Ispirazione, matematica pura, applicata ed esteticaModifica

Sir Isaac Newton (1643-1727), condivide con Leibniz la paternità dello sviluppo del calcolo integrale e differenziale.

È del tutto possibile che l’arte del calcolo sia stata sviluppata ancora prima della scrittura, in relazione principalmente alla contabilità e alla gestione delle proprietà, al commercio, nel rilevamento, e più tardi nell’astronomia.

Oggi, tutte le scienze contribuiscono a problemi che vengono studiati dai matematici, mentre nuovi problemi appaiono all’interno della matematica stessa. Per esempio, il fisico Richard Feynman ha proposto l’integrale di percorso come fondamento della meccanica quantistica, combinando il ragionamento matematico e l’approccio fisico, ma una definizione pienamente soddisfacente in termini matematici non è ancora stata raggiunta. Allo stesso modo, la teoria delle stringhe, una teoria scientifica in via di sviluppo che cerca di unificare le quattro forze fondamentali della fisica, continua a ispirare la maggior parte della matematica moderna.

Alcune matematiche sono rilevanti solo per l’area in cui sono state ispirate e vengono applicate ad altri problemi in quel campo. Spesso, tuttavia, la matematica ispirata da un’area particolare è utile in molti campi, ed è inclusa nei concetti matematici generali accettati. Il fatto notevole che anche la matematica più pura ha di solito applicazioni pratiche è ciò che Eugene Wigner ha definito “l’irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali”.

Come nella maggior parte delle aree di studio, l’esplosione della conoscenza nell’era scientifica ha portato alla specializzazione della matematica. C’è un’importante distinzione tra matematica pura e matematica applicata. La maggior parte dei matematici ricercatori si concentra su una sola di queste aree, e a volte la scelta viene fatta quando iniziano la loro laurea. Diverse aree della matematica applicata si sono fuse con altre aree tradizionalmente al di fuori della matematica e sono diventate discipline indipendenti, come la statistica, la ricerca operativa o l’informatica.

Quelli che hanno una predilezione per la matematica trovano che prevale un aspetto estetico che definisce la maggior parte della matematica. Molti matematici parlano dell’eleganza della matematica, della sua estetica intrinseca e della sua bellezza interiore. In generale, uno dei suoi aspetti più apprezzati è la sua semplicità. C’è bellezza in una dimostrazione semplice e forte, come la dimostrazione di Euclide dell’esistenza di infiniti numeri primi, e in un’elegante analisi numerica che velocizza il calcolo, così come nella veloce trasformata di Fourier. G. H. Hardy in A Mathematician’s Apology ha espresso la convinzione che queste considerazioni estetiche sono, di per sé, sufficienti a giustificare lo studio della matematica pura. I matematici spesso si sforzano di trovare prove di teoremi che siano particolarmente eleganti, l’eccentrico matematico Paul Erdős si riferisce a questo fatto come alla ricerca di prove de “Il Libro” in cui Dio ha scritto le sue prove preferite. La popolarità della matematica ricreativa è un altro segno del piacere di risolvere questioni matematiche.

Notazione, linguaggio e rigoreModifica

Leonhard Euler. Probabilmente il matematico più prolifico di tutti i tempi.

La maggior parte della notazione matematica in uso oggi non fu inventata fino al XVIII secolo. Prima di allora, la matematica veniva scritta a parole, un processo minuzioso che limitava il progresso matematico. Nel XVIII secolo, Eulero, fu responsabile di molte delle notazioni usate oggi. La notazione moderna rende la matematica molto più facile per i professionisti, ma complicata per i principianti. La notazione riduce la matematica al minimo, facendo sì che alcuni simboli contengano una grande quantità di informazioni. Come la notazione musicale, la notazione matematica moderna ha una sintassi rigorosa e codifica informazioni che sarebbero difficili da scrivere altrimenti.

Il simbolo dell’infinito in diversi font.

Il linguaggio matematico può anche essere difficile per i principianti. Parole come o e solo hanno significati più precisi che nel linguaggio comune. Inoltre, parole come open e body hanno significati matematici molto specifici. Il gergo matematico, o linguaggio matematico, include termini tecnici come omeomorfismo o integrabilità. La ragione della necessità di usare notazione e gergo è che il linguaggio matematico richiede più precisione del linguaggio quotidiano. I matematici si riferiscono a questa precisione nel linguaggio e nella logica come “rigore”.

