Il problemaModifica

La congettura di Poincaré, proposta dal matematico francese Henri Poincaré nel 1904, era uno dei problemi chiave della topologia. Qualsiasi anello su una sfera 3 – come esemplificato dall’insieme dei punti a distanza 1 dall’origine nello spazio euclideo quadridimensionale – può essere contratto in un punto. La congettura di Poincaré afferma che qualsiasi manifesto tridimensionale chiuso, tale che ogni ciclo può essere contratto in un punto, è topologicamente una sfera 3. Il risultato analogo è noto per essere vero in dimensioni maggiori o uguali a cinque dal 1960, come nel lavoro di Stephen Smale. Il caso quadridimensionale ha resistito più a lungo, venendo finalmente risolto nel 1982 da Michael Freedman. Ma il caso di tre manufatti si è rivelato essere il più difficile di tutti. In parole povere, questo è dovuto al fatto che nella manipolazione topologica di un triplo manifold ci sono troppo poche dimensioni per spostare le “regioni problematiche” senza interferire con qualcos’altro. Il contributo più fondamentale al caso tridimensionale era stato prodotto da Richard S. Hamilton. Il ruolo di Perelman era quello di completare il programma di Hamilton.

La dimostrazione di PerelmanModifica

Nel novembre 2002, Perelman pubblicò il primo di tre preprint all’arXiv, in cui sosteneva di aver delineato una prova della congettura della geometrizzazione, di cui la congettura di Poincaré è un caso particolare. Questo è stato seguito da altri due preprint nel 2003.

Perelman ha modificato il programma di Richard S. Hamilton per una prova della congettura. L’idea centrale è la nozione di flusso di Ricci. L’idea fondamentale di Hamilton è di formulare un “processo dinamico” in cui un dato tricomplesso viene distorto geometricamente, con il processo di distorsione governato da un’equazione differenziale analoga all’equazione del calore. L’equazione del calore (che molto prima ha motivato Riemann a dichiarare la sua ipotesi di Riemann sugli zeri della funzione zeta) descrive il comportamento di quantità scalari come la temperatura. Assicura che le concentrazioni di temperatura elevata si diffondono fino a raggiungere una temperatura uniforme in tutto un oggetto. Allo stesso modo, il flusso di Ricci descrive il comportamento di una quantità tensoriale, il tensore di curvatura di Ricci. La speranza di Hamilton era che sotto il flusso di Ricci le concentrazioni di grande curvatura si diffondessero fino a raggiungere una curvatura uniforme sull’intero tricomplesso. Se è così, se si inizia con un qualsiasi tricomero e si lascia che il flusso di Ricci si verifichi, allora si dovrebbe, in linea di principio, ottenere alla fine una sorta di “forma normale”. Secondo William Thurston questa forma normale deve prendere una di un piccolo numero di possibilità, ognuna delle quali ha un diverso tipo di geometria, chiamata geometrie modello di Thurston.

Tuttavia, era ampiamente previsto che il processo sarebbe stato ostacolato dallo sviluppo di “singolarità”. Negli anni ’90, Hamilton ha fatto progressi nella comprensione dei possibili tipi di singolarità che possono verificarsi, ma non è stato in grado di fornire una descrizione completa. Gli articoli di Perelman hanno abbozzato una soluzione. Secondo Perelman, ogni singolarità ha l’aspetto di un cilindro che collassa verso il suo asse o di una sfera che collassa verso il suo centro. Con questa comprensione, è stato in grado di costruire una modifica del flusso di Ricci standard, chiamata flusso di Ricci con chirurgia, che può sistematicamente eliminare le regioni singolari mentre si sviluppano, in modo controllato. L’idea del flusso di Ricci con chirurgia era presente fin da un articolo di Hamilton del 1993, che l’aveva realizzata con successo nel 1997 nell’ambito di spazi di dimensioni superiori soggetti a certe condizioni geometriche ristrette. La procedura di chirurgia di Perelman era sostanzialmente simile a quella di Hamilton, ma era sorprendentemente diversa nei suoi aspetti tecnici.

Perelman ha dimostrato che ogni singolarità che si sviluppa in un tempo finito è essenzialmente un “pizzicamento” lungo certe sfere corrispondenti alla decomposizione primaria dell’omomobile a 3 dimensioni. Inoltre, ogni singolarità “a tempo infinito” risulta da certi pezzi di collasso della decomposizione JSJ. Il lavoro di Perelman dimostra questa affermazione e quindi la congettura della geometrizzazione.

