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Capitolo 4: Integrali multipli

In Calcolo I siamo passati all’argomento degli integrali una volta finita la discussione delle derivate. Lo stesso vale in questo corso. Ora che abbiamo finito la nostra discussione sulle derivate di funzioni di più di una variabile, dobbiamo passare agli integrali di funzioni di due o tre variabili.

La maggior parte degli argomenti sulle derivate si sono estesi in modo abbastanza naturale dalle loro controparti di Calcolo I e sarà così anche qui. Tuttavia, poiché ora stiamo coinvolgendo funzioni di due o tre variabili, ci saranno anche alcune differenze. Ci sarà una nuova notazione e alcuni nuovi problemi che semplicemente non si presentano quando si tratta di funzioni di una sola variabile.

Qui c’è una lista di argomenti trattati in questo capitolo.

Integrali doppi – In questa sezione definiremo formalmente l’integrale doppio, oltre a dare una rapida interpretazione dell’integrale doppio.

Integrali iterati – In questa sezione mostreremo come il teorema di Fubini può essere usato per valutare gli integrali doppi in cui la regione di integrazione è un rettangolo.

Integrali doppi su regioni generali – In questa sezione inizieremo a valutare gli integrali doppi su regioni generali, cioè regioni che non sono rettangoli. Illustreremo come un integrale doppio di una funzione può essere interpretato come il volume netto del solido tra la superficie data dalla funzione e il piano \(xy\).

Integrali doppi in coordinate polari – In questa sezione vedremo come convertire gli integrali (incluso \(dA)) in coordinate cartesiane in coordinate polari. Le regioni di integrazione in questi casi saranno tutte o porzioni di dischi o anelli e quindi avremo anche bisogno di convertire i limiti cartesiani originali per queste regioni in coordinate polari.

Integrali tripli – In questa sezione definiremo l’integrale triplo. Illustreremo anche alcuni esempi di impostazione dei limiti di integrazione dalla regione tridimensionale di integrazione. Ottenere i limiti di integrazione è spesso la parte difficile di questi problemi.

Integrali tripli in coordinate cilindriche – In questa sezione vedremo come convertire gli integrali (incluso \(dV\)) in coordinate cartesiane in coordinate cilindriche. Convertiremo anche i limiti cartesiani originali per queste regioni in coordinate cilindriche.

Integrali tripli in coordinate sferiche – In questa sezione vedremo come convertire gli integrali (incluso \(dV\)) in coordinate cartesiane in coordinate sferiche. Convertiremo anche i limiti cartesiani originali per queste regioni in coordinate sferiche.

Cambio di variabili – Nelle sezioni precedenti abbiamo convertito le coordinate cartesiane in coordinate polari, cilindriche e sferiche. In questa sezione generalizzeremo questa idea e discuteremo come convertire gli integrali in coordinate cartesiane in sistemi di coordinate alternativi. Sarà inclusa una derivazione della formula di conversione \(dV\) quando si converte in coordinate sferiche.

Area della superficie – In questa sezione mostreremo come un integrale doppio può essere usato per determinare l’area della porzione di una superficie che si trova sopra una regione nello spazio bidimensionale.

Area e volume rivisitati – In questa sezione riassumiamo le varie formule di area e volume da questo capitolo.