Il rigore è una condizione indispensabile che deve avere una dimostrazione matematica. I matematici vogliono che i loro teoremi dagli assiomi seguano un ragionamento sistematico. Questo serve ad evitare teoremi errati, basati su intuizioni fallibili, che si sono verificati diverse volte nella storia di questa scienza. Il livello di rigore che ci si aspetta dalla matematica è variato nel tempo: i greci cercavano argomenti dettagliati, ma al tempo di Isaac Newton i metodi impiegati erano meno rigorosi. I problemi inerenti alle definizioni usate da Newton portarono ad una rinascita dell’analisi attenta e delle dimostrazioni ufficiali nel XIX secolo. Ora, i matematici continuano a sostenersi a vicenda con dimostrazioni assistite da computer.

Un assioma è tradizionalmente interpretato come una “verità evidente”, ma questa concezione è problematica. Nel regno formale, un assioma non è altro che una stringa di simboli, che ha un significato intrinseco solo nel contesto di tutte le formule derivate da un sistema assiomatico.

La matematica come scienzaModifica

Carl Friedrich Gauss, soprannominato il “principe dei matematici”, si riferiva alla matematica come “la regina delle scienze”. Sia nell’originale latino Scientiārum Regīna, sia nel tedesco Königin der Wissenschaften, la parola scienza è da interpretare come (campo di) conoscenza. Se la scienza è considerata lo studio del mondo fisico, allora la matematica, o almeno la matematica pura, non è una scienza.

Molti filosofi credono che la matematica non sia sperimentalmente falsificabile e quindi non sia una scienza secondo la definizione di Karl Popper. Tuttavia, negli anni ’30 un importante lavoro nella logica matematica mostra che la matematica non può essere ridotta alla logica, e Karl Popper conclude che “la maggior parte delle teorie matematiche sono, come quelle della fisica e della biologia, ipotetico-deduttive”. Così, la matematica pura si è avvicinata alle scienze naturali le cui ipotesi sono congetture, come è stato finora”. Altri pensatori, in particolare Imre Lakatos, hanno chiesto una versione del falsificazionismo per la matematica stessa.

Una visione alternativa è che certi campi scientifici (come la fisica teorica) sono matematica con assiomi che pretendono di corrispondere alla realtà. Infatti, il fisico teorico J. M. Ziman propone che la scienza è “conoscenza pubblica” e quindi include la matematica. In ogni caso, la matematica ha molto in comune con molti campi delle scienze fisiche, specialmente l’esplorazione delle conseguenze logiche delle ipotesi. L’intuizione e la sperimentazione giocano anche un ruolo importante nella formulazione di congetture in matematica e nelle altre scienze. La matematica sperimentale continua ad essere rappresentata all’interno della matematica. Il calcolo e la simulazione stanno giocando un ruolo crescente sia nella scienza che nella matematica, mitigando l’obiezione che la matematica non fa uso del metodo scientifico. Nel 2002 Stephen Wolfram sostiene, nel suo libro A New Kind of Science, che la matematica computazionale merita di essere esplorata empiricamente come un campo scientifico.

Le opinioni dei matematici su questo argomento sono molto varie. Molti matematici considerano che chiamare il loro campo una scienza è minimizzare l’importanza del suo profilo estetico, così come negare la sua storia all’interno delle sette arti liberali. Altri ritengono che ignorare la sua connessione con le scienze è ignorare l’ovvia connessione tra la matematica e le sue applicazioni nella scienza e nell’ingegneria, che ha dato grande impulso allo sviluppo della matematica. Un’altra questione di dibattito, che è in qualche modo collegata alla precedente, è se la matematica sia stata creata (come arte) o scoperta (come scienza). Questa è una delle tante questioni che riguardano la filosofia della matematica.

I premi matematici sono generalmente tenuti separati dai loro equivalenti nella scienza. Il premio più prestigioso in matematica, la medaglia Fields, è stato istituito nel 1936 e viene assegnato ogni quattro anni. È spesso considerato l’equivalente del premio Nobel per la scienza. Altri premi sono il Premio Wolf in matematica, creato nel 1978, che riconosce i risultati di vita dei matematici, e il Premio Abel, un altro importante premio internazionale, introdotto nel 2003. Gli ultimi due sono assegnati per un lavoro eccellente, che può essere una ricerca innovativa o la soluzione di un problema eccezionale in un determinato campo. Una famosa lista di questi 23 problemi irrisolti, chiamata “Problemi di Hilbert”, fu compilata nel 1900 dal matematico tedesco David Hilbert. Questa lista è diventata molto popolare tra i matematici, e almeno nove dei problemi sono già stati risolti. Una nuova lista di sette problemi fondamentali, intitolata “Millennium Problems”, è stata pubblicata nel 2000. La soluzione di ciascuno dei problemi sarà premiata con 1 milione di dollari. È interessante notare che solo uno (l’ipotesi di Riemann) appare in entrambe le liste.