Ci sono due formule di base che già conosciamo:
1) Totale = n(Nessun Set) + n(Esattamente un set) + n(Esattamente due set) + n(Esattamente tre set)

2) Totale = n(A) + n(B) + n(C) – n(A e B) – n(B e C) – n(C e A) + n(A e B e C) + n(Nessun Set)

Da queste due formule, possiamo derivare tutte le altre.

n(Esattamente un insieme) + n(Esattamente due insiemi) + n(Esattamente tre insiemi) ci dà n(Almeno un insieme). Così otteniamo:

3) Totale = n(Nessun insieme) + n(Almeno un insieme)

Dalla (3), otteniamo n(Almeno un insieme) = Totale – n(Nessun insieme)

Inserendo questo nella (2), otteniamo poi:

4) n(Almeno un set) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A e B) – n(B e C) – n(C e A) + n(A e B e C)

Ora vediamo come possiamo calcolare il numero di persone in esattamente due set. C’è una ragione per cui siamo saltati a n(Esattamente due insiemi) invece di seguire il passo successivo più logico di capire n(Almeno due insiemi) – sarà più intuitivo ottenere n(Almeno due insiemi) dopo aver trovato n(Esattamente due insiemi).

n(A e B) include persone che sono in entrambi A e B e include anche persone che sono in A, B e C. A causa di questo, dovremmo rimuovere n(A e B e C) da n(A e B) per ottenere n(Solo A e B). Allo stesso modo, si ottiene n(solo B e C) e n(solo C e A), quindi sommando tutti e tre si ottiene il numero di persone in esattamente 2 insiemi.

n(esattamente due insiemi) = n(A e B) – n(A e B e C) + n(B e C) – n(A e B e C) + n(C e A) – n(A e B e C). Pertanto:

5) n(Esattamente due insiemi) = n(A e B) + n(B e C) + n(C e A) – 3*n(A e B e C)

Ora possiamo facilmente ottenere n(Almeno due insiemi):

6) n(Almeno due insiemi) = n(A e B) + n(B e C) + n(C e A) – 2*n(A e B e C)

Questo è solo n(A e B e C) più di n(Esattamente due insiemi). Questo ha senso, no? Qui, si includono una volta le persone che sono in tutti e tre gli insiemi e n(Esattamente due insiemi) si converte in n(Almeno due insiemi)!

Ora, andiamo avanti per trovare n(Esattamente un insieme). Da n(Almeno un insieme), sottraiamo n(Almeno due insiemi); cioè sottraiamo (6) da (4)

n(Esattamente un insieme) = n(Almeno un insieme) – n(Almeno due insiemi), quindi:

7) n(Esattamente un insieme) = n(A) + n(B) + n(C) – 2*n(A e B) – 2*n(B e C) – 2*n(C e A) + 3*n(A e B e C)

Non è necessario imparare tutte queste formule. Basta concentrarsi sulle prime due e sapere come si può arrivare alle altre, se necessario. Proviamo questo in un problema di esempio:

Tra 250 spettatori intervistati che guardano almeno uno dei tre canali televisivi A, B &C. 116 guardano A, 127 guardano C, mentre 107 guardano B. Se 50 guardano esattamente due canali. Quanti guardano esattamente un canale?

(A) 185

(B) 180

(C) 175

(D) 190

(E) 195

Si dà che:

n(Almeno un canale) = 250

n(Esattamente due canali) = 50

Quindi sappiamo che n(Almeno un canale) = n(Esattamente 1 canale) + n(Esattamente 2 canali) + n(Esattamente 3 canali) = 250

250 = n(Esattamente 1 canale) + 50 + n(Esattamente 3 canali)

Troviamo il valore di n(Esattamente 3 canali) = x

Sappiamo anche che n(Almeno un canale) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A e B) – n(B e C) – n(C e A) + n(A e B e C) = 250

Inoltre, n(Esattamente due canali) = n(A e B) + n(B e C) + n(C e A) – 3*n(A e B e C)

Quindi n(A e B) + n(B e C) + n(C e A) = n(Esattamente due canali) + 3*n(A e B e C)

Inserendo questo nell’equazione precedente:

250 = n(A) + n(B) + n(C) – n(Esattamente due canali) – 3*x + x