Terminologia

I sistemi fisici sono divisi in tipi secondo le loro proprietà immutabili (o “indipendenti dallo stato”), e lo stato di un sistema in un dato momento consiste in una descrizione completa di quelle sue proprietà che cambiano nel tempo (proprietà “dipendenti dallo stato”). Per dare una descrizione completa di un sistema, quindi, dobbiamo dire che tipo di sistema è e qual è il suo stato in ogni momento della sua storia.

Una quantità fisica è una famiglia di proprietà fisiche mutuamente esclusiva e congiuntamente esaustiva (per chi conosce questo modo di parlare, è una famiglia di proprietà con la struttura delle cellule di una partizione). Sapere quali tipi di valori assume una quantità può dirci molto sulle relazioni tra le proprietà di cui è composta. I valori di una quantità bivalente, per esempio, formano un insieme con due membri; i valori di una quantità a valore reale formano un insieme con la struttura dei numeri reali. Questo è un caso particolare di qualcosa che vedremo ancora e ancora, cioèche sapere che tipo di oggetti matematici rappresentano gli elementi di un certo insieme (qui, i valori di una quantità fisica; più tardi, gli stati che un sistema può assumere, o le quantità che gli appartengono) ci dice molto (anzi, probabilmente, tutto quello che c’è da sapere) sulle loro interrelazioni.

In contesti di meccanica quantistica, il termine ‘osservabile’ è usato in modo intercambiabile con ‘quantità fisica’, e dovrebbe essere trattato come un termine tecnico con lo stesso significato. Non è un caso che i primi sviluppatori della teoria abbiano scelto questo termine, ma la scelta è stata fatta per ragioni che oggi non sono generalmente accettate. Lo spazio degli stati di un sistema è lo spazio formato dall’insieme dei suoi stati possibili, cioè i modi fisicamente possibili di combinare i valori delle quantità che lo caratterizzano internamente. Nelle teorie classiche, un insieme di quantità che forma una base di sopravvivenza per il resto è tipicamente designato come “base” o “fondamentale”, e, poiché ogni modo matematicamente possibile di combinare i loro valori è una possibilità fisica, lo spazio degli stati può essere ottenuto semplicemente prendendo questi come coordinate. Così, per esempio, lo spazio di stato di un sistema meccanico classico composto da \(n)particelle, ottenuto specificando i valori di \(6n\) quantità a valore reale – tre componenti della posizione e tre della quantità di moto per ogni particella del sistema – è uno \(6n\) spazio di coordinate dimensionale. Ogni possibile stato di tale sistema corrisponde a un punto dello spazio, e ogni punto dello spazio corrisponde a un possibile stato di tale sistema. La situazione è un po’ diversa nella meccanica quantistica, dove ci sono modi descrivibili dal punto di vista matematico di combinare i valori delle quantità che non rappresentano stati fisicamente possibili. Come vedremo, gli spazi di stato della meccanica quantistica sono tipi speciali di spazi vettoriali, conosciuti come spazi di Hilbert, e hanno più struttura interna delle loro controparti classiche.

Una struttura è un insieme di elementi su cui sono definite certe operazioni e relazioni, una struttura matematica è solo una struttura in cui gli elementi sono oggetti matematici (numeri, insiemi, vettori) e le operazioni matematiche, e un modello è una struttura matematica usata per rappresentare qualche struttura fisicamente significativa nel mondo.

Il cuore e l’anima della meccanica quantistica sono contenuti negli spazi di Hilbert che rappresentano gli spazi di stato dei sistemi meccanici quantistici: le relazioni interne tra stati e quantità, e tutto ciò che ne consegue sul comportamento dei sistemi meccanici quantistici, sono tutti intessuti nella struttura di questi spazi, incarnati nelle relazioni tra gli oggetti matematici che li rappresentano. Ciò significa che la comprensione di come è un sistema secondo la meccanica quantistica è inseparabile dalla familiarità con la struttura interna di questi spazi. Conoscere lo spazio di Hilbert e familiarizzare con le leggi dinamiche che descrivono i percorsi dei vettori attraverso di esso, significa sapere tutto ciò che c’è da sapere, nei termini forniti dalla teoria, sui sistemi che essa descrive.

