Definirò una funzione s di N e la definirò come la somma la somma di tutti gli interi positivi interi positivi compresi n compresi n compresi e così il dominio di questa funzione è veramente tutti interi positivi e deve essere un intero positivo e quindi possiamo provare con alcune cose, potremmo prendere s di 3, che sarà uguale a 1 più 2 più 3, che è uguale a 6, potremmo prendere s di 4, che sarà 1 più 2 più 3 più 4, che sarà uguale a 10, quindi abbastanza semplice, ora quello che voglio fare in questo video è dimostrarti, e in realtà ci sono diversi modi per dimostrarlo, che posso scriverlo come una funzione di n che la somma di tutti gli interi positivi fino a n incluso è uguale a n volte n più 1, il tutto su 2 e il modo in cui te lo dimostrerò, almeno il primo modo in cui te lo dimostrerò, è per induzione, questa sarà una prova per induzione è un modo filosofico interessante per provare qualcosa perché il modo in cui si fa una prova per induzione è prima provare il caso di base, si prova il caso di base, quindi nel caso di questa funzione, questa affermazione qui sopra, questo è ciò che dobbiamo provare nel caso di questa affermazione qui sopra, per prima cosa la proveremo 4-1 che sarà il nostro caso base e poi faremo il passo di induzione il passo di induzione che è essenzialmente dire che se assumiamo che funzioni per qualche numero intero positivo K che se quindi assumiamo che allora possiamo dimostrare che funzionerà per il prossimo numero intero positivo funzionerà per K più 1 e il motivo per cui questo funziona diciamo che proviamo se proviamo entrambe le cose, quindi il caso base lo proveremo per in questo caso proveremo per 1 provare per 1 ma non deve essere sempre 1 perché potrebbe essere il vostro potrebbe essere questo è vero per tutto sopra 55 o per tutto ciò che è sopra una certa soglia ma in questo caso stiamo dicendo che è vero per tutti i numeri interi positivi quindi il nostro caso base sarà 4 1 e poi la nostra prossima F cercherà di dimostrare che se si assume che se si assume 4 se si assume che questa cosa è vera per alcuni di K se si assume che allora sarà vera per alcuni di K più 1 e il motivo per cui questo è tutto quello che dovete fare per dimostrarlo per tutti i numeri interi positivi è solo immaginare così pensiamo a tutti i numeri interi positivi proprio qui 1 2 3 4 5 6 si potrebbe continuare all’infinito quindi lo dimostreremo 4-1 dimostreremo che questa formula qui sopra, questa espressione si applica al caso di 1 quando n è 1 e poi dimostreremo che se sappiamo che è vero per ogni dato K, è vero anche per il prossimo, quindi se sappiamo che è vero per 1 nel nostro caso base, il secondo passo, questo passo di induzione, dice che deve essere vero per 2, perché abbiamo dimostrato che se è vero per K, deve essere vero per K più 1 beh se è vero per 2 allora deve essere vero per 3 perché abbiamo provato che se è vero per se è vero per K è vero per K più 1 quindi se è vero per 2 è vero per 3 e quindi se è vero per 3 deve essere vero per 4 e si può continuare all’infinito il che significa che è vero per tutto ora parlato in generale per induzione quindi prendiamo la facciamo questa funzione su 1 che sarà la somma di tutti i numeri interi positivi incluso 1, che sarà letteralmente 1, li abbiamo appena sommati tutti, è solo 1, non ci sono altri numeri interi positivi fino a 1 incluso e possiamo dimostrare che è la stessa cosa di 1 per 1 più 1, tutto questo su 2 1 più 1 è 2 2 diviso 2 è 1 1 per 1 è 1, quindi questa formula qui, questa espressione, ha funzionato per 1, ha funzionato per 1. per ha funzionato per 1 quindi abbiamo dimostrato che abbiamo dimostrato il nostro caso base che abbiamo dimostrato per 1 ora quello che voglio fare è assumere che funzioni per un certo numero per un certo numero K quindi assumerò assumerò vero vero per assumerò che sia vero per un certo numero K quindi assumerò che per un certo numero K che questa funzione a K sia uguale a K volte k più 1 su 2 quindi sto solo assumendo che questo sia vero per quello ora quello