Introduzione

La dinamica su larga scala dell’universo è governata dall’espansione cosmica generale e dal campo gravitazionale degli oggetti massicci. Si ritiene che i campi magnetici non giochino alcun ruolo importante nella prima. Si ritiene che i campi magnetici non siano stati presenti, o almeno non a forza apprezzabile, al Big Bang e durante il successivo periodo inflazionario. Se erano presenti, allora sotto forma di monopoli magnetici spuri. Diventano importanti su scale più piccole. Su scale di oggetti compatti magnetizzati cominciano a diventare non trascurabili e, per un certo numero di processi, diventano addirittura la forza dominante.

I campi magnetici sono legati al flusso di corrente elettrica e quindi, a differenza dei campi elettrici le cui fonti sono cariche elementari e differenze di carica, sono generati da processi che causano correnti elettriche. Le correnti implicano un trasporto non ambipolare di cariche. La questione di quanto forti possano diventare i campi magnetici si riduce quindi alla questione di quanto forti possano diventare le correnti. Nell’elettrodinamica classica questo implica dalla legge di Ampère per i campi magnetici stazionari che

se si limita al solo trasporto di carica e si assumono mezzi non magnetici di (per semplicità con carica singola) densità di ioni ed elettroni e velocità di massa Ni,e, Vi,e rispettivamente. Altrimenti si aggiungerebbe un termine di magnetizzazione M che dipende dalle proprietà della materia. La determinazione di M richiede un trattamento quantomeccanico nel quadro della fisica dello stato solido.

Assumendo, senza restrizioni, la quasineutralità Ne ≈ Ni = N, solo le differenze di velocità contribuiscono. Poiché gli elettroni sono sostanzialmente più mobili degli ioni, la corrente può essere ragionevolmente approssimata dalla corrente di elettroni J ≈ – eNVe, una condizione che vale strettamente nel quadro di riferimento degli ioni. Poiché le velocità sono limitate dalla velocità della luce c, il campo magnetico è classicamente limitato da

suggestionando che il campo magnetico cresce con L e la densità N. Qui Ncc è in unità di elettroni per cm-3, e Lkm è la scala di lunghezza attraverso un filamento di corrente in unità di km. Nella crosta di una stella di neutroni, per esempio, abbiamo Lkm ~ 1. Se approssimativamente tutti gli elettroni nella crosta partecipano al flusso di corrente, abbiamo Ncc × ~ 1030. Quindi, l’intensità del campo magnetico potrebbe andare fino a B ~ 1028 Gauss, un numero enorme rispetto al massimo B ~ 1015 – 1016 Gauss osservato nelle magnetar.

Questa stima grezza deve essere commentata per evitare malintesi. Si ritiene che i campi magnetici siano generati preferibilmente da azioni dinamo. Tali azioni non sono presumibilmente all’opera in nane bianche, stelle di neutroni, magnetar o qualsiasi altro oggetto compatto. I campi sono prodotti nei loro progenitori in rotazione differenziale. Prendiamo il Sole come esempio con un’azione dinamo nella zona di convezione di spessore L☉ ~ 2 × 105 km e densità media N☉cc ~ 8 × 1023. Usare la larghezza totale della zona di convezione sovrastima grossolanamente la larghezza del filamento attuale. Un limite superiore assoluto sarebbe L☉km ≲ 2 × 104. Chiaramente le velocità sono anche molto meno di c. Così, usando c si ottiene un estremo limite superiore assoluto sul campo magnetico B < 1021 T. I campi comparabilmente forti nelle stelle di neutroni sono successivamente prodotti nel rapido collasso della stella progenitrice magnetizzata pesante non avendo avuto il tempo entro il tempo di collasso di dissipare l’energia magnetica che viene compressa nel piccolo volume della stella di neutroni. Il fattore di compressione è dell’ordine di ~ 1012 che produce campi limite di B ≲ 1035 Gauss. La stima elettrodinamica classica fallisce chiaramente nel fornire un limite superiore dell’intensità del campo magnetico che corrisponderebbe all’evidenza osservativa.

