MCDM o MCDA sono acronimi ben noti per processo decisionale a criteri multipli e analisi decisionale a criteri multipli; Stanley Zionts ha contribuito a rendere popolare l’acronimo con il suo articolo del 1979 “MCDM – If not a Roman Numeral, then What?”, destinato a un pubblico imprenditoriale.

MCDM si occupa di strutturare e risolvere problemi di decisione e pianificazione che coinvolgono criteri multipli. Lo scopo è di sostenere i decisori che affrontano tali problemi. Tipicamente, non esiste un’unica soluzione ottimale per tali problemi ed è necessario usare le preferenze dei decisori per differenziare le soluzioni.

“Risolvere” può essere interpretato in diversi modi. Potrebbe corrispondere alla scelta dell’alternativa “migliore” da un insieme di alternative disponibili (dove “migliore” può essere interpretato come “l’alternativa preferita” da un decisore). Un’altra interpretazione di “risolvere” potrebbe essere scegliere un piccolo insieme di buone alternative, o raggruppare le alternative in diversi insiemi di preferenze. Un’interpretazione estrema potrebbe essere quella di trovare tutte le alternative “efficienti” o “non dominate” (che definiremo tra poco).

La difficoltà del problema ha origine dalla presenza di più di un criterio. Non esiste più una soluzione ottimale unica per un problema MCDM che possa essere ottenuta senza incorporare informazioni di preferenza. Il concetto di soluzione ottimale è spesso sostituito dall’insieme delle soluzioni non dominate. Una soluzione è detta non dominata se non è possibile migliorarla in nessun criterio senza sacrificarla in un altro. Quindi, ha senso per il decisore scegliere una soluzione dall’insieme dei non dominati. Altrimenti, potrebbe fare meglio in termini di alcuni o tutti i criteri, e non fare peggio in nessuno di essi. Generalmente, tuttavia, l’insieme delle soluzioni non dominate è troppo grande per essere presentato al decisore per la scelta finale. Quindi abbiamo bisogno di strumenti che aiutino il decisore a concentrarsi sulle soluzioni (o alternative) preferite. Normalmente si deve “scambiare” certi criteri per altri.

MCDM è un’area attiva di ricerca dagli anni 70. Ci sono diverse organizzazioni legate al MCDM, tra cui la Società Internazionale sul Processo Decisionale Multi-criteri, l’Euro Working Group on MCDA, e la INFORMS Section on MCDM. Per una storia vedere: Köksalan, Wallenius e Zionts (2011).MCDM attinge alla conoscenza in molti campi, tra cui:

• Matematica
• Analisi delle decisioni
• Economia
• Tecnologia informatica
• Ingegneria del software
• Sistemi informativi

Una tipologiaEdit

Ci sono diverse classificazioni di problemi e metodi MCDM. Una distinzione importante tra i problemi MCDM si basa sul fatto che le soluzioni sono esplicitamente o implicitamente definite.

• Problemi di valutazione a criteri multipli: Questi problemi consistono in un numero finito di alternative, conosciute esplicitamente all’inizio del processo di soluzione. Ogni alternativa è rappresentata dalla sua performance in criteri multipli. Il problema può essere definito come trovare la migliore alternativa per un decisore (DM), o trovare un insieme di buone alternative. Si può anche essere interessati a “ordinare” o “classificare” le alternative. L’ordinamento si riferisce a collocare le alternative in un insieme di classi ordinate in base alle preferenze (come l’assegnazione di valutazioni di credito ai paesi), e la classificazione si riferisce all’assegnazione di alternative a insiemi non ordinati (come la diagnosi dei pazienti in base ai loro sintomi). Alcuni dei metodi MCDM in questa categoria sono stati studiati in modo comparativo nel libro di Triantaphyllou su questo argomento, 2000.
• Problemi di progettazione a criteri multipli (problemi di programmazione matematica a obiettivi multipli): In questi problemi, le alternative non sono esplicitamente note. Un’alternativa (soluzione) può essere trovata risolvendo un modello matematico. Il numero di alternative è infinito (contato o meno) o finito, ma tipicamente esponenzialmente grande (nel numero di variabili che vanno su domini finiti.)