Il contenuto dei tre articoli è riassunto qui sotto:

• Il primo preprint, La formula di entropia per il flusso di Ricci e le sue applicazioni geometriche, fornisce molte nuove tecniche nello studio del flusso di Ricci, il cui risultato principale è un teorema che dà una caratterizzazione quantitativa delle regioni ad alta curvatura del flusso.
• Il secondo preprint, Ricci flow with surgery on three-manifolds, corregge alcune affermazioni errate del primo articolo e completa alcuni dettagli, e usa il risultato principale del primo articolo per prescrivere la procedura di chirurgia. La seconda metà dell’articolo è dedicata a un’analisi dei flussi di Ricci che esistono per un tempo infinito.
• Il terzo preprint, Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds, fornisce una scorciatoia per la dimostrazione della congettura di Poincaré che evita gli argomenti della seconda metà del secondo preprint. Mostra che su qualsiasi spazio che soddisfa le ipotesi della congettura di Poincaré, il flusso di Ricci con chirurgia esiste solo per un tempo finito, così che l’analisi del flusso di Ricci all’infinito è irrilevante.

Tobias Colding e William Minicozzi II hanno fornito un argomento completamente alternativo al terzo preprint di Perelman. Il loro argomento, dato il prerequisito di alcuni sofisticati argomenti di teoria della misura geometrica sviluppati negli anni ’80, è particolarmente semplice.

VerificationEdit

I preprint di Perelman hanno rapidamente guadagnato l’attenzione della comunità matematica, anche se sono stati ampiamente visti come difficili da capire dal momento che erano stati scritti in modo piuttosto sommario. Contro lo stile usuale nelle pubblicazioni matematiche accademiche, molti dettagli tecnici erano stati omessi. Fu presto evidente che Perelman aveva dato importanti contributi ai fondamenti del flusso di Ricci, anche se non fu immediatamente chiaro alla comunità matematica che questi contributi erano sufficienti a dimostrare la congettura della geometrizzazione o la congettura di Poincaré.

Nell’aprile 2003, Perelman visitò il Massachusetts Institute of Technology, la Princeton University, la Stony Brook University, la Columbia University e la New York University per tenere una breve serie di conferenze sul suo lavoro e per chiarire alcuni dettagli agli esperti dei campi interessati.

Nel giugno 2003, Bruce Kleiner e John Lott, entrambi allora dell’Università del Michigan, pubblicarono sul sito web di Lott delle note che, sezione per sezione, riempivano molti dei dettagli del primo preprint di Perelman. Nel settembre 2004, le loro note sono state aggiornate per includere il secondo preprint di Perelman. Dopo ulteriori revisioni e correzioni, hanno postato una versione all’arXiv il 25 maggio 2006, una versione modificata della quale è stata pubblicata nella rivista accademica Geometry & Topology nel 2008. Al Congresso Internazionale dei Matematici del 2006, Lott ha detto: “Ci è voluto del tempo per esaminare il lavoro di Perelman. Questo è dovuto in parte all’originalità del lavoro di Perelman e in parte alla sofisticazione tecnica dei suoi argomenti. Tutte le indicazioni sono che i suoi argomenti sono corretti”. Nell’introduzione al loro articolo, Kleiner e Lott hanno spiegato

Le prove di Perelman sono concise e, a volte, sommarie. Lo scopo di queste note è di fornire i dettagli che mancano in … Per quanto riguarda le prove, contengono alcune affermazioni errate e argomenti incompleti, che abbiamo cercato di far notare al lettore. (Alcuni degli errori in sono stati corretti in .) Non abbiamo trovato alcun problema serio, cioè problemi che non possono essere corretti usando i metodi introdotti da Perelman.

Nel giugno 2006, l’Asian Journal of Mathematics ha pubblicato un articolo di Zhu Xiping della Sun Yat-sen University in Cina e Huai-Dong Cao della Lehigh University in Pennsylvania, dando una descrizione completa della prova di Perelman delle congetture di Poincaré e della geometrizzazione. A differenza dell’articolo di Kleiner e Lott, che era strutturato come una raccolta di annotazioni agli articoli di Perelman, l’articolo di Cao e Zhu mira direttamente a spiegare le prove della congettura di Poincaré e della congettura di geometrizzazione. Nella loro introduzione, spiegano

In questo articolo, presenteremo la teoria Hamilton-Perelman del flusso di Ricci. Sulla base di essa, daremo il primo resoconto scritto di una prova completa della congettura di Poincaré e della congettura di geometrizzazione di Thurston. Mentre l’opera completa è uno sforzo accumulato da molti analisti geometrici, i maggiori contributori sono indiscutibilmente Hamilton e Perelman. In questo articolo, daremo prove complete e dettagliate soprattutto del lavoro di Perelman nel suo secondo articolo in cui molte idee chiave delle prove sono abbozzate o delineate ma mancano spesso i dettagli completi delle prove. Come abbiamo sottolineato prima, dobbiamo sostituire diversi argomenti chiave di Perelman con nuovi approcci basati sul nostro studio, perché non siamo stati in grado di comprendere questi argomenti originali di Perelman che sono essenziali per il completamento del programma di geometrizzazione.