che voglio fare è pensare a cosa succede quando provo a trovare quando provo a trovare questa funzione per k più 1 quindi questo è quello che sto assumendo sto assumendo di saperlo ora proviamo a farlo per k più 1 quindi qual è la somma di tutti gli interi fino a un incluso k più 1 fino a un incluso k più 1 beh questo sarà 1 più 2 più 3 più tutta la strada fino a k più k più 1 giusto questa è la somma di tutto fino a e incluso k più 1 bene stiamo assumendo che sappiamo già cos’è questo stiamo assumendo che abbiamo già una formula per questo stiamo assumendo che questo semplificherà a k volte k più 1 su 2 o assumendo che lo sappiamo e così prenderemo solo questa parte e la aggiungeremo a k più 1 così la aggiungeremo al k più 1 qui la aggiungeremo al k più 1 e se trovate un denominatore comune se trovate un commento il comune denominatore sarà 2 quindi andiamo questo sarà uguale a Scriverò la parte in magenta prima questo è K per k più 1 su 2 più 2 per k più 1 su 2 questa cosa in blu è la stessa cosa di quella cosa in blu i due si annullano ho appena scritto in questo modo così ho un comune denominatore e così questo sarà uguale a questo sarà uguale a abbiamo un comune denominatore di 2 e scriverò questo in un colore diverso qui così avremo K per k più 1 più 2 per k più 1 ora a questo passo proprio qui puoi fattorizzare un k più 1 entrambi questi termini sono divisibili per K più 1 quindi fattorizziamo questo se fattorizzi un k più 1 ottieni k più 1 k più 1 volte lo frazioniamo qui se fattorizzi un k più 1 hai solo un K qui se fattorizzi un k più 1 hai solo un – Lasciatemi colorare questi così sapete cosa sto facendo quindi questo 2 è questo 2 proprio lì e questo K questo K è questo K è questo K proprio lì abbiamo fattorizzato questo questi k più una volta abbiamo fattorizzato circa 2 questo k più 1 proprio lì e sarà tutto questo tutto questo su 2 ora possiamo riscrivere questa è la stessa cosa questa è uguale a questa è la stessa cosa di questa è la stessa cosa di k più 1 che è questa parte proprio qui volte k più 1 k più 1 più 1 giusto questa è chiaramente la stessa cosa di k più 2 tutto questo su tutto questo su 2 ora perché questo è interessante per noi beh lo abbiamo appena dimostrato se assumiamo che questo sia vero se assumiamo che questo sia vero e se noi e poi noi usiamo solo questa assunzione usiamo solo questa assunzione otteniamo che la somma di tutti gli interi positivi fino a e incluso k più 1 è è uguale a k più 1 per k più 1 più 1 su 2 in realtà stiamo dimostrando che quella formula originale si applica anche a k più 1 se si prende k più 1 e lo si mette per n si potrebbe metterlo per n si ottiene esattamente il risultato che abbiamo ottenuto qui quindi abbiamo dimostrato che abbiamo dimostrato che abbiamo provato il nostro caso base, questa espressione ha funzionato per la somma di tutti gli interi positivi fino a 1 incluso e funziona anche se assumiamo che funzioni per tutto ciò che è fino a k o se assumiamo che funzioni per l’intero k, funziona anche per l’intero k più 1 intero k più 1 e abbiamo finito questa è la nostra prova amica per induzione che ci dimostra che funziona per tutti gli interi positivi perché è così beh lo abbiamo provato per 1 e lo abbiamo provato che se funziona per qualche intero funzionerà per il prossimo intero se si può assumere che funzioni per qualche numero intero, funzionerà per il prossimo numero intero, quindi se si suppone che funzioni per uno, allora può funzionare per due, beh, abbiamo già dimostrato che funziona per uno, quindi possiamo supporre che funzioni per uno, quindi sicuramente funzionerà per due, quindi abbiamo due controlli, ma dato che possiamo supporre che funziona per due possiamo ora supporre che funzioni per tre beh se funziona per tre beh allora abbiamo provato che funziona per quattro vedi come questo passo di induzione è una specie di domino e va a cascata e possiamo continuare all’infinito quindi funzionerà davvero per tutti i numeri interi positivi

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