Che si tratti di un problema di valutazione o di un problema di progettazione, le informazioni sulle preferenze dei DM sono necessarie per differenziare le soluzioni. I metodi di soluzione dei problemi MCDM sono comunemente classificati in base alla tempistica delle informazioni di preferenza ottenute dal DM.

Ci sono metodi che richiedono le informazioni di preferenza del DM all’inizio del processo, trasformando il problema in un problema essenzialmente a criterio unico. Si dice che questi metodi operano per “articolazione preventiva delle preferenze”. I metodi basati sulla stima di una funzione di valore o utilizzando il concetto di “relazioni di superiorità”, il processo di gerarchia analitica e alcuni metodi basati su regole decisionali cercano di risolvere problemi di valutazione a criteri multipli utilizzando l’articolazione preventiva delle preferenze. Allo stesso modo, ci sono metodi sviluppati per risolvere problemi di progettazione a criteri multipli utilizzando l’articolazione preventiva delle preferenze attraverso la costruzione di una funzione di valore. Forse il più noto di questi metodi è la programmazione degli obiettivi. Una volta che la funzione di valore è costruita, il programma matematico a obiettivo singolo risultante è risolto per ottenere una soluzione preferita.

Alcuni metodi richiedono informazioni di preferenza dal DM durante il processo di soluzione. Questi sono indicati come metodi interattivi o metodi che richiedono una “articolazione progressiva delle preferenze”. Questi metodi sono stati ben sviluppati sia per la valutazione a criteri multipli (vedi per esempio Geoffrion, Dyer e Feinberg, 1972, e Köksalan e Sagala, 1995) che per i problemi di design (vedi Steuer, 1986).

I problemi di design a criteri multipli richiedono tipicamente la soluzione di una serie di modelli di programmazione matematica per rivelare soluzioni implicitamente definite. Per questi problemi, una rappresentazione o approssimazione di “soluzioni efficienti” può anche essere interessante. Questa categoria è chiamata “articolazione posteriore delle preferenze”, implicando che il coinvolgimento del DM inizia dopo la rivelazione esplicita delle soluzioni “interessanti” (vedi per esempio Karasakal e Köksalan, 2009).

Quando i modelli di programmazione matematica contengono variabili intere, i problemi di progettazione diventano più difficili da risolvere. Multiobjective Combinatorial Optimization (MOCO) costituisce una categoria speciale di tali problemi che pone sostanziali difficoltà computazionali (vedi Ehrgott e Gandibleux, 2002, per una revisione).

Rappresentazioni e definizioniModifica

Il problema MCDM può essere rappresentato nello spazio dei criteri o nello spazio delle decisioni. In alternativa, se diversi criteri sono combinati da una funzione lineare pesata, è anche possibile rappresentare il problema nello spazio dei pesi. Di seguito sono riportate le dimostrazioni degli spazi dei criteri e dei pesi, nonché alcune definizioni formali.

Rappresentazione dello spazio dei criteriModifica

Prevediamo di valutare le soluzioni in una specifica situazione problematica utilizzando diversi criteri. Assumiamo inoltre che più è meglio in ogni criterio. Quindi, tra tutte le possibili soluzioni, siamo idealmente interessati a quelle soluzioni che si comportano bene in tutti i criteri considerati. Tuttavia, è improbabile avere una singola soluzione che si comporta bene in tutti i criteri considerati. Tipicamente, alcune soluzioni si comportano bene in alcuni criteri e altre in altri. Trovare un modo di negoziare tra i criteri è uno degli sforzi principali nella letteratura MCDM.

Matematicamente, il problema MCDM corrispondente agli argomenti di cui sopra può essere rappresentato come

“max” q soggetto a q ∈ Q

dove q è il vettore di k funzioni criterio (funzioni obiettivo) e Q è l’insieme fattibile, Q ⊆ Rk.

Se Q è definito esplicitamente (da un insieme di alternative), il problema risultante è chiamato problema di valutazione a criteri multipli.