Per ‘conoscere lo spazio di Hilbert’, intendo qualcosa di più che possedere una descrizione o una mappa di esso; chiunque abbia un testo di meccanica quantistica sul proprio scaffale lo sa. Intendo dire conoscere la propria strada intorno ad esso nel modo in cui si conosce la città in cui si vive. Questo è un tipo di conoscenza pratica che viene a gradi e si acquisisce meglio imparando a risolvere problemi della forma: Come posso andare da A a B? Posso arrivarci senza passare per C? E qual è il percorso più breve? Gli studenti laureati in fisica passano lunghi anni ad acquisire familiarità con gli angoli e le fessure dello spazio di Hilbert, individuando punti di riferimento familiari, percorrendo i suoi sentieri battuti, imparando dove si trovano i passaggi segreti e i vicoli ciechi, e sviluppando un senso della disposizione complessiva del terreno. Imparano a navigare nello spazio di Hilbert nel modo in cui un tassista impara a navigare nella sua città.

Quanto di questo tipo di conoscenza è necessario per affrontare i problemi filosofici associati alla teoria? All’inizio, non molto: solo i fatti più generali sulla geometria del paesaggio (che è, in ogni caso, a differenza di quello della maggior parte delle città, meravigliosamente organizzato), e i percorsi che (i vettori che rappresentano gli stati dei) sistemi percorrono attraverso di essi. Questo è ciò che verrà introdotto qui: prima un po’ di facile matematica, e poi, in breve, la teoria.

Matematica

2.1 Vettori e spazi vettoriali

Un vettore \(A\), scritto ‘\(\ket{A\)’, è un oggetto matematico caratterizzato da una lunghezza, \(|A||), e una direzione. Un vettore normalizzato è un vettore di lunghezza 1; cioè, \(|A| = 1\). I vettori possono essere sommati, moltiplicati per le costanti (inclusi i numeri complessi) e moltiplicati insieme. L’addizione vettoriale mappa qualsiasi coppia di vettori su un altro vettore, in particolare, quello che si ottiene spostando il secondo vettore in modo che la sua coda coincida con la punta del primo, senza alterare la lunghezza o la direzione di entrambi, e poi unendo la coda del primo alla punta del secondo. Questa regola di addizione è nota come legge del parallelogramma. Così, per esempio, sommando i vettori \(\ket{A}) e \(\ket{B}) si ottiene il vettore \(\ket{C}) (= \ket{A} + \ket{B})\ come in Figura 1:

Moltiplicando un vettore \(\ket{A}) per \(n\), dove \(n\) è una costante, si ottiene un vettore che ha la stessa direzione di \(\ket{A}) ma la cui lunghezza è \(n\) volte quella di \(\ket{A}).

In uno spazio vettoriale reale, il prodotto (interno o punto) di una coppia di vettori \(\ket{A}) e \(\ket{B}), scritto’\braket{A}{B})’ è uno scalare uguale al prodotto delle loro lunghezze (o ‘norme’) per il coseno dell’angolo, \(\theta\), tra loro:

Sia \(\ket{A_1}) e \(\ket{A_2}) vettori di lunghezza 1 (“vettori unitari”) tali che \(\braket{A_1}{A_2} = 0\). (L’angolo tra questi due vettori unitari deve essere di 90 gradi.) Allora possiamo rappresentare qualsiasi vettore bidimensionale \(\ket{B}) in termini dei nostri vettori unitari come segue:

Per esempio, ecco un grafico che mostra come \(\ket{B}) può essere rappresentato come la somma dei due vettori unitari \(\ket{A_1}) e \(\ket{A_2}):

Ora la definizione del prodotto interno \(\braket{A}{B}) deve essere modificata per essere applicata agli spazi complessi. Sia \(c^*\) il coniugato complesso di \(c\). (Quando \(c\) è un numero complesso della forma \(a \pm bi\), allora il coniugato complesso \(c^*\) di \(c\) è definito come segue:

\^* = a-bi \\^* = a+bi\]

