Articolo principale: Teoria dei gruppi Le possibili mosse su un cubo di Rubik formano un gruppo (molto grande). La teoria dei gruppi è utile come nozione astratta di simmetria, che la rende applicabile a una vasta gamma di aree: la relazione tra le radici di un polinomio (come nella teoria di Galois) e i metodi di soluzione del cubo di Rubik sono entrambi esempi importanti.

Informalmente, un gruppo è un insieme dotato di un’operazione binaria ∘\circ∘, in modo che operando su qualsiasi due elementi del gruppo si produce anche un elemento del gruppo. Per esempio, i numeri interi formano un gruppo sotto addizione, e i numeri reali non nulli formano un gruppo sotto moltiplicazione. L’operazione ∘circ∘ deve soddisfare una serie di proprietà analoghe a quelle che soddisfa per questi sistemi numerici “normali”: deve essere associativa (il che significa essenzialmente che l’ordine delle operazioni non ha importanza), e ci deve essere un elemento identico (0 nel primo esempio sopra, e 1 nel secondo). Più formalmente, un gruppo è un insieme dotato di un’operazione ⋅cdot⋅ tale che i seguenti assiomi siano validi; si noti che ⋅cdot⋅ non si riferisce necessariamente alla moltiplicazione; piuttosto, dovrebbe essere visto come una funzione su due variabili (infatti, ⋅cdot⋅ può anche riferirsi all’addizione):

Assimi di gruppo

1) Associatività. Per ogni x,y,z∈Gx, y, z \in G x,y,z∈G, abbiamo (x⋅y)⋅z=x⋅(y⋅z) (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z) (x⋅y)⋅z=x⋅(y⋅z).
2) Identità. Esiste un e∈G e \in G e∈G, tale che e⋅x=x⋅e=x e \cdot x = x \cdot e = x e⋅x=x⋅e=x per qualsiasi x∈Gx \in G x∈G. Si dice che eee è un elemento identitario di GGG.
3) Inverso. Per ogni x∈Gx \in Gx∈G, esiste un y∈Gy \in Gy∈G tale che x⋅y=e=y⋅xx \cdot y = e = y \cdot x x⋅y=e=y⋅x. Diciamo che yyy è un inverso di xxx.

Per enfasi vale anche la pena notare l’assioma di chiusura, poiché è importante verificare la chiusura quando si lavora con sottogruppi (gruppi contenuti interamente in un altro):

4) Chiusura. Per qualsiasi x,y∈Gx, y \in G x,y∈G, x∗yx*y x∗y è anche in GGG.

Altri esempi di gruppi sono

• Zn\mathbb{Z}_nZn, l’insieme dei numeri interi {0,1,…,n-1}{0, 1, \ldots, n-1\}{0,1,…,n-1} con l’operazione di addizione modulo nnn
• SnS_nSn, l’insieme delle permutazioni di {1,2,…,n}{1, 2, \ldots, n\} con l’operazione di composizione.

S3S_3S3 merita una nota speciale come esempio di gruppo non commutativo, nel senso che a⋅b=b⋅aa \cdot b = b \cdot aa⋅b=b⋅a non è generalmente valido. Formalmente parlando, S3S_3S3 non è abeliano (un gruppo abeliano è un gruppo in cui l’operazione è commutativa). Quando l’operazione non è chiara dal contesto, i gruppi sono scritti nella forma (set,op)(\testo{set}, \testo{op})(set,op); per esempio i reali non nulli dotati di moltiplicazione possono essere scritti come (R∗,⋅)(\mathbb{R}^*, \cdot)(R∗,⋅).

Molto della teoria dei gruppi (e dell’algebra astratta in generale) è incentrata sul concetto di omomorfismo di gruppo, che essenzialmente significa una mappatura da un gruppo a un altro che conserva la struttura del gruppo. In altre parole, la mappatura del prodotto di due elementi dovrebbe essere la stessa del prodotto delle due mappature; intuitivamente parlando, il prodotto di due elementi non dovrebbe cambiare sotto la mappatura. Formalmente, un omomorfismo è una funzione ϕ:G→H\phi: G → Hϕ:G→H tale che

ϕ(g1)⋅Hϕ(g2)=ϕ(g1⋅Gg2),\fi(g_1) \cdot_H \fi(g_2) = \fi(g_1 \cdot_G g_2),ϕ(g1)⋅Hϕ(g2)=ϕ(g1⋅Gg2),

dove ⋅H\cdot_H⋅H è l’operazione su HHH e ⋅G\cdot_G⋅G è l’operazione su GGG. Per esempio, ϕ(g)=g(modn)\phi(g) = g \pmod nϕ(g)=g(modn) è un esempio di omomorfismo di gruppo da Z\mathbb{Z}Z a Zn\mathbb{Z}_nZn. Il concetto di operazioni potenzialmente diverse è necessario; per esempio, ϕ(g)=eg\phi(g)=e^gϕ(g)=eg è un esempio di un omomorfismo di gruppo da (R,+)(\mathbb{R},+)(R,+) a (R∗,⋅)(\mathbb{R}^{*},\cdot)(R∗,⋅).