Operátor (matematika)

szept 22, 2021

admin

GeometriaSzerkesztés

Főcikkek: általános lineáris csoport és izometria

A geometriában néha további struktúrákat vizsgálnak a vektortereken. Az ilyen vektortereket önmagukra bijektív módon leképező operátorok nagyon hasznosak ezekben a vizsgálatokban, kompozícióval természetesen csoportokat alkotnak.

A vektorterek szerkezetét megőrző bijektív operátorok például éppen az invertálható lineáris operátorok. Ezek kompozíció alatt általános lineáris csoportot alkotnak. Operátorok összeadása alatt nem alkotnak vektorteret, pl. mind az id, mind a -id invertálható (bijektív), de összegük, a 0 nem.

Az ilyen téren az euklideszi metrikát megőrző operátorok alkotják az izometriacsoportot, az origót rögzítők pedig az ortogonális csoportnak nevezett alcsoportot. Az ortogonális csoport azon operátorai, amelyek a vektortömbök orientációját is megőrzik, a speciális ortogonális csoportot vagy a forgások csoportját alkotják.

ValószínűségelméletSzerkesztés

Főcikk: Valószínűségelmélet

A valószínűségelméletben is szerepelnek olyan operátorok, mint a várakozás, a variancia és a kovariancia. Valóban, minden kovariancia alapvetően egy pontszorzat; minden variancia egy vektor önmagával való pontszorzata, tehát egy kvadratikus norma; minden szórás egy norma (a kvadratikus norma négyzetgyöke); ennek a pontszorzatnak a megfelelő koszinusza a Pearson-féle korrelációs együttható; a várható érték alapvetően egy integráloperátor (a térben lévő súlyozott alakzatok mérésére használják).

KalkulusSzerkesztés

Főcikkek: differenciáloperátor és integráloperátor

A funkcionálanalízis szempontjából a kalkulus két lineáris operátor tanulmányozása: a differenciáloperátor d d t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}}}

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$

, és a Volterra-operátor ∫ 0 t {\displaystyle \int _{0}^{t}}}

$\int_0^t$

Fourier-sorozat és Fourier-transzformációSzerkesztés

Főcikkek: Fourier-sorozat és Fourier-transzformáció

A Fourier-transzformáció hasznos az alkalmazott matematikában, különösen a fizikában és a jelfeldolgozásban. Ez egy másik integráloperátor; főként azért hasznos, mert egy függvényt az egyik (időbeli) tartományban egy másik (frekvencia) tartományban lévő függvénnyé alakít át, mégpedig úgy, hogy az gyakorlatilag invertálható. Nem veszik el információ, mivel van egy inverz transzformációs operátor. A periodikus függvények egyszerű esetében ez az eredmény azon a tételen alapul, hogy bármely folytonos periodikus függvény ábrázolható szinusz- és koszinuszhullámok sorozatának összegeként:

f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ( ω n t ) + b n sin ( ω n t ) {\displaystyle f(t)={a_{0} \over 2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}\cos(\omega nt)+b_{n}\sin(\omega nt)}}

$f(t) = {a_0 \over 2} + \sum_{n=1}^{\infty}{ a_n \cos ( \omega n t ) + b_n \sin ( \omega n t ) } }$

A (a0, a1, b1, a2, b2, …) páros valójában egy ℓ2 végtelen dimenziós vektortér eleme, és így a Fourier-sorozat egy lineáris operátor.

Ha általános R → C függvényről van szó, a transzformáció integrál alakot vesz fel:

f ( t ) = 1 2 π ∫ – ∞ + ∞ g ( ω ) e i ω t d ω . {\displaystyle f(t)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }{g(\omega )e^{i\omega t}\,d\omega }.}

$f(t) = {1 \over \sqrt{2 \pi}} \int_{- \infty}^{+ \infty}{g( \omega )e^{ i \omega t } \,d\omega }.$

Laplace-transzformációSzerkesztés

Főcikk: Laplace-transzformáció

A Laplace-transzformáció egy másik integráloperátor, és a differenciálegyenletek megoldásának egyszerűsítésében vesz részt.

Adott f = f(s), definíciója:

F ( s ) = L { f } ( s ) = ∫ 0 ∞ e – s t f ( t ) d t . {\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}

$F(s)={\mathcal {L}}}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{{-st}}f(t)\,dt.$

Alapoperátorok skalár- és vektormezőkönSzerkesztés

Főszavak: vektorszámítás, vektormező, skalármező, gradiens, divergencia és görbe

A vektorszámításban három operátor kulcsfontosságú:

Grad (gradiens), (∇ {\displaystyle \nabla } operátorjellel).
$\nabla$

) egy skalármező minden pontjához olyan vektort rendel, amely a mező legnagyobb változásának irányába mutat, és amelynek normája a legnagyobb változás abszolút értékét méri.
Div (divergencia), (operátorszimbólummal ∇ ⋅ {\displaystyle \nabla \cdot }
$\nabla \cdot$

) egy vektoroperátor, amely egy vektormező egy adott ponttól való eltérését vagy egy adott pont felé való konvergenciáját méri.
Curl, (operátorszimbólummal ∇ × {\displaystyle \nabla \times }
$\nabla \times$

) olyan vektoroperátor, amely egy vektormező egy adott pont körüli görbületi (tekeredési, forgási) tendenciáját méri.

A vektorszámítás operátorainak a fizikára, a mérnöki tudományokra és a tenzorterekre való kiterjesztéseként a Grad, Div és Curl operátorokat gyakran a vektorszámítás mellett a tenzorszámításhoz is hozzákapcsolják.