Se Q è definito implicitamente (da un insieme di vincoli), il problema risultante è chiamato problema di progettazione a criteri multipli.

Le virgolette sono usate per indicare che la massimizzazione di un vettore non è una operazione matematica ben definita. Questo corrisponde all’argomento che dovremo trovare un modo per risolvere il trade-off tra i criteri (tipicamente basato sulle preferenze di un decisore) quando una soluzione che si comporta bene in tutti i criteri non esiste.

Rappresentazione dello spazio decisionaleModifica

Lo spazio decisionale corrisponde all’insieme delle possibili decisioni che sono a nostra disposizione. I valori dei criteri saranno conseguenze delle decisioni che prendiamo. Quindi, possiamo definire un problema corrispondente nello spazio decisionale. Per esempio, nella progettazione di un prodotto, decidiamo i parametri di progettazione (variabili di decisione) ognuno dei quali influenza le misure di prestazione (criteri) con cui valutiamo il nostro prodotto.

Matematicamente, un problema di progettazione a criteri multipli può essere rappresentato nello spazio di decisione come segue:

max q = f ( x ) = f ( x 1 , … , x n ) soggetto a q ∈ Q = { f ( x ) : x ∈ X , X ⊆ R n } {\displaystyle {\begin{aligned}\max q&=f(x)=f(x_{1},\ldots ,x_{n})\testo{soggetto a}\q\in Q&={f(x):x\in X,\,X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}}end{aligned}}}

dove X è l’insieme fattibile e x è il vettore variabile di decisione di dimensione n.

Un caso speciale ben sviluppato si ottiene quando X è un poliedro definito da disuguaglianze ed equazioni lineari. Se tutte le funzioni obiettivo sono lineari in termini di variabili di decisione, questa variazione porta alla programmazione lineare a obiettivi multipli (MOLP), una sottoclasse importante dei problemi MCDM.

Ci sono diverse definizioni che sono centrali in MCDM. Due definizioni strettamente correlate sono quelle di non dominanza (definite in base alla rappresentazione dello spazio dei criteri) e di efficienza (definite in base alla rappresentazione della variabile di decisione).

Definizione 1. q* ∈ Q è non dominante se non esiste un altro q ∈ Q tale che q ≥ q* e q ≠ q*.

In parole povere, una soluzione è non dominante finché non è inferiore a qualsiasi altra soluzione disponibile in tutti i criteri considerati.

Definizione 2. x* ∈ X è efficiente se non esiste un altro x ∈ X tale che f(x) ≥ f(x*) e f(x) ≠ f(x*).

Se un problema MCDM rappresenta bene una situazione di decisione, allora la soluzione preferita di un DM deve essere una soluzione efficiente nello spazio di decisione e la sua immagine è un punto non dominato nello spazio dei criteri. Anche le seguenti definizioni sono importanti.

Definizione 3. q* ∈ Q è debolmente nondominato se non esiste un altro q ∈ Q tale che q > q*.

Definizione 4. x* ∈ X è debolmente efficiente se non esiste un altro x ∈ X tale che f(x) > f(x*).

I punti debolmente non dominati includono tutti i punti non dominati e alcuni punti dominati speciali. L’importanza di questi punti dominati speciali deriva dal fatto che appaiono comunemente nella pratica ed è necessaria una cura speciale per distinguerli dai punti non dominati. Se, per esempio, massimizziamo un singolo obiettivo, potremmo ritrovarci con un punto debolmente non dominato che è dominato. I punti dominati dell’insieme debolmente non dominato si trovano o su piani verticali o orizzontali (iperpiani) nello spazio dei criteri.

Punto ideale: (nello spazio dei criteri) rappresenta il migliore (il massimo per i problemi di massimizzazione e il minimo per i problemi di minimizzazione) di ogni funzione obiettivo e tipicamente corrisponde a una soluzione non fattibile.

Punto nadir: (nello spazio dei criteri) rappresenta il peggiore (il minimo per i problemi di massimizzazione e il massimo per i problemi di minimizzazione) di ogni funzione obiettivo tra i punti dell’insieme non dominato ed è tipicamente un punto dominato.

