2002年11月、ペレルマンはarXivに3つのプレプリントのうちの1つを投稿し、その中でポアンカレ予想の特殊ケースである幾何学化予想の証明の概要を述べたと主張した。 その後、2003年に他の2つのプレプリントが発表された。

Perelmanは、Richard S. Hamiltonの予想証明のためのプログラムを修正した。 その中心的なアイデアはリッチ流の概念である。 Hamiltonの基本的な考え方は、与えられた3次元多様体が幾何学的に歪む「動的過程」を定式化し、その歪み過程を熱方程式に類似した微分方程式で支配することである。 熱の方程式は、温度のようなスカラー量の振る舞いを記述する。 この方程式は、温度が上昇すると、物体全体に均一な温度が得られるまで、その濃度が広がっていくことを保証する。 同様に、リッチ流は、リッチ曲率テンソルというテンソル量の振る舞いを記述する。 ハミルトンは、リッチ流の下では、大きな曲率の集中が、3多様体全体で均一な曲率になるまで広がっていくことを期待したのである。 そうであれば、任意の3多様体から始めてリッチ流を起こせば、原理的には、最終的に一種の「正規形」が得られるはずである。 ウィリアム・サーストンによれば、この正規形は、サーストンモデル幾何と呼ばれる、それぞれ異なる種類の幾何学を持つ少数の可能性のうちの1つを取るに違いない。

しかし、このプロセスは、”特異点 “の発生によって妨げられるだろうと広く予想された。 1990年代に入り、ハミルトンは発生しうる特異点の種類の理解を進めたが、包括的な説明をすることはできなかった。 ペレルマンの論文は、その解決策を示すものだった。 ペレルマンによれば、すべての特異点は、円柱が軸にそってつぶれたような形か、球が中心にそってつぶれたような形のどちらかだという。 この理解をもとに、彼は標準的なリッチ流を修正した「手術付きリッチ流」を構築し、特異領域が発生したときに、制御された方法で系統的に切除することができるようになったのだ。 この手術付きリッチ流のアイデアは、1993年のハミルトンの論文から存在していた。ハミルトンは1997年に、ある限定された幾何学的条件を満たす高次元空間の設定で、この手術付きリッチ流の実現に成功した。

ペレルマンは、有限時間で発現する特異点は、本質的に3多様体の素数分解に対応するある球に沿った「ピンチ」であることを示した。 さらに、「無限時間」の特異点は、JSJ分解のある部分が崩れることによって生じる。

• 最初のプレプリントであるThe entropy formula for the Ricci flow and its geometric applicationsは、リッチ流の研究において多くの新しい技術を提供し、その主要な結果は、流の高曲率領域の定量的特徴づけを与える定理であった。
• 2番目のプレプリントであるRicci flow with surgery on three-manifolds は、最初の論文のいくつかの誤った記述を修正し、いくつかの詳細を補い、最初の論文の主要な結果を用いて手術の手順を規定するものである。 後半は無限時間存在するリッチ流の解析に費やされている。
• 第3のプレプリント、Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds は、第2のプレプリントの後半での議論を避けたポアンカレ予想の証明へのショートカットを提供するものである。

Tobias Colding と William Minicozzi II は Perelman の3番目のプレプリントに完全に代わる議論を提供した。

検証編

Perelman のプレプリントはすぐに数学界の注目を集めたが、やや簡潔に書かれていたため、理解しにくいと広く見なされていた。 また、数学の学術論文の常套句に反して、多くの技術的な詳細が省略されていた。 ペレルマンがリッチ流の基礎に大きな貢献をしたことはすぐに明らかになったが、これらの貢献が幾何学化予想やポアンカレ予想を証明するのに十分であるとは数学界にはすぐに理解されなかった。

2003年4月、ペレルマンはマサチューセッツ工科大学、プリンストン大学、ストーニーブルック大学、コロンビア大学、ニューヨーク大学を訪問し、自分の仕事について短い講義を行い、関連分野の専門家のためにいくつかの詳細を明らかにしました。 2004年9月には、Perelmanの2回目のプレプリントを含むノートが更新された。 さらに修正と訂正を加え、2006年5月25日にarXivに投稿し、その修正版が2008年に学術雑誌Geometry & Topologyに掲載された。 2006年の国際数学者会議において、ロットは「ペレルマンの研究を検証するのに時間がかかった。 これはペレルマンの仕事の独創性によるものでもあり、彼の議論が技術的に洗練されていることによるものでもある。 すべての示唆は、彼の議論が正しいということである。” KleinerとLottは彼らの論文の序文で

Perelmanの証明は簡潔で、時には大雑把である、と説明している。 このノートの目的は、…に欠けている細部を提供することである。 証明に関しては、いくつかの間違った記述や不完全な論証が含まれており、それを読者に指摘するようにした。 (

