$ \def\P{\mathcal P} % potenza dell’insieme \def\iff{freccia destra sinistra}$

Mapping, o abbreviato map, è uno dei molti sinonimi usati per funzione.In particolare, il termine map(ping) è usato in contesti generali, come la teoria degli insiemi, ma l’uso non è limitato a questi casi.

Il concetto di mappatura nella teoria degli insiemi

Nella teoria degli insiemi le mappature sono relazioni binarie speciali.

Una mappatura $ f$ da un insieme $ A$ ad un insieme $ B$ è una tripla (ordinata) $ f = (A,B,G_f) $ dove $ G_f \sottoinsieme A \tempo B $ tale che

• (a) se $ (x,y) $ e $ (x,y’) \in G_f $ allora $ y=y’ $, e
• (b) la proiezione $ \pi_1 (G_f) = \{ x \mid (x,y) \in G_f \} = A $.

La condizione (a) esprime che $f$ è monovalente e la condizione (b) che è definita su $A$.

$A$ è il dominio, $B$ è il codominio e $G_f$ è il grafico della mappatura. Quindi, in questa impostazione, le mappature sono uguali se e solo se tutti e tre i componenti corrispondenti (dominio, codominio e grafico) sono uguali.
La mappatura è di solito indicata come $ f : A \a B $, e $ a \mappa a f(a) $ dove $ f(a) := b \iff (a,b) \in G_f $ è il valore di $f$ in $a$.

Se due mappature $ f_1 = (A_1,B_1,G_1) $ e $ f_2 = (A_2,B_2,G_2) $ soddisfano

$ A_1 \subset A_2 $, $ B_1 \sottoinsieme B_2 $ e $ G_1 \sottoinsieme G_2 $

allora $ f_2 $ è detto un’estensione di $ f_1 $, e $ f_1 $ una restrizione di $ f_2 $.In questo caso, $ f_1 $ è spesso indicato come $ f_2 \vert A_1 $ e, chiaramente, $ f_1 (a) = f_2 (a) $ vale per tutti $ a \in A_1 $.

Ricordo:
A volte solo il grafico $G_f$ è usato per rappresentare una funzione.In questo caso due mappature sono uguali se hanno lo stesso grafico, e si possono ammettere grafici che non sono insiemi ma classi.
Mentre il dominio della funzione può essere ottenuto come proiezione $ \pi_1 (G_f) $ della prima componente, la proiezione $ \pi_2 (G_f) $ della seconda componente non produce il codominio ma solo l’immagine del dominio.Quindi il concetto di surjectivity non è applicabile.

Composizione

Due mappature possono essere composte se il codominio di una mappatura è un sottoinsieme del dominio dell’altra mappatura:

Per $ f=(A,B,G_f) $ e $ g=(C,D,G_g) $ con $ B \sottoinsieme C $ la composizione $ g \circ f $ è la mappatura $ (A,D,G) $ con

$ G := \(a,g(f(a)) \mid a \in A \} = \{ (a,c) \mid (\exists b \in B) ( (a,b) \in G_f \land (b,c) \in G_g ) \} $.

Raccomandazioni:
(a) La condizione $ B \sottoinsieme C $ può essere rilassata a $ f(A) \sottoinsieme C $.
(b) Se si usano solo grafici allora il grafico della composizione è definito (come sopra) da

$ G_{g \circ f} := \{ (a,c) \mid (\esiste b ) ( (a,b) \in G_f \terra (b,c) \in G_g ) \f \f) $

ma può risultare vuoto.

Mappature indotte

Ogni mappatura $ f : A \a B $ induce due mappature tra gli insiemi delle potenze $\P(A)$ e $\P(B)$.

$ f_\ast : \P(A) \a \P(B) $ definito da $ f_\ast (S) := \{ f(a) \mid a \in S \}$ per $ S \sottoinsieme A $

e

$ f^\ast : \P(B) \a \P(A) $ definito da $ f^\ast (T) := \{ a \mid f(a) \in T \}$ per $ T \sottoinsieme B $

$ f_\ast (S) $ è chiamato l’immagine di $S$ sotto $f$, solitamente indicato come $f(S)$, e$ f^\ast (T) $ è chiamato l’immagine inversa di $T$ sotto $f$, solitamente indicato come $f^{-1}(T)$, ma bisogna essere consapevoli che queste notazioni comuni possono essere ambigue in certe situazioni.