Il punto ideale e il punto nadir sono utili al DM per ottenere la “sensazione” della gamma di soluzioni (anche se non è semplice trovare il punto nadir per problemi di progettazione che hanno più di due criteri).

Illustrazioni degli spazi decisionali e dei criteriModifica

Il seguente problema MOLP a due variabili nello spazio delle variabili decisionali aiuterà a dimostrare graficamente alcuni dei concetti chiave.

max f 1 ( x ) = – x 1 + 2 x 2 max f 2 ( x ) = 2 x 1 – x 2 soggetto a x 1 ≤ 4 x 2 ≤ 4 x 1 + x 2 ≤ 7 – x 1 + x 2 ≤ 3 x 1 – x 2 ≤ 3 x 1 , x 2 ≥ 0 {displaystyle} {begin{aligned}{max f_{1}(\mathbf {x} )&=-x_{1}+2x_{2}\max f_{2}(\mathbf {x} )&=2x_{1}-x_{2}{testo{soggetto a}{x_{1}&leq 4\x_{2}&\leq 4\x_{1}+x_{2}&\leq 7\x_{1}+x_{2}&\leq 3\x_{1}-x_{2}&\leq 3\x_{1},x_{2}&\geq 0\end{aligned}}}

Nella Figura 1, i punti estremi “e” e “b” massimizzano il primo e il secondo obiettivo, rispettivamente. Il confine rosso tra questi due punti estremi rappresenta l’insieme efficiente. Si può vedere dalla figura che, per qualsiasi soluzione fattibile al di fuori dell’insieme efficiente, è possibile migliorare entrambi gli obiettivi con alcuni punti sull’insieme efficiente. Al contrario, per qualsiasi punto dell’insieme efficiente, non è possibile migliorare entrambi gli obiettivi passando a qualsiasi altra soluzione fattibile. A queste soluzioni, si deve sacrificare uno degli obiettivi per migliorare l’altro obiettivo.

A causa della sua semplicità, il problema di cui sopra può essere rappresentato nello spazio dei criteri sostituendo le x con le f come segue:

Max f1 Max f2 soggetto a f1 + 2f2 ≤ 12 2f1 + f2 ≤ 12 f1 + f2 ≤ 7 f1 – f2 ≤ 9 -f1 + f2 ≤ 9 f1 + 2f2 ≥ 0 2f1 + f2 ≥ 0

Presentiamo lo spazio dei criteri graficamente nella figura 2. E’ più facile individuare i punti non dominati (corrispondenti a soluzioni efficienti nello spazio di decisione) nello spazio dei criteri. La regione nord-est dello spazio fattibile costituisce l’insieme dei punti non dominati (per problemi di massimizzazione).

Generazione di soluzioni non dominateModifica

Ci sono diversi modi per generare soluzioni non dominate. Ne discuteremo due. Il primo approccio può generare una classe speciale di soluzioni non dominate, mentre il secondo approccio può generare qualsiasi soluzione non dominata.

• Somme pesate (Gass & Saaty, 1955)

Se combiniamo i criteri multipli in un unico criterio moltiplicando ogni criterio con un peso positivo e sommando i criteri pesati, allora la soluzione del problema a criterio unico risultante è una soluzione efficiente speciale. Queste soluzioni efficienti speciali appaiono nei punti d’angolo dell’insieme delle soluzioni disponibili. Le soluzioni efficienti che non si trovano nei punti d’angolo hanno caratteristiche speciali e questo metodo non è in grado di trovare tali punti. Matematicamente, possiamo rappresentare questa situazione come

max wT.q = wT.f(x), w> 0 soggetto a x ∈ X

Variando i pesi, le somme pesate possono essere usate per generare soluzioni efficienti di punti estremi per problemi di progettazione, e punti supportati (convessi non dominati) per problemi di valutazione.