Altre discrepanze non meno gravi si ottengono ponendo l’energia del campo magnetico della stella di neutroni uguale all’energia rotazionale totale disponibile sia nel progenitore che nella stella di neutroni assumendo l’equipartizione dell’energia rotazionale e magnetica – chiaramente un’assunzione poco giustificata in entrambi i casi. L’energia magnetica non può diventare più grande dell’energia dinamica originariamente disponibile della sua causa di cui è solo una frazione. E’ presumibilmente principalmente discutibile se i campi magnetici potrebbero mai essere stati prodotti da qualsiasi meccanismo classico sostanzialmente più forte di quello osservato nelle stelle di neutroni (ad eccezione di una breve fase di amplificazione dinamica post-collasso lunga ~10 s nel migliore dei casi che produce un altro fattore di ~10-100 ) e, da un’ulteriore concentrazione di energia magnetica in volumi più piccoli, il raggruppamento di tubi di flusso magnetico, come si ritiene che avvenga nelle magnetar. Se sono stati generati campi molto più forti, deve essere successo in tempi e in oggetti in cui i campi magnetici potrebbero essere stati prodotti da processi diversi dalle dinamo classiche. Si deve quindi entrare nell’elettrodinamica quantistica rispettivamente nella teoria quantistica dei campi per dedurre le principali limitazioni fisiche alla generazione di qualsiasi campo magnetico. La seguente indagine è motivata meno dalle osservazioni che da questa questione teorica fondamentale.

Elementi di flusso

La meccanica quantistica fornisce un modo per ottenere un primo limite sul campo magnetico dalla soluzione dell’equazione di Schrödinger, trovata originariamente da Landau nel 1930, di un elettrone che orbita in un campo magnetico omogeneo. L’interpretazione fisica di questa soluzione è stata data molto più tardi nella teoria di Aharonov-Bohm. Dal requisito che il flusso magnetico Φ di un campo B confinato in un’orbita di giro dell’elettrone deve essere a valore singolo, Aharonov e Bohm dedussero che Φ = ν Φ0 è quantizzato con elemento di flusso Φ0 = 2πħ/e, e la carica elementare, e ν = 1, 2, …. Poiché ν = Φ/Φ0 è il numero di flussi elementari trasportati dal campo, e B = Φ/πl2, mettendo ν = 1 si definisce una lunghezza magnetica minima

Questa lunghezza, che è il giroscopio di un elettrone nel livello energetico di Landau più basso, può essere interpretato come il raggio di una linea di campo magnetico nel campo magnetico B. Le linee di campo diventano più strette quanto più forte è il campo magnetico. D’altra parte, riscrivendo l’equazione (3) si ottiene un’espressione per il campo magnetico

da cui, per una data lunghezza “critica” più corta lB ≡ lc il massimo campo magnetico Bc corrispondente a lc può, in principio, essere stimato. Ponendo, per esempio, lc = 2πħ/mc uguale alla lunghezza Compton dell’elettrone λ0 = 2πħ/mc, si ottiene l’intensità del campo magnetico critico della pulsar (stella di neutroni) Bq ≡ Bns ≈ 3 × 109 T = 3 × 1013 Gauss. È di notevole interesse che circa questa intensità di campo sia stata effettivamente dedotta dall’osservazione della linea fondamentale (ν = 1) dell’elettrone ciclotrone armonico a raggi X rilevata dalla pulsar HerX1 , circa due decenni dopo Aharonov e Bohm, e mezzo secolo dopo la teoria di Landau.

Generalizzazione

L’uso della lunghezza d’onda Compton mette in relazione l’intensità di campo limite nelle stelle di neutroni all’elettrodinamica quantistica. Ciò solleva la questione di una più precisa determinazione teorica dell’intensità di campo limite dell’elettrodinamica quantistica che tenga conto degli effetti relativistici. Solleva anche la questione se il riferimento ad altre scale di lunghezza fondamentali può fornire altri limiti principali sui campi magnetici se solo tali campi possono essere generati con qualche mezzo, cioè, se correnti elettriche di forza sufficiente potrebbero fluire in condizioni diverse come per esempio nella cromodinamica quantistica.