Quindi, per tutti i numeri complessi \(c\), \(^* = c\), ma \(c^* = c\) solo nel caso che \(c\) sia reale.) Ora la definizione del prodotto interno di \(\ket{A}) e \(\ket{B}) per gli spazi complessi può essere data in termini dei coniugati dei coefficienti complessi come segue. Dove \(\ket{A_1}) e \(\ket{A_2}) sono i vettori unitari descritti precedentemente, \(\ket{A} = a_1 \ket{A_1} + a_2 \ket{A_2}) e \(\ket{B} = b_1 \ket{A_1} + b_2 \ket{A_2}), allora

La nozione più generale e astratta di prodotto interno, di cui abbiamo ora definito due casi speciali, è la seguente. \(\braket{A}{B}) è un prodotto interno su uno spazio vettoriale \(V\) solo nel caso in cui

1. \(\braket{A}{A} = |A|^2\), e \(\braket{A}{A}=0\) se e solo se \(A=0\)
2. (\braket{B}{A} = \braket{A}{B}^*)
3. (\braket{B}{A+C}=\braket{B}{A} + \braket{B}{C}).

Da questo segue che

1. la lunghezza di \(\ket{A}) è la radice quadrata del prodotto interno di \(\ket{A}) con se stesso, cioè,\

e

1. \(\ket{A}}) e \(ket{B}) sono reciprocamente perpendicolari, o ortogonali, se, e solo se, \(\braket{A}{B}).

Uno spazio vettoriale è un insieme di vettori chiusi sotto l’addizione e la moltiplicazione di costanti, uno spazio prodotto interno è uno spazio vettoriale sul quale è stata definita l’operazione di moltiplicazione vettoriale, e la dimensione di tale spazio è il numero massimo di vettori non nulli e mutuamente ortogonali che contiene.

Ogni insieme di \(N)vettori mutuamente ortogonali di lunghezza 1 in uno spazio vettoriale (N)-dimensionale costituisce una base ortonormale per tale spazio. Sia \(\ket{A_1}, \ldots, \ket{A_N}) una tale collezione di vettori unitari. Allora ogni vettore dello spazio può essere espresso come una somma della forma:

dove \(b_i = \braket{B}{A_i}}). I \(b_i\) qui sono noti come i coefficienti di espansione di \(B) nella base \(A).

Si noti che:

1. per tutti i vettori \(A), \(B), e \(C) in uno spazio dato,\
2. per tutti i vettori \(M) e \(Q), espressi in termini della base \(A),\

   e

   \

C’è un altro modo di scrivere i vettori, cioè scrivere i coefficienti di espansione (relativi a una data base) in una colonna, come

dove \(q_i = \braket{Q}{A_i}\) e \(A_i\) sono i vettori base scelti.

Quando abbiamo a che fare con spazi vettoriali di dimensione infinita, dato che non possiamo scrivere l’intera colonna dei coefficienti di espansione necessari per spuntare un vettore, dato che dovrebbe essere infinitamente lunga, scriviamo invece la funzione (chiamata ‘funzione d’onda’ per \Q, solitamente rappresentata \psi(i))\) che ha quei coefficienti come valori. Scriviamo, cioè, la funzione:

Dato un qualsiasi vettore in uno spazio vettoriale e una qualsiasi base, possiamo ottenere la funzione d’onda del vettore in quella base; e data una funzione d’onda per un vettore, in una particolare base, possiamo costruire il vettore la cui funzione d’onda è. Poiché risulta che la maggior parte delle operazioni importanti sui vettori corrispondono a semplici operazioni algebriche sulle loro funzioni d’onda, questo è il modo usuale di rappresentare gli stati vettori.