• Funzione scalare di realizzazione (Wierzbicki, 1980)

Le funzioni di scalarizzazione dei risultati combinano anche più criteri in un unico criterio pesandoli in un modo molto speciale. Creano contorni rettangolari che si allontanano da un punto di riferimento verso le soluzioni efficienti disponibili. Questa struttura speciale permette alle funzioni scalarizzanti di raggiungere qualsiasi soluzione efficiente. Questa è una proprietà potente che rende queste funzioni molto utili per i problemi MCDM.

Matematicamente, possiamo rappresentare il problema corrispondente come

Min s(g, q, w, ρ) = Min {maxi + ρ ∑i (gi – qi)}, soggetto a q ∈ Q

La funzione di scalarizzazione dei risultati può essere usata per proiettare qualsiasi punto (fattibile o non fattibile) sulla frontiera efficiente. Qualsiasi punto (fattibile o non fattibile) può essere raggiunto. Il secondo termine nella funzione obiettivo è necessario per evitare di generare soluzioni inefficienti. La figura 3 dimostra come un punto fattibile, g1, e un punto non fattibile, g2, sono proiettati sui punti non dominati, q1 e q2, rispettivamente, lungo la direzione w usando una funzione scalare di realizzazione. I contorni tratteggiati e solidi corrispondono ai contorni della funzione obiettivo con e senza il secondo termine della funzione obiettivo, rispettivamente.

Risolvere i problemi MCDMMMModifica

Diverse scuole di pensiero si sono sviluppate per risolvere i problemi MCDM (sia di tipo progettuale che valutativo). Per uno studio bibliometrico che mostra il loro sviluppo nel tempo, vedi Bragge, Korhonen, H. Wallenius e J. Wallenius.

Scuola di programmazione matematica a obiettivi multipli

(1) Massimizzazione vettoriale: Lo scopo della massimizzazione vettoriale è di approssimare l’insieme non dominato; originariamente sviluppato per problemi di programmazione lineare a obiettivi multipli (Evans e Steuer, 1973; Yu e Zeleny, 1975).

(2) Programmazione interattiva: Fasi di calcolo si alternano a fasi di decisione (Benayoun et al., 1971; Geoffrion, Dyer e Feinberg, 1972; Zionts e Wallenius, 1976; Korhonen e Wallenius, 1988). Non si assume alcuna conoscenza esplicita della funzione di valore del DM.

Scuola di programmazione degli obiettivi

Lo scopo è quello di fissare valori target apriori per gli obiettivi, e di minimizzare le deviazioni ponderate da questi obiettivi. Sia i pesi d’importanza che i pesi lessicografici pre-emptive sono stati usati (Charnes e Cooper, 1961).

Teorici degli insiemi sfumati

Gli insiemi sfumati sono stati introdotti da Zadeh (1965) come un’estensione della nozione classica di insieme. Questa idea è usata in molti algoritmi MCDM per modellare e risolvere problemi fuzzy.

I teorici dell’utilità multiattributo

Le funzioni di utilità o di valore multiattributo sono elicitate e usate per identificare l’alternativa preferita o per ordinare le alternative. Vengono usate tecniche elaborate di intervista, che esistono per elicitare funzioni di utilità lineari additive e funzioni di utilità moltiplicative non lineari (Keeney e Raiffa, 1976).

Scuola francese

La scuola francese si concentra sull’aiuto alla decisione, in particolare la famiglia ELECTRE di metodi di outranking che ha avuto origine in Francia durante la metà degli anni 60. Il metodo è stato proposto per la prima volta da Bernard Roy (Roy, 1968).

Scuola di ottimizzazione evolutiva multiobiettivo (EMO)

Gli algoritmi EMO iniziano con una popolazione iniziale, e la aggiornano usando processi progettati per imitare i principi naturali della sopravvivenza del più adatto e gli operatori di variazione genetica per migliorare la popolazione media da una generazione all’altra. L’obiettivo è quello di convergere verso una popolazione di soluzioni che rappresentano l’insieme non dominato (Schaffer, 1984; Srinivas e Deb, 1994). Più recentemente, ci sono sforzi per incorporare le informazioni sulle preferenze nel processo di soluzione degli algoritmi EMO (vedi Deb e Köksalan, 2010).

