}={frac {1}{2m}} ◇left^{2} ◇ephi ◇psi _{+}} が得られます。

${displaystyle (E-mc^{2})\psi _{+}={frac {1}{2m}} ◇left^{2} ◇psi _{+}+ephi ◇psi _{+}}$

左のオペレータは粒子のエネルギーを静止エネルギーで減らしたものです。は古典的なエネルギーに過ぎないので、彼の2-スピノールを非相対論的近似におけるディラック・スピノールの上部成分と同定すれば、パウリの理論を回復することができるのです。さらに近似すると、パウリ理論の極限としてシュレーディンガー方程式が得られます。このように、シュレーディンガー方程式は、スピンを無視し、低エネルギー、低速度でのみ働く場合のディラック方程式の遠距離非相対論的近似と見なすことができるのです。また、この方程式に現れる不思議なiと、複素波動関数の必要性を、ディラック代数を通して時空の幾何学に遡及させたことも、新しい方程式の大きな勝利であった。また、シュレーディンガー方程式が、表面的には拡散方程式の形をしているものの、実際には波の伝播を表している理由も強調されています。

このディラック・スピナーの大小の成分への分離は、低エネルギー近似に明示的に依存していることを強く強調する必要があります。 934>

Weyl理論との比較編集

極限m → 0では、Dirac方程式はWeyl方程式に還元され、相対論的質量なしスピン-1/2粒子を記述することができる。

Dirac LagrangianEdit

Dirac方程式とAdjoint Dirac方程式の両方は、以下のように与えられる特定のLagrangian密度で作用から（変化）得ることができる。

L = i ℏ c ψ ¯ γ μ ∂ μ ψ – m c 2 ψ ¯ ψ {displaystyle {mathcal {L}}=i }hbar c{overline { psi }}γ ^{\mu }partial _{meu }psi -mc^{2}{overline { psi }}psi } {pice}と表される特定のラグランジュ密度を持つ作用から得ることができる。

{mathcal {L}}=ihbar c{overline {}} {}gamma ^{mu }}partial _{mu }}psi -mc^{2}{overline {}psi }} {5998>