Quando una coppia di sistemi fisici interagisce, essi formano un sistema composto e, in meccanica quantistica come in meccanica classica, esiste una regola per costruire lo spazio di stato di un sistema composto a partire da quelli dei suoi componenti, una regola che ci dice come ottenere, dagli spazi di stato \(H_A\) e \(H_B\) per \(A\) e \(B\), rispettivamente, lo spazio di stato – chiamato il ‘prodotto tensore’ di \(H_A\) e \(H_B\), e scritto \(H_A ´otimes H_B\) – della coppia. Ci sono due cose importanti riguardo alla regola; primo, finché \(H_A\) e \(H_B\) sono spazi di Hilbert, lo sarà anche \(H_A \tempo H_B\), e secondo, ci sono alcuni fatti sul modo in cui \(H_A \tempo H_B\) si riferisce a \(H_A\) e \(H_B\), che hanno conseguenze sorprendenti per le relazioni tra il sistema complesso e le sue parti. In particolare, si scopre che lo stato di un sistema complesso non è definito unicamente da quello dei suoi componenti. Ciò significa, o almeno ciò che sembra significare, che ci sono, secondo la meccanica quantistica, fatti sui sistemi composti (e non solo fatti sulla loro configurazione spaziale) che non sono dipendenti dai fatti sui loro componenti; significa che ci sono fatti sui sistemi come insiemi che non sono dipendenti dai fatti sulle loro parti e dal modo in cui queste parti sono disposte nello spazio. L’importanza di questa caratteristica della teoria non può essere sottovalutata; essa è, in un modo o nell’altro, implicata nella maggior parte dei suoi problemi più difficili.

In modo un po’ più dettagliato: se \(v_{i}^A) è una base ortonormale per \(H_A) e \(\u_{j}^B) è una base ortonormale per \(H_B), allora l’insieme delle coppie \((v_{i}^A, u_{j}^B)\ è preso per formare una base ortonormale per lo spazio del prodotto tensoriale \(H_A †volte H_B\). La notazione \(v_i^A \tempo u_j^B\) è usata per la coppia \(v_{i}^A,u_{j}^B)\), e il prodotto interno su \(H_A \tempo H_B\)è definito come:

È un risultato di questa costruzione che, sebbene ogni vettore in \(H_A \tempo H_B\) sia una somma lineare di vettori esprimibili nella forma \(v^A \tempo u^B\), non ogni vettore nello spazio è esprimibile in quella forma, e risulta che

1. ogni stato composto definisce unicamente gli stati dei suoi componenti.
2. se gli stati di \(A) e \(B) sono puri (cioè, rappresentabili dai vettori \(v^A) e \(u^B), rispettivamente), allora lo stato di \((A+B)\ è puro e rappresentato da \(v^A ^volte u^B), e
3. se lo stato di \(A+B)\è puro ed esprimibile nella forma \(v^A \tempo u^B\), allora gli stati di \(A\) e \(B\) sono puri, ma
4. se gli stati di \(A\) e \(B\) non sono puri, cioèe., se sono stati misti (questi sono definiti più avanti), essi non definiscono univocamente lo stato di \((A+B)\); in particolare, esso può essere uno stato puro non esprimibile nella forma \(v^A Õ volte u^B).

2.2 Operatori

Un operatore \(O\) è una mappatura di uno spazio vettoriale su se stesso; porta un qualsiasi vettore \(\ket{B}) in uno spazio su un altro vettore \(\ket{B’}}) sempre nello spazio; \(O \ket{B} = \ket{B’}). Gli operatori lineari sono operatori che hanno le seguenti proprietà:

1. (O(\ket{A} + \ket{B}) = O \ket{A}
2. (O(c \ket{A}) = c(O \ket{A})\).

Così come ogni vettore in uno spazio \(N)-dimensionale può essere rappresentato da una colonna di numeri \(N), relativamente ad una scelta di basi per lo spazio, ogni operatore lineare sullo spazio può essere rappresentato in una notazione a colonne da numeri \(N^2\):

dove \(O_{ij} = \braket{A_i}{O \mid A_j}\) e gli \(A_N\) sono i vettori base dello spazio. L’effetto dell’operatore lineare \(O) sul vettore \(B) è, quindi, dato da

Altre due definizioni prima di poter dire cosa sono gli spazi di Hilbert, e poi possiamo passare alla meccanica quantistica. \(\ket{B}) è un autovettore di \(O) con autovalore \(a) se, e solo se, \(O \ket{B} = a \ket{B}).Operatori diversi possono avere autovettori diversi, ma la relazione autovettore/operatore dipende solo dall’operatore e dai vettori in questione, e non dalla particolare base in cui sono espressi; la relazione autovettore/operatore è, cioè, invariante sotto cambiamento di base. Un operatore Hermiteano è un operatore che ha la proprietà che esiste una base ortonormale costituita dai suoi autovettori e che gli autovalori sono tutti reali.