Molto formalmente, tranne che per l’inclusione degli effetti relativistici, l’equazione (4) fornisce un’equazione modello per un campo limite in funzione di qualsiasi data scala di lunghezza fondamentale lc. Sotto questa assunzione semplificatrice il campo magnetico critico Bc scala semplicemente con l’inverso del quadrato della lunghezza fondamentale corrispondente. Formalmente, questo è mostrato graficamente nella Figura 1 sotto l’assunzione della validità della scala di Aharonov-Bohm alle energie più alte.

Il limite Compton ai campi magnetici era noto da considerazioni di energia retta che prevedono il decadimento del vuoto alla formazione di coppie a campi magnetici più forti di Bns. Per questo motivo la scoperta di campi magnetici che superano il limite quantico fino a tre ordini nelle magnetar è stata una sorpresa iniziale. Tuttavia, calcoli elettrodinamici relativistici più precisi, compresi i grafici di Feynman di ordine superiore, hanno mostrato facilmente che il limite Compton può essere ben superato. In prima approssimazione nel momento magnetico anomalo degli elettroni il livello Landau più basso si sposta secondo

con α = α/2π la costante di struttura fine ridotta. Questa formula è valida per B < Bq. Essa suggerisce una diminuzione del più basso livello energetico di Landau per l’aumento dei campi, ovviamente con violente conseguenze non fisiche per gli oggetti astrofisici. Così, i diagrammi di Feynman che includono l’auto-attrazione di ordine superiore degli elettroni devono essere presi in considerazione, in particolare a grandi campi. In campi B ≫ Bq sostanzialmente superiori a Bq gli elettroni diventano relativisticamente massicci, e il livello Landau più basso, dopo aver passato un minimo, aumenta come

Da qui segue che l’energia del livello più basso di Landau raddoppia solo a campi magnetici dell’ordine di B ~ 1028 T (~ 1032 Gauss), molto al di sopra di qualsiasi stella di neutroni o campi magnetici superficiali magnetar. Le correzioni relativistiche dell’auto-energia che causano il decadimento del campo magnetico entreranno quindi in gioco solo a queste energie, che possono essere il limite ultimo delle intensità del campo magnetico.

È notevole che questo limite coincide approssimativamente con le migliori determinazioni sperimentali recenti di un limite superiore per il raggio dell’elettrone. Al di sotto di questa scala dovrebbero entrare ulteriori effetti, principalmente inibendo qualsiasi ulteriore aumento delle intensità di campo magnetico o addirittura l’esistenza di campi magnetici. Sembra quindi che fino a questa scala la scala di Aharonov-Bohm su cui si basa la Figura 1 non sia completamente ingiustificata. Questo è molto interessante anche dal punto di vista che entrambe le scale di interazione elettrodebole e forte sono nel dominio consentito semplicemente perché gli elettroni mantengono la loro natura in tutte queste scale. È solo la gamma di energie del deserto, rispettivamente le scale, che è esclusa. Include in particolare la gamma GUT della grande unificazione e la gravità quantistica, domini che hanno giocato un ruolo solo nell’universo molto presto. Qualsiasi rudimentale campo magnetico di quel tempo è stato diluito dall’inflazione e dall’espansione cosmologica a valori bassi situati solo nella parte inferiore della Figura 1.

Discussione e conclusioni

A meno che i monopoli magnetici siano mai esistiti e sopravvissuti nell’universo, i campi magnetici devono essere stati prodotti in qualsiasi momento attraverso la generazione di correnti elettriche. I campi generati nell’universo primordiale sono stati successivamente diluiti ai bassi valori odierni su larga scala, come discusso altrove. Potrebbero essere stati forti inizialmente, nel qual caso le loro forze sono anche soggette a limitazioni. Tuttavia, tutte le forze ragionevoli stimate dalla dinamo e da altri modelli nelle teorie classiche e cromodinamiche molto probabilmente non raggiungono nessuno dei limiti elettrodinamici di cui sopra. Presumibilmente non c’è bisogno di chiedere ulteriori limitazioni cromodinamiche. Questa affermazione può essere basata sul ruolo che gli elettroni svolgono nella generazione di corrente, che è alla base di qualsiasi produzione di campo magnetico su larga scala. Gli elettroni e le loro rotazioni sono anche responsabili del magnetismo nella materia allo stato solido. Si crede ancora che gli elettroni non abbiano struttura. In ogni caso, alle scale “interne” di un elettrone, cioè al di sotto del raggio fittizio re dell’elettrone, le correnti dovrebbero perdere qualsiasi significato o non esistere affatto e, quindi, la nozione di campo magnetico probabilmente non avrà più molto senso. Si può quindi credere che il limite superiore dell’elettrodinamica quantistica stabilisca un limite assoluto su qualsiasi intensità realistica del campo magnetico.