2006 年 6 月に Asian Journal of Mathematics に中国の Sun Yat-sen University の Zhu Xiping とペンシルバニアの Lehigh University の Huai-Dong Cao が Perelman の Poincaré と Geometrization の予想の証明を完全に説明する論文を掲載した． KleinerとLottの論文は、Perelmanの論文に対する注釈を集めたものであったが、CaoとZhuの論文は、Poincaré予想と幾何学予想の証明を直接説明することを目的としたものであった。 その序文で、彼らは

この論文では、リッチ流のハミルトン-ペレルマン理論を紹介する。 それに基づいて、ポアンカレ予想とサーストンの幾何学化予想の完全な証明について、初めて文章で説明することにする。 この完全な研究は、多くの幾何学的解析者の努力の蓄積であるが、主要な貢献者は間違いなくHamiltonとPerelmanである。 この論文では、特にPerelmanの2番目の論文で、証明の多くの重要なアイデアがスケッチされたり、概説されたりしているが、証明の完全な詳細が欠けていることが多いので、完全で詳細な証明を行うことにする。 2006年7月、コロンビア大学のJohn Morganとマサチューセッツ工科大学のGang Tianが、PerelmanのPoincaré予想の証明を詳細に説明した論文をarXivに投稿しました。 Kleiner-LottやCao-Zhuの解説とは異なり、MorganとTianのものはPerelmanの3番目の論文も扱っています。 2006年8月24日、モーガンはマドリッドのICMでポアンカレ予想について講演し、ペレルマンの仕事は “徹底的にチェックされた “と宣言した。 2008年、モーガンとティアンは幾何学化予想の証明の詳細を網羅した論文を投稿した。 MorganとTianの2つの論文はClay Mathematics Instituteから書籍として出版されている。

検証の修正編集

上記の3つの解説はすべて出版後に修正されている。 Kleiner-LottとMorgan-Tianの解説には誤りがあり（大きな範囲には影響しない）、Cao-Zhuの解説はその言い回しや帰属の誤りに対する批判を集めた。

出版後、KleinerとLottの論文はその後、Hamiltonのリッチ流に対する重要な「コンパクト性の定理」に対する誤った記述など修正のために2度改訂された。 彼らの論文の最新の改訂は2013年である。 2015年にAbbas BahriがMorganとTianの説明の誤りを指摘し、後にMorganとTianが修正し、基本的な計算ミスをソースとした。

CaoとZhuの論文は、数学コミュニティの一部から単語の選択に対する批判を受け、一部の観測者は自分たちの功績を過度に主張していると解釈している。 特に、タイトル「A Complete Proof of the Poincaré and Geometrization Conjectures – Application of the Hamilton-Perelman Theory of Ricci Flow」での「application」という単語の使用や、アブストラクトでの「This proof should be considered as the crowning achievement of the Hamilton-Perelman theory of Ricci flow」については、批判の対象とされた。 この問題について質問されたPerelmanは、CaoとZhuは何らオリジナルな貢献をしておらず、「議論をよく理解していなかった」ために彼の証明を作り直しただけであると述べた。 さらに、CaoとZhuの論文の1ページは、KleinerとLottの2003年の投稿の1ページと本質的に同一であった。 CaoとZhuは、2003年にKleinerとLottの初期バージョンのノートを書き留めたが、2006年の論文ではそのノートの適切な出所に気づいていなかったと、発表した誤りの中で、これを見落としによるものだとしている。

Current viewpointsEdit

2020年現在、ペレルマンがリッチ流の理論に大きな進展をもたらしたことは誰もが認めるが、ポアンカレ予想や幾何学化が証明されたとは認めない数学者が残っている。 これらの人々にとって、証明の厄介な部分は、Perelmanの2つ目のプレプリントの後半にあるのだ。 例えば、フィールズ・メダリストのShing-Tung Yauは2019年に次のように述べている

私が言うのは異端かもしれないが、証明が完全に釘付けになったとは確信していない。 私は、これまで何度も言ってきたように、ペレルマンが3次元空間における特異点の形成と構造に関して素晴らしい仕事をしたこと、それはまさに彼が受賞したフィールズ・メダルにふさわしい仕事であると確信しているのです。 しかし、リッチ流の分野では専門家が少なく、ペレルマンの証明の最後の最も難しい部分を完全に理解していると言う人にはまだ会ったことがない。 このことは、他の数学者もこの仕事とその方法論をまだ完全に理解していないことを示唆しています。

対照的に、2010年に「ポアンカレ予想の解決」でミレニアム賞がペレルマンに授与されたとき、フィールズ・メダル受賞者のサイモン・ドナルドソンは、同賞の賛辞の1つとして

ポアンカレ予想と幾何学的予想に関するプレプリントが現れた時から、次のように言っています。 世界中の数学者が、彼の並外れた業績に感謝し、畏敬の念を抱き、驚嘆することで一致しています。私はここで、知的コミュニティ全体を代表して発言していると信じています。 これは、100年来の傑出した問題を解決したのである」

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