Uno spazio di Hilbert, infine, è uno spazio vettoriale sul quale è definito un prodotto interno e che è completo, cioè che è tale che qualsiasi sequenza di Cauchy di vettori nello spazio converge a un vettore nello spazio. Tutti gli spazi a prodotto interno a dimensione finita sono completi, e mi limiterò a questi. Il caso infinito comporta alcune complicazioni che non sono fruttuose in questa fase.

Meccanica quantistica

I quattro principi fondamentali della meccanica quantistica sono:

(3.1)

Stati fisici.Ogni sistema fisico è associato a uno spazio di Hilbert, ogni vettore unitario nello spazio corrisponde a un possibile stato puro del sistema, e ogni possibile stato puro, a qualche vettore nello spazio.

(3.2)

Quantità fisiche.Gli operatori Hermitiani nello spazio di Hilbert associato a un sistema rappresentano quantità fisiche, e i loro autovalori rappresentano i possibili risultati delle misure di queste quantità.

C’è un operatore, chiamato Hamiltoniano, che gioca un ruolo speciale nella teoria quantistica perché la dinamica di un sistema può essere formulata in modo conveniente seguendo la sua evoluzione. L’Hamiltoniano – scritto \(H\), o \(\hat{H\) – rappresenta l’energia totale del sistema. I suoi autovalori sono i possibili risultati che si potrebbero ottenere nelle misure dell’energia totale. È dato dalla somma delle energie cinetiche e potenziali dei componenti del sistema.

(3.3)

Composizione.Lo spazio di Hilbert associato a un sistema complesso è il tensore prodotto di quelli associati ai sistemi semplici (nella teoria standard non relativistica: le singole particelle) di cui è composto.

(3.4) Dinamica. a.

Contesti di tipo 1: Dato lo stato di un sistema al (t) e le forze e i vincoli a cui è soggetto, c’è un’equazione, ‘sequenza di Schrödinger’, che dà lo stato in qualsiasi altro momento \(U\ket{v_t} \rightarrow \ket{v_{t’}}}). Le proprietà importanti di \(U\) per i nostri scopi sono che è deterministica, vale a dire che porta lo stato di un sistema in un momento in uno stato unico in qualsiasi altro, è unitaria, il che significa che è un automorfismo dello spazio di Hilbert su cui agisce (cioè, è un automorfismo dello spazio di Hilbert su cui agisce (vale a dire, una trasposizione di quello spazio su se stesso che conserva la struttura spaziale lineare e il prodotto interno), ed è lineare, vale a dire che se prende uno stato \(\ket{A}) sullo stato \(\ket{A’}), e prende lo stato \ket{B} sullo stato \ket{B}, allora prende qualsiasi stato della forma \(\alfa \ket{A} + \beta \ket{B}) sullo stato \(\alfa \ket{A’} + \beta\ket{B}).

b.

Contesti di tipo 2 (“Contesti di misura”): Effettuare una “misura” di un’osservabile \(B\) su un sistema in uno stato \(\ket{A}) ha l’effetto di far collassare il sistema in un autostato \(B\)- corrispondente all’autovalore osservato. Questo è noto come il postulato del collasso. In quale particolare autostato \(B)-collassa è una questione di probabilità, e le probabilità sono date da una regola nota come Regola di Born:

Ci sono due punti importanti da notare su questi due tipi di contesti:

• La distinzione tra i contesti di tipo 1 e 2 rimane da chiarire in termini di meccanica quantistica; nessuno è riuscito a dire in modo completamente soddisfacente, nei termini forniti dalla teoria, quali contesti sono contesti di misura, e
• Anche se la distinzione è fatta, è una questione interpretativa aperta se ci sono contesti di tipo 2; cioè, se ci sono contesti di tipo 2.e., è una questione interpretativa aperta se esistono contesti in cui i sistemi sono governati da una regola dinamica diversa dall’equazione di Schrödinger.