L’applicazione della scala di Aharonov-Bohm nella figura 1 ai campi magnetici nell’universo sembra fornire un’idea ragionevole sulle limitazioni assolute attese sulle intensità del campo magnetico su scale elettrodinamiche quantistiche. Chiaramente, il vuoto cambia carattere a scale brevi e ad alte energie, poiché i fotoni diventano pesanti passando a bosoni elettrodeboli, e i quark entrano in gioco nella materia. Gli elettroni rimangono gli stessi fino ad almeno re ~ 10-22 m, l’attuale limite superiore del raggio dell’elettrone. Questo suggerisce di scrivere l’equazione del campo magnetico critico (4) come

dove lc ≥ l0, e l0 ≳ re è la lunghezza minima rilevante oltre la quale i campi magnetici hanno senso. Nella figura 1 questo comportamento è indicato come la curva nera tratteggiata che si discosta dalla diagonale. Ancora, la stabilità del vuoto non è così chiara come lo è nell’intervallo elettrodinamico quantistico in presenza di campi magnetici superforti nell’intervallo elettrodebole e cromodinamico. Il problema rimane che i campi magnetici devono essere generati o a quelle piccole scale, o a scale elettrodinamiche molto più grandi da dove collassano fino a quelle piccole scale.

Per quanto riguarda la generazione di campi magnetici prima del collasso attraverso gli effetti generalmente accettati della dinamo o della batteria, le intensità del campo magnetico sono strettamente limitate dalle energie dinamiche disponibili, che sono molto al di sotto di qualsiasi limite elettrodinamico quantistico. Si può sostenere che, finché la scala del raggio dell’elettrone non viene raggiunta durante il collasso, la scala elettrodinamica quantistica fornisce una ragionevole limitazione assoluta su ogni possibile forza del campo magnetico. Le stelle di neutroni e le magnetar hanno scale eccessivamente più grandi della scala dell’elettrone. Oggetti più pesanti, diminuendo la loro scala, potrebbero possedere campi sostanzialmente più forti, ma la gamma consentita è ristretta dalla condizione che tali oggetti diventano facilmente buchi neri quando collassano, i quali, per il famoso teorema del no-hair, non ospitano alcun campo magnetico. Non si sa cosa accadrebbe al campo attraversando l’orizzonte perché nessuna informazione sul campo verrebbe lasciata all’osservatore esterno. Il teorema del no-hair suggerisce che il campo viene semplicemente risucchiato nel buco e scompare insieme alla massa che collassa. Il ragionamento ordinario, assumendo il mantenimento dello stato di congelamento, suggerisce poi che il campo all’interno dell’orizzonte dovrebbe aumentare ulteriormente nel collasso gravitazionale presumibilmente continuo.

I campi forti disponibili che si avvicinano ai limiti elettrodinamici quantistici si trovano nelle stelle di neutroni e nelle magnetar. Finora nessun campo magnetico di stelle strane è stato rilevato positivamente. È stato anche dimostrato che tali campi, eventualmente presenti in stelle strane superconduttrici, decadrebbero rotazionalmente in tempi più brevi di ~ 20 Myrs. Nelle magnetar, la presenza di campi più forti di Bns = Bq è ora ben compresa come conseguenza di effetti crostali che causano la concentrazione locale di campi magnetici e loop magnetici estesi che hanno qualche somiglianza con le ben note macchie solari. Gli effetti sulla materia in campi superforti sono stati studiati prima in Ruderman e sono stati rivisti in e altri.

Conflict of Interest Statement

Gli autori dichiarano che la ricerca è stata condotta in assenza di qualsiasi relazione commerciale o finanziaria che potrebbe essere interpretata come un potenziale conflitto di interessi.