Metodi basati sulla teoria dei sistemi grigi

Negli anni 80, Deng Julong ha proposto la teoria dei sistemi grigi (GST) e il suo primo modello decisionale a più attributi, chiamato modello di analisi relazionale grigia (GRA) di Deng. Più tardi, gli studiosi dei sistemi grigi hanno proposto molti metodi basati sulla GST come il modello GRA assoluto di Liu Sifeng, il Grey Target Decision Making (GTDM) e il Grey Absolute Decision Analysis (GADA).

Processo gerarchico analitico (AHP)

L’AHP prima decompone il problema decisionale in una gerarchia di sottoproblemi. Poi il decisore valuta l’importanza relativa dei suoi vari elementi attraverso confronti a coppie. L’AHP converte queste valutazioni in valori numerici (pesi o priorità), che sono usati per calcolare un punteggio per ogni alternativa (Saaty, 1980). Un indice di coerenza misura la misura in cui il decisore è stato coerente nelle sue risposte. AHP è una delle tecniche più controverse elencate qui, con alcuni ricercatori nella comunità MCDA che la ritengono difettosa. La matematica sottostante è anche più complicata, anche se ha guadagnato una certa popolarità come risultato del software disponibile in commercio.

Diversi articoli hanno esaminato l’applicazione delle tecniche MCDM in varie discipline come fuzzy MCDM, MCDM classico, energia sostenibile e rinnovabile, tecnica VIKOR, sistemi di trasporto, qualità del servizio, metodo TOPSIS, problemi di gestione energetica, e-learning, turismo e ospitalità, metodi SWARA e WASPAS.

Metodi MCDMEdit

Sono disponibili i seguenti metodi MCDM, molti dei quali sono implementati da software decisionali specializzati:

• Metodo di randomizzazione degli indici aggregati (AIRM)
• Processo di gerarchia analitica (AHP)
• Processo di rete analitico (ANP)
• Processo a fascio di equilibrio
• Metodo del criterio di base (BCM).criterio di base (BCM)
• Metodo del migliore peggiore (BWM)
• Modello Brown-Gibson
• Metodo degli oggetti caratteristici (COMET)
• Choosing By Advantages (CBA)
• Conjoint Value Hierarchy (CVA)
• Data envelopment analysis
• Decision EXpert (DEX)
• Disaggregazione – Approcci di aggregazione (UTA*, UTAII, UTADIS)
• Rough set (Rough set approach)
• Dominance-basato sulla dominanza (DRSA)
• ELECTRE (Outranking)
• Valutazione basata sulla distanza dalla soluzione media (EDAS)
• Approccio di ragionamento probante (ER)
• Programmazione degli obiettivi (GP)
• Analisi relazionale grigia (GRA)
• Prodotto interno di vettori (IPV)
• Misurazione dell’attrattiva con una tecnica di valutazione basata sulle categorie (MACBETH)
• Simple Multi-Attribute Rating Technique (SMART)
• Stratified Multi Criteria Decision Making (SMCDM)
• Multi-Attribute Global Inference of Quality (MAGIQ)
• Multi-attribute utility theory (MAUT)
• Multi-attributo (MAVT)
• Markovian Multi Criteria Decision Making
• New Approach to Appraisal (NATA)
• Nonstructural Fuzzy Decision Support System (NSFDSS)
• Potenzialmente All Pairwise RanKings of all possible Alternatives (PAPRIKA)
• PROMETHEE (Outranking)
• Ranking based on optimal points (RBOP)
• Stochastic Multicriteria Acceptability Analysis (SMAA)
• Metodo di classificazione per superiorità e inferiorità (metodo SIR)
• Tecnica per l’ordine di priorità per similarità alla soluzione ideale (TOPSIS)
• Analisi del valore (VA)
• Ingegneria del valore (VE)
• Metodo VIKOR
• Modello di prodotto ponderato (WPM)
• Modello di somma ponderata (WSM)
• Modelo Integrado de Valor para Estructuras Sostenibles (MIVES)