Strutture sullo spazio di Hilbert

Ho osservato sopra che, nello stesso modo in cui tutta l’informazione che abbiamo sulle relazioni tra luoghi in una città è incarnata nelle relazioni spaziali tra i punti su una mappa che li rappresentano, tutta l’informazione che abbiamo sulle relazioni interne tra (e tra) stati e quantità in meccanica quantistica è incarnata nelle relazioni matematiche tra i vettori e gli operatori che li rappresentano. Da un punto di vista matematico, ciò che distingue realmente la meccanica quantistica dai suoi predecessori classici è che gli stati e le quantità hanno una struttura più ricca; essi formano famiglie con una rete più interessante di relazioni tra i loro membri.

Tutte le caratteristiche fisicamente consequenziali dei comportamenti dei sistemi meccanici quantistici sono conseguenze delle proprietà matematiche di queste relazioni, e le più importanti sono facilmente riassumibili:

(P1)

Qualunque modo di aggiungere vettori in uno spazio di Hilbert o di moltiplicarli per scalari darà un vettore che è anche nello spazio. Nel caso che il vettore sia normalizzato, esso rappresenterà, dalla (3.1), un possibile stato del sistema, e nel caso che esso sia la somma di una coppia di autovettori di una osservabile \(B\) con autovalori distinti, non sarà esso stesso un autovettore di \(B\), ma sarà associato, dalla (3.4b), con un insieme di probabilità di mostrare l’uno o l’altro risultato nelle misure di \(B\).

(P2)

Per qualsiasi operatore hermitiano su uno spazio di Hilbert, ce ne sono altri, sullo stesso spazio, con cui non condivide un insieme completo di autovettori; anzi, è facile dimostrare che ci sono altri operatori di questo tipo con cui non ha autovettori in comune.

Se facciamo un paio di ipotesi interpretative aggiuntive, possiamo dire di più. Assumiamo, per esempio, che

(4.1)

Ogni operatore Hermitiano sullo spazio di Hilbert associato a un sistema rappresenta un’osservabile distinta, e (quindi) ogni vettore normalizzato, uno stato distinto, e

(4.2)

Un sistema ha un valore per l’osservabile \(A\) se, e solo se, il vettore che rappresenta il suo stato è un autostato dell’operatore \(A\). Il valore che ha, in tal caso, è solo l’autovalore associato a quell’autostato.

Da (P2) segue, per (3.1), che nessuno stato della meccanica quantistica è un autostato di tutte le osservabili (e anzi che ci sono osservabili che non hanno autostati in comune), e quindi, per (3.2), che nessun sistema meccanico quantistico ha mai valori simultanei per tutte le grandezze che gli appartengono (e infatti ci sono coppie di grandezze a cui nessuno stato assegna valori simultanei).

Ci sono operatori hermitiani sul prodotto tensore (H_1 volte H_2) di una coppia di spazi di Hilbert (H_1) e (H_2) … Nel caso in cui \(H_1\) e \(H_2\) siano gli spazi di stato dei sistemi \(S1\) e \(S2\), \(H_1 \tempo H_2\) è lo spazio di stato del sistema complesso \((S1+S2)\). Ne segue da questo dalla (4.1) che ci sono osservabili che appartengono a \(S1+S2)\) i cui valori non sono determinati dai valori delle osservabili che appartengono ai due individualmente.

Queste sono tutte dirette conseguenze del prendere vettori e operatori nello spazio di Hilbert per rappresentare, rispettivamente, stati e osservabili, e applicare la regola di Born (e più tardi (4.1) e (4.2)), per dare un significato empirico alle assegnazioni di stato. Questo è perfettamente compreso; la vera difficoltà nella comprensione della meccanica quantistica consiste nel venire a patti con le sue implicazioni – fisiche, metafisiche ed epistemologiche.

Chiunque cerchi di arrivare a una comprensione di ciò che la meccanica quantistica dice sul mondo deve confrontarsi con un fatto rimanente. Questo problema non è un problema di spazi di Hilbert, ma di dinamiche, le regole che descrivono le traiettorie che i sistemi seguono attraverso lo spazio. Da un punto di vista fisico, è molto più preoccupante di qualsiasi cosa discussa fino a questo punto. Non solo presenta difficoltà per chi cerca di fornire un’interpretazione della teoria, ma sembra anche indicare un’incoerenza logica nei fondamenti della teoria.

