GeometriaModifica

In geometria, si studiano talvolta strutture aggiuntive su spazi vettoriali. Gli operatori che mappano tali spazi vettoriali su se stessi in modo bijettivo sono molto utili in questi studi, essi formano naturalmente dei gruppi per composizione.

Per esempio, gli operatori bijettivi che conservano la struttura di uno spazio vettoriale sono appunto gli operatori lineari invertibili. Essi formano il gruppo lineare generale sotto composizione. Non formano uno spazio vettoriale sotto l’aggiunta di operatori, ad esempio sia id che -id sono invertibili (biiettivi), ma la loro somma, 0, non lo è.

Gli operatori che preservano la metrica euclidea su uno spazio di questo tipo formano il gruppo delle isometrie, e quelli che fissano l’origine formano un sottogruppo noto come gruppo ortogonale. Gli operatori del gruppo ortogonale che conservano anche l’orientamento delle tuple vettoriali formano il gruppo ortogonale speciale, o il gruppo delle rotazioni.

Teoria della probabilitàModifica

Anche gli operatori sono coinvolti nella teoria della probabilità, come l’aspettativa, la varianza e la covarianza. Infatti, ogni covarianza è fondamentalmente un prodotto di punti; ogni varianza è un prodotto di punti di un vettore con se stesso, e quindi è una norma quadratica; ogni deviazione standard è una norma (radice quadrata della norma quadratica); il coseno corrispondente a questo prodotto di punti è il coefficiente di correlazione di Pearson; il valore atteso è fondamentalmente un operatore integrale (usato per misurare forme pesate nello spazio).

CalculusEdit

Dal punto di vista dell’analisi funzionale, il calcolo è lo studio di due operatori lineari: l’operatore differenziale d d t {displaystyle {\frac {mathrm {d} t}}

, e l’operatore di Volterra ∫ 0 t {displaystyle \int _{0}^{t}}

.

Serie di Fourier e trasformata di FourierModifica

La trasformata di Fourier è utile nella matematica applicata, in particolare nella fisica e nell’elaborazione dei segnali. È un altro operatore integrale; è utile soprattutto perché converte una funzione su un dominio (temporale) in una funzione su un altro dominio (frequenza), in un modo effettivamente invertibile. Nessuna informazione viene persa, poiché esiste un operatore di trasformazione inversa. Nel caso semplice di funzioni periodiche, questo risultato si basa sul teorema che qualsiasi funzione continua periodica può essere rappresentata come la somma di una serie di onde sinusoidali e cosiniche:

f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ( ω n t ) + b n sin ( ω n t ) {\displaystyle f(t)={a_{0} \su 2}+sum _{n=1}^{{infty }{a_{n}cos(\omega nt)+b_{n}sin(\omega nt)}}

La tupla (a0, a1, b1, a2, b2, …) è infatti un elemento di uno spazio vettoriale infinito ℓ2, e quindi la serie di Fourier è un operatore lineare.

Quando si tratta della funzione generale R → C, la trasformata assume una forma integrale:

f ( t ) = 1 2 π ∫ – ∞ + ∞ g ( ω ) e i ω t d ω . {displaystyle f(t)={1 \sqrt {2\pi}}int _{-\infty }^{+infty }{g(\omega )e^{i\omega t},d\omega }.}

Trasformata di LaplaceModifica

La trasformata di Laplace è un altro operatore integrale ed è coinvolto nella semplificazione del processo di risoluzione delle equazioni differenziali.

Data f = f(s), è definita da:

F ( s ) = L { f } ( s ) = ∫ 0 ∞ e – s t f ( t ) d t . F(s)={{mathcal {L}}}{f}(s)={int _{0}^{infty }e^{-st}f(t)\\,dt.}

Operatori fondamentali sui campi scalari e vettorialiModifica

Tre operatori sono fondamentali per il calcolo vettoriale:

• Grad (gradiente), (con simbolo operatore ∇ {displaystyle \nabla }
  

  ) assegna un vettore in ogni punto di un campo scalare che punta nella direzione della massima velocità di cambiamento di quel campo e la cui norma misura il valore assoluto di quella massima velocità di cambiamento.

• Div (divergenza), (con simbolo operatore ∇ ⋅ {\displaystyle \nabla \cdot }
  

  ) è un operatore vettoriale che misura la divergenza o la convergenza di un campo vettoriale verso un dato punto.

• Curl, (con simbolo operatore ∇ × {\displaystyle \nabla \times }
  

  ) è un operatore vettoriale che misura l’andamento a ricciolo (avvolgimento, rotazione intorno) di un campo vettoriale intorno ad un dato punto.

Come estensione degli operatori del calcolo vettoriale alla fisica, all’ingegneria e agli spazi tensoriali, anche gli operatori Grad, Div e Curl sono spesso associati al calcolo tensoriale oltre che al calcolo vettoriale.