Nel luglio 2006, John Morgan della Columbia University e Gang Tian del Massachusetts Institute of Technology hanno pubblicato un articolo su arXiv in cui hanno fornito una presentazione dettagliata della prova di Perelman della congettura di Poincaré. A differenza delle esposizioni di Kleiner-Lott e Cao-Zhu, quella di Morgan e Tian riguarda anche il terzo articolo di Perelman. Il 24 agosto 2006, Morgan tenne una conferenza all’ICM di Madrid sulla congettura di Poincaré, in cui dichiarò che il lavoro di Perelman era stato “accuratamente controllato”. Nel 2008, Morgan e Tian hanno pubblicato un articolo che copre i dettagli della dimostrazione della congettura della geometrizzazione. I due articoli di Morgan e Tian sono stati pubblicati in forma di libro dal Clay Mathematics Institute.

Revisioni delle verificheModifica

Tutte e tre le esposizioni precedenti sono state riviste dopo la pubblicazione. Le esposizioni di Kleiner-Lott e Morgan-Tian sono state trovate con degli errori (che non hanno influenzato l’ampia portata), mentre l’esposizione di Cao-Zhu ha attirato critiche per il loro fraseggio e per un errore di attribuzione.

Dopo la pubblicazione, l’articolo di Kleiner e Lott è stato successivamente rivisto due volte per correzioni, come per una dichiarazione errata dell’importante “teorema di compattezza” di Hamilton per il flusso di Ricci. L’ultima revisione del loro articolo risale al 2013. Nel 2015, Abbas Bahri ha fatto notare un errore nell’esposizione di Morgan e Tian, che è stato successivamente corretto da Morgan e Tian e ricondotto a un errore computazionale di base.

L’articolo di Cao e Zhu ha subito critiche da alcune parti della comunità matematica per le loro scelte di parole, che alcuni osservatori hanno interpretato come una rivendicazione di troppo credito per se stessi. L’uso della parola “applicazione” nel titolo “A Complete Proof of the Poincaré and Geometrization Conjectures – Application of the Hamilton-Perelman Theory of Ricci Flow” e la frase “This proof should be considered as the crowning achievement of the Hamilton-Perelman theory of Ricci flow” nell’abstract sono stati particolarmente criticati. Quando gli è stato chiesto della questione, Perelman ha detto che Cao e Zhu non hanno contribuito a nulla di originale, e hanno semplicemente rielaborato la sua prova perché “non hanno capito bene l’argomento”. Inoltre, una delle pagine dell’articolo di Cao e Zhu era essenzialmente identica a una dell’articolo di Kleiner e Lott del 2003. In un erratum pubblicato, Cao e Zhu hanno attribuito questo a una svista, dicendo che nel 2003 avevano preso appunti dalla versione iniziale delle note di Kleiner e Lott, e nel loro scritto del 2006 non si erano resi conto della fonte corretta delle note. Hanno postato una versione rivista all’arXiv con revisioni nella loro formulazione e nella relativa pagina della dimostrazione.

Punti di vista attualiModifica

A partire dal 2020, rimangono alcuni matematici che, sebbene sia universalmente riconosciuto che Perelman ha fatto passi da gigante nella teoria del flusso di Ricci, non accettano che le congetture di Poincaré e di geometrizzazione siano state dimostrate. Per questi osservatori, le parti problematiche della dimostrazione si trovano nella seconda metà del secondo preprint di Perelman. Per esempio, la medaglia Fields Shing-Tung Yau ha detto nel 2019 che

Anche se può essere un’eresia per me dirlo, non sono certo che la prova sia totalmente inchiodata. Sono convinto, come ho già detto molte volte, che Perelman abbia fatto un lavoro brillante sulla formazione e la struttura delle singolarità negli spazi tridimensionali, un lavoro davvero degno della medaglia Fields che gli è stata assegnata. Su questo non ho dubbi Il fatto è che ci sono pochissimi esperti nell’area del flusso di Ricci, e non ho ancora incontrato nessuno che affermi di avere una comprensione completa dell’ultima, più difficile parte della dimostrazione di Perelman Per quanto ne so, nessuno ha preso alcune delle tecniche che Perelman ha introdotto verso la fine del suo articolo e le ha usate con successo per risolvere qualsiasi altro problema significativo. Questo mi suggerisce che anche altri matematici non hanno ancora piena padronanza di questo lavoro e delle sue metodologie.

Al contrario, quando il premio Millennium è stato assegnato a Perelman per la “risoluzione della congettura di Poincaré” nel 2010, il medaglia Fields Simon Donaldson, in una delle laudi per il premio, ha detto

Da quando sono apparsi i preprint riguardanti le congetture Poincaré e Geometrisation, i matematici di tutto il mondo sono stati uniti nell’esprimere il loro apprezzamento, stupore e meraviglia per il suo straordinario risultato, e credo di parlare qui come rappresentante di tutta la nostra comunità intellettuale. Risolve un problema eccezionale, vecchio di secoli.