Supponiamo di avere un sistema \(S\) e un dispositivo \(S^*\) che misura un osservabile \(A\) su \(S\) con valori \(\{a_1,a_2, a_3, …\). Poi c’è un qualche stato di \(S^*\) (lo ‘stato fondamentale’), e qualche osservabile \(B\)con valori \(b_1, b_2,b_3, …\) che appartengono a \(S^*\) (il suo ‘osservabile puntatore’, così chiamato perché è quello che gioca il ruolo dell’indicatore su un quadrante sul davanti di uno strumento di misura schematico nel registrare il risultato dell’esperimento), che sono tali che, se S^* viene avviato nel suo stato fondamentale e interagisce in modo appropriato con S, e se il valore di A immediatamente prima dell’interazione è a_1, allora il valore di B immediatamente dopo è b_1. Se invece il valore di A subito prima dell’interazione è a_2, il valore di B subito dopo è b_2; se il valore di A subito prima dell’interazione è a-3, il valore di B subito dopo è b-3, e così via. Questo è proprio quello che significa dire che \(S^*\) misura \(A\). Quindi, se rappresentiamo lo stato parziale congiunto di \(S\) e \(S^*\) (solo la parte di esso che specifica il valore di , l’osservabile i cui valori corrispondono ad assegnazioni congiunte di valori all’osservabile misurato su \(S\) e all’osservabile puntatore su \(S^*\)) con il vettore (\ket{A=a_i}_s \ket{B=b_i}_{s^*\), e lasciamo che “\(\destra freccia) “stia per la descrizione dinamica dell’interazione tra i due, dire che \(S^*\) è uno strumento di misura per \(A\) è dire che le leggi dinamiche implicano che,

e così via.

Intuitivamente, \(S^*\) è uno strumento di misura per una osservabile \(A\) solo nel caso in cui ci sia una qualche caratteristica osservabile di \(S^*\) (non importa cosa, solo qualcosa i cui valori possono essere accertati guardando il dispositivo), che è correlata con i valori di \(A\) dei sistemi che gli vengono forniti in modo tale che possiamo leggere quei valori dallo stato osservabile di \(S^*\) dopo l’interazione. In termini filosofici, \(S^*) è uno strumento di misura per \(A\) solo nel caso in cui ci sia qualche caratteristica osservabile di \(S^*) che rintraccia o indica i valori di \(A\) dei sistemi con cui interagisce in modo appropriato.

Ora, segue dalla (3.1), sopra, che ci sono stati di \(S\) (troppi per contarli) che non sono autostati di \(A\), e se consideriamo ciò che l’equazione di Schrödinger ci dice sull’evoluzione congiunta di \(S\) e \(S^*\) quando \(S\) è partito in uno di questi, troviamo che lo stato della coppia dopo l’interazione è una sovrapposizione di autostati di . Non importa quale osservabile su \(S\) viene misurata, e non importa in quale particolare superposizione inizia \(S\); quando viene alimentato in uno strumento di misura per quell’osservabile, se l’interazione è descritta correttamente dalla sequenza di Schrödinger, segue semplicemente dalla linearità dell’operatore che effettua la trasformazione dallo stato precedente a quello successivo della coppia, che lo stato congiunto di \(S\) e dell’apparecchio dopo l’interazione è una sovrapposizione di autostati di questa osservabile sul sistema congiunto.

Supponiamo, per esempio, che cominciamo \(S^*\) nel suo stato fondamentale, e \(S\) nello stato

È una conseguenza delle regole per ottenere lo spazio di stato del sistema composto che lo stato combinato della coppia è

e segue dal fatto che \(S^*\) è uno strumento di misura per \(A\),e dalla linearità di \(U\) che il loro stato combinato dopo l’interazione è

Questo, tuttavia, è incoerente con la regola dinamica per i contesti di tipo 2, perché la regola dinamica per i contesti di tipo 2 (e se ci sono tali contesti, questo è uno) comporta che lo stato della coppia dopo l’interazione sia o

o

, implica che c’è una probabilità precisa di \(\frac{1}{2}) che finisca nel primo, e una probabilità di \(\frac{1}{2}) che finisca nel secondo.

Possiamo cercare di ristabilire la coerenza logica rinunciando alla regola dinamica per i contesti di tipo 2 (o, ciò che equivale alla stessa cosa, negando che esistano tali contesti), ma allora abbiamo il problema della coerenza con l’esperienza. Perché non è stato un semplice errore che quella regola sia stata inclusa nella teoria; sappiamo come appare un sistema quando è in uno stato proprio di una data osservabile, e sappiamo dall’osservazione che l’apparato di misurazione dopo la misurazione è in uno stato proprio dell’osservabile puntatore. E così sappiamo fin dall’inizio che se una teoria ci dice qualcos’altro sugli stati post-misura degli apparati di misura, qualunque sia questo qualcos’altro, è sbagliata.

Questo, in poche parole, è il problema della misura nella meccanica quantistica; qualsiasi interpretazione della teoria, qualsiasi storia dettagliata su come è il mondo secondo la meccanica quantistica, e in particolare quei pezzi di mondo in cui le misure sono in corso, deve affrontarlo.

Fine libere

Gli stati misti sono somme ponderate di stati puri, e possono essere usati per rappresentare gli stati di insiemi i cui componenti sono in diversi stati puri, o gli stati di sistemi individuali di cui abbiamo solo una conoscenza parziale. Nel primo caso, il peso attribuito a un dato stato puro riflette la dimensione del componente dell’insieme che si trova in quello stato (e quindi la probabilità oggettiva che un membro arbitrario dell’insieme lo sia); nel secondo caso, riflettono la probabilità epistemica che il sistema in questione a cui lo stato è assegnato si trovi in quello stato.

Se non vogliamo perdere la distinzione tra stati puri e misti, abbiamo bisogno di un modo di rappresentare la somma ponderata di un insieme di stati puri (equivalentemente, delle funzioni di probabilità ad essi associate) che sia diverso dalla somma dei vettori (opportunamente ponderati) che li rappresentano, e ciò significa che abbiamo bisogno o di un modo alternativo di rappresentare gli stati misti, o di un modo uniforme di rappresentare sia gli stati puri che quelli misti che preservi la distinzione tra essi.C’è un tipo di operatore negli spazi di Hilbert, chiamato operatore di densità, che serve bene in quest’ultima funzione, e non è difficile riaffermare tutto ciò che è stato detto sui vettori di stato in termini di operatori di densità. Così, anche se è comune parlare come se gli stati puri fossero rappresentati da vettori, la regola ufficiale è che gli stati – puri e misti, allo stesso modo – sono rappresentati in meccanica quantistica da operatori di densità.

Anche se gli stati misti possono, come ho detto, essere usati per rappresentare la nostra ignoranza degli stati dei sistemi che sono effettivamente in uno o in un altro stato puro, e anche se questo è sembrato a molti un modo adeguato di interpretare le miscele in contesti classici, ci sono seri ostacoli all’applicazione generale alle miscele della meccanica quantistica. Tutto ciò che è stato detto sugli osservabili, in senso stretto, si applica solo al caso in cui i valori dell’osservabile formano un insieme discreto; le sottigliezze matematiche che sono necessarie per generalizzarlo al caso degli osservabili continui sono complicate e sollevano problemi di natura più tecnica. Anche questi sono meglio lasciati per una discussione dettagliata.

Questa dovrebbe essere tutta la preparazione iniziale necessaria per avvicinarsi alla discussione filosofica della meccanica quantistica, ma è solo un primo passo. Quanto più si impara sulle relazioni tra e tra i vettori e gli operatori nello spazio di Hilbert, su come gli spazi dei sistemi semplici si relazionano a quelli dei sistemi complessi e sull’equazione che descrive come i vettori di stato si muovono nello spazio, tanto meglio si apprezzeranno sia la natura che la difficoltà dei problemi associati alla teoria. La cosa divertente della meccanica quantistica, la cosa che la rende infinitamente coinvolgente per un filosofo, è che più si impara, più i